2.2.2 直线的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”核心知识点，系统梳理直线方程的定义及点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种形式。从定义出发，按“已知点和斜率（点斜式）、斜率和截距（斜截式）、两点坐标（两点式）、两轴截距（截距式）到统一形式（一般式）”的递进脉络构建学习支架，明确每种形式的前提条件与几何意义，为后续学习奠定基础。 该资料以“数学思维”和“数学语言”为核心设计亮点，知识点讲解注重逻辑严谨性，如点斜式强调方程等价性、截距式明确适用条件，培养学生精准理解概念。题型训练分层递进，既有基础应用（如求斜截式方程），又有综合问题（如反射光线方程、面积最值求解），助力学生提升运算能力与推理意识。课中教师可引导学生对比不同方程形式的适用场景，课后学生通过练习巩固知识，有效查漏补缺，提升用数学语言表达直线关系的能力。

2.2.2直线的方程 一、知识点 直线方程的定义： 一般的，如果直线上的点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线上，则称为直线的方程，而直线称为的直线，即“直线”也可以说成“直线”，并记作. 1.直线的点斜式方程 经过点的直线 ① 如果直线的斜率存在且为，则直线方程称为直线的点斜式方程； ②如果直线的斜率为，则直线方程为； ③如果斜率不存在，则直线的方程为. 说明： ①直线的点斜式方程的前提条件：已知一点和斜率； ②方程与方程不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉的一条直线； ③当取任意实数时，方程表示恒过定点且不垂直于轴的无数条直线. 2.直线的斜截式方程 1）截距的定义： 一般的，当直线既不是轴也不是轴时：若与轴的交点为，则称在轴上的截距为；若与轴的交点为，则称在轴上的截距为.一条直线在轴上的截距简称为截距. 2）斜截式定义： 斜率为，截距为的直线方程为，称为直线的斜解式方程. 3）几何意义： 直线中的几何意义是直线的斜率，的几何意义是直线的截距（即直线在轴上的截距）. 4）斜截式与一次函数的关系： 当时，为一次函数，当时，不是一次函数； 一次函数必是一条直线的斜截式方程. 3.直线的两点式方程 过点，的直线方程为. 当且时，可变形为，这个方程称为直线的两点式方程. 说明：不能表示垂直于坐标轴的直线；适用于过任意两点的直线. 4.直线的截距式方程 在，轴上的截距分别为，，且，则直线方程可写为.这种形式的方程称为直线的截距式方程.（特别注意：这只有直线在轴与轴上的截距都存在且不为时才成立）. 5.直线的一般式方程 1）所有直线的方程都为，的二元一次方程，所有，的二元一次方程都可以表示直线； 2）直线（）称为直线的一般方程。 3）当时，方程可化为 ，它表示的是斜率为且截距为的直线； 当时，则由与不同时为零，可知，从而方程可转化为，它表示的是斜率不存在，且过的直线 4）向量为直线的一个法向量. 二、题型训练 1.直线的点斜式方程 例1. 已知直线的方程是，则（ ） A.直线经过点，斜率 B.直线经过点，斜率为 C.直线经过点，斜率为-1 D.直线经过点，斜率为 例2.过点且倾斜角为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 练习： 1. 方程（ ） A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C不能表示与轴垂直的直线 D.不能表示与轴垂直的直线 2. 已知直线过点且方向向量为，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 3.直线过点，倾斜角为，则直线的方程为_________. 4.已知直线过点，它的倾斜角等于直线的倍，求直线的方程. 2.直线的斜截式方程 例3.根据已知条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为，且在轴上截距为； （2）倾斜角为，且在轴上的截距是； （3）倾斜角为，在轴的交点到坐标原点的距离是. 例4. 若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 练习： 1. 直线的斜率在轴和在轴上的截距分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 直线的方程为，若直线在轴上的截距为，则________. 3. 已知直线不经过第三象限，设它的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A. B. C. D. 3.直线的两点式方程 例5.求经过下列两点的直线方程： （1），； （2），； （3），； （4），. 练习： 1. 过，两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在过点，的直线上，求的值. 3. 已知三角形的三个顶点分别为，，C，则边上中线所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 一条光线从处射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 过点作直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为_________. 4.直线的截距式方程 例6.在轴上、轴上的截距分别是，的直线方程（ ） A. B. C. D. 例7. 已知，，经过线段的中点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________. 例8.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为_________. 练习： 1. 直线在轴上的截距比在轴上的截距大且过点，则直线的方程为_______. 2. 过点，且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. （多选）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5.直线的一般式方程 例9.若方程表示一条直线，则实数满足（ ） A. B. C. D. ，， 例10.已知直线，如果，，那么直线不经过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例题11.不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 练习： 1. 设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： （1）直线在轴上的截距为6； （2）直线的斜率为； （3）直线垂直于轴； （4）直线经过点 2.已知直线的斜率为，且，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，满足，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程为. （1）求直线过的定点的坐标； （2）直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当面积最小时，求直线的方程. 5. 直线，的位置只可能是（ ） 6. 已知直线过点，且与轴，轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，直线的方程； （2）当面积最小时，求的方程. 7. 设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程。 （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围。 （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值，并求此时的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $