28.1图形的旋转（第1课时 图形旋转的概念）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“旋转的概念及性质”，通过生活中开门、时钟指针等旋转现象导入，对比平移、轴对称的运动特征，以类比迁移构建知识支架，衔接旧知（平移性质）与新知，帮助学生理解旋转三要素及性质。 其亮点在于以“观察—抽象—探究”为主线，通过硬纸板旋转实验和信息技术工具，培养几何直观与空间观念（数学眼光）。类比平移研究思路引导归纳性质，发展推理意识（数学思维），结合真题与生活实例提升应用能力，教师可借系统结构优化教学，学生能深化对全等变换的理解。

28.1 图形的旋转 第１课时 旋转的概念及性质 第二十八章 旋转 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 通过具体实例认识图形的旋转，理解旋转的概念.掌握旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.能在具体的旋转情境中识别旋转中心、旋转方向、旋转角以及对应点. 经历从生活实例中抽象出旋转概念的过程，发展抽象概括能力.在探索旋转概念的过程中，进一步发展空间观念和几何直观.类比平移、轴对称的研究方法，体会图形变换研究的一般思路.能运用旋转的概念判断一个图形运动是否为旋转.能在简单图形中找出旋转中心、旋转方向、旋转角和对应点. 感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣.在观察、操作、归纳的过程中，体验数学探索的乐趣，培养勇于探索的精神. 章前引言 在我们的生活中，能看到许多转动着的物体，如车轮、风力发电机、直升机的螺旋桨、时钟的指针、水车……. 我们生活在一个处处能见到旋转现象的世界中。 章前引言 直升机螺旋桨 风 车 在数学中，与平移、轴对称一样，旋转也是一种图形变化 车轮 水 车 章前引言 • 如何用数学语言（中心、方向、角度）精准刻画旋转？ • 旋转前后，图形的形状、大小与位置关系发生了哪些变化 •特殊的旋转 —— 中心对称，中心对称性质是什么，与轴对称有什么区别 • 迁移学习：用研究平移、轴对称的方法探索旋转的性质。 • 创意设计：结合平移、轴对称与旋转，创作独特的几何图案。 我们应该怎样描述旋转呢？旋转又有什么性质呢？ 让我们一起来探索旋转的奥秘吧！ 导入新课 生活中的旋转现象 开门时门的运动 时钟指针 风扇叶片的旋转 导入新课 汽车方向盘的转动 这些运动现象有什么共同的特征？ 绕着一个点（或轴）转动. 陀 螺 摩天轮的转动 导入新课 它们和我们之前学过的平移、轴对称有什么不同？ 风车的转动 传送带 蝴 蝶 平移 图形沿某个方向‌直线移动‌一定距离，平移后图形‌朝向完全一致‌，平移只需确定‌移动方向和距离‌，没有固定点； 是图形沿某条直线‌翻折‌后重合 ，‌方向会改变‌，轴对称需要选定‌对称轴‌； 轴对称 什么是旋转？ 导入新课 哪位同学还记得平移的性质？ 平移的性质 ①图形的大小没有变化，只是位置发生了改变. ②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等. ③平移后对应的线段相等，对应角相等. 三角形平移 我们研究平移时，是按照“定义—要素—性质—作图—应用” 的思路来进行的，那么，对于旋转这种新的图形变换，我们可以按照同样的思路来研究吗？ 今天我们就来学习一种新的图形变换 ——旋转. 新知探究 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 如下图， ①钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度? ②风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. ③改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 思考 新知探究 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 议一议 （1）若把指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在作什么运动？ 图形都在平面内围绕着一个点O转动. O O O 新知探究 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 议一议 O 把一个平面图形绕着平面内__________动 ，叫作 . 某一点O 一个角度 图形的旋转 点O叫作___________. 转动的角叫作___________. 转动的方向分为_________和_________. 旋转中心 旋转角 顺时针 逆时针 （2）你能描述旋转现象吗？ P P′ 如果图形上的点 P 经过旋转后变为点 P′，那么这两个点叫作这个旋转的_________. 对应点 顺时针 逆时针 P P' P P' 时针绕表盘中心顺时针转动了60° 转动的角∠POP′叫做旋转角. O 转动的方向为顺时针方向. 旋转中心 时针端点、为一组对应点 新知探究 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 议一议 （3）从3时到5时，时针如何运动? 时针在旋转，表盘的中心是旋转中心， 旋转角是60°， 在3时的时针端点P与在5时的时针端点P′是对应点. 时针旋转描述 新知探究 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 议一议 （4）旋转前后，图形的形状、大小发生变化了吗？ （5）通过以上思考，类比平移的定义，你能结合刚才观察到的旋转现象，给旋转下一个数学定义吗？ 旋转前后，图形的形状、大小未发生变化. 即 旋转前、后的图形全等. 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角. O 旋转定义 新知探究 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 议一议 （6）确定一个旋转变换，需要知道哪些条件？ 旋转中心 旋转方向 旋转角 【注意】 （1）旋转的范围是“平面内”， (2)旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角. （3）三要素缺一不可，只有同时确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度，才能唯一确定一个旋转变换. 旋转三要素 （1）在硬纸板上，挖一个三角形洞 （2）再另挖一个小洞 O 作为旋转中心 (3)硬纸板下面放一张白纸. 先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)， (4)围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开硬纸板. 新知探究 探究点2 深化理解，旋转性质 探究 如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC 绕点 O 旋转一个角度，得到△A′B′C′. A C O A′ B′ C′ B 新知探究 探究点2 深化理解，旋转性质 A C O A′ B′ C′ B 探究 如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC 绕点 O 旋转一个角度，得到△A′B′C′. ① △A′B′C′ 可以看作是△ABC 经过怎样的运动得到的？ △A′B′C′是由△ABC 绕点旋转中心O,顺时针旋转得到的. ②点A的对应点是哪个点？点B的对应点呢？点C的对应点呢？ 点A的对应点是A′ 点B的对应点是B′ 点C的对应点C′ 新知探究 探究点2 深化理解，旋转性质 ③连接，，，用直尺、量角器测量线段长度与夹角大小。 A C O A′ B′ C′ B 探究 如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC 绕点 O 旋转一个角度，得到△A′B′C′. 旋转角. OA=OA′， OB=OB′， OC=OC′， ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′ ④△A′B′C′ 和△ABC的形状和大小有什么关系？ △ABC≌△A′B′C′ 对应点与旋转中心所连线段形成的角相等，都等于旋转角. 对应点到旋转中心的距离相等 新知探究 探究点2 深化理解，旋转性质 等距性：任意一组对应点到旋转中心的距离相等 等角性：任意一组对应点与旋转中心所连线段形成的夹角相等，且全部等于旋转角 全等不变性：旋转前、后的图形全等，图形的形状、大小完全不变； 旋转的性质 结 小 纳 归 一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 性质解析 新知探究 探究点3 概念辨析，深化理解 议一议 ① 旋转中心一定在图形上.（ ） ② 旋转只能按顺时针方向转动.（ ） ③ 旋转不改变图形的形状和大小.（ ） ④ 旋转角就是对应点之间的角.（ ） ⑤ 确定一个旋转变换，只要知道旋转中心和旋转角度就够了.（ ） 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. 旋转中心可以在图形上、图形内或图形外，不一定是图形的顶点. 旋转方向有顺时针和逆时针两种 旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变位置 旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角 旋转三要素缺一不可：旋转中心、旋转方向、旋转角度. 新知探究 探究点3 概念辨析，深化理解 议一议 2.如图 ，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA'= 100'，能求出∠B'CA 的度数吗？ 解：由旋转的性质可知， ∠BCB′= ∠ACA′= 35° 又∵∠BCB′+∠B′CA+∠ACA′=∠BCA′= 100°， ∴∠B′CA=30°. B A C B′ A′ 新知探究 探究点3 概念辨析，深化理解 议一议 轴对称、平移、旋转的异同点： 变换 轴对称 平移 旋转 不同点 运动方式 沿一条直线翻折 沿某一方向移动 绕某一点转动 要素 对称轴 平移方向和平移 距离 旋转中心、旋转方向和旋转角 对应点、对应线段的情况 成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，且其交点在对称轴上；对应点所连的线段被对称轴垂直平分 对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等 对应点到旋转中心的距离相等 新知探究 探究点3 概念辨析，深化理解 议一议 轴对称、平移、旋转的异同点： 变换 轴对称 平移 旋转 相同同 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 典例分析 例1. 钟表的时针匀速旋转一周需要12小时. （1）指出它的旋转中心； （2）经过5小时整，时针旋转了多少度？ （3）从上午8:00到上午10:30，时针旋转了多少度？ 解： （1）钟表的时针绕着钟表的中心转动，因此旋转中心就是钟表表盘的中心（即时针和分针的交点） （2）∵时针旋转一周是360°，需要12小时， ∴每小时旋转的角度为360°÷12=30°. ∴经过5小时，时针旋转的角度就是5个30°， 即 5×30°=150°. （3）从上午8:00到上午10:30，经过的时间是2小时30分钟， 即2.5小时.时针每小时旋转30°，因此时针旋转了75度. 典例分析 例2．如图．在中，，将绕点C逆时针旋转得到，于点D．求的度数． 解：由旋转的性质，可得： ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 新知巩固 1.举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角. 【教材第93页 】 解：现实生活中旋转的实例有很多， 如：钟表上的时针、分针， 它的旋转中心是时针、分针交叉的轴， 旋转角是时针、分针转动前后形成的角度， 又如电风扇，它的旋转中心是叶片交叉的轴， 旋转角为某一个叶片转动前后之间的夹角. 新知巩固 【教材第93页 】 2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？ 解：杠杆的旋转中心是点O，旋转角是∠AOA'（或∠BOB'）. 新知巩固 【教材第93页 】 3.如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°，在图中男生身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点. （1）这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？ （2）这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多少度？ P P′ 解： (1)这两个点到旋转中心的距离距离相等 （对应点到旋转中心的距离相等）； (2)这两个点与旋转中心所连线段所成的角为 （对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角）。 拓展提升 1.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． (1)当时，求的长度； (2)当时，求的度数． （1）解：∵，， ∴， 由旋转可知， ∴为等边三角形， ∴． （2）∵，，， ∴， ∴， 即． 真题感知 1．（2025•吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 解：360°÷3＝120°， 图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为120°． B 真题感知 2．（2025•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为（　　） A． B． C．4 D． 解：连接AD，交CC'于点O， 由旋转得： AC＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°， ∴∠AC'D＝90°． 在Rt△AC'D和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AC'D（HL）， ∴C'D＝CD＝3， ∴AD垂直平分CC'， ∴CC'＝2OC，AD⊥CC'． O ∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3， ∴． ∵， ∴OC， ∴． D 真题感知 3．（2026年广东省）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴的周长为： ． H ∟ 课堂小结 旋转的定义： 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转. 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度.三者缺一不可. 对应点：旋转前的点和旋转后的点互为对应点. 旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角.所有旋转角都相等. 旋转的本质：旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 知识与技能 课堂小结 类比思想：类比平移的研究方法（定义—要素—性质—作图—应用）来研究旋转，体现了数学学习的一般方法和图形变换研究的统一范式. 抽象概括：从生活中的旋转现象抽象出数学中的旋转概念，经历了"具体—抽象—具体"的认知过程，培养抽象思维能力. 转化思想：将生活中的实际问题转化为数学问题来解决，体现了数学建模的思想. 数形结合：通过图形直观理解旋转的概念，将数与形结合起来分析问题，发展几何直观. 思想与方法 课堂小结 旋转中心的位置：旋转中心不一定在图形上，它可以在图形的内部、外部或边上，不要误以为旋转中心一定是图形的某个顶点或中心点. 旋转方向的判断：旋转方向有顺时针和逆时针两种，不能忽略旋转方向，判断方向时要注意观察图形转动的方向，与钟表指针转动方向相同的是顺时针，相反的是逆时针. 旋转角的识别：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角，也不是图形中任意两个点的夹角.找旋转角时要牢记"一找中心，二找对应点，三连线，四看夹角". 对应点的确定：在复杂图形中找对应点时，要仔细观察图形的位置变化，按照旋转方向和角度来确定，避免对应关系找错，可以通过字母顺序或图形特征来辅助判断. 易错点提醒 课后练习 1.下列图形是由一个基本的图形经过旋转得到的，分别指出它们的旋转中心和旋转角： 解：如图.左图旋转中心为O点，旋转角为60°. 右图旋转中心为O点，旋转角为90°. O O 习题 28.1 课本p96页 课后练习 2.把图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转.旋转角至少为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？对等边三角形进行类似的讨论. 解：旋转角为 72°时，旋转后的五角星与自身重合. 过等边三角形的顶点作对边的垂线， 三条垂线的交点 O 即为旋转中心， 将等边三角形绕着旋转中心 O 旋转 120°能与自身重合. 习题 28.1 课本p96页 课后练习 3.如图，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转 90°和 180°后得到的图形. 解：如图所示. A′ B′ C′ C″ B″ A″ 习题 28.1 课本p96页 O 课后练习 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC. 又D是边BC的中点， ∴∠BAD=∠CAD=30°，∠ADC=90°. 由旋转可知， ∠ABE=∠C=60°， ∠BAE=∠CAD=30°， ∠AEB=∠ADC=90°，AE=AD. ∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=60°. ∴△ADE是等边三角形，∴∠AED=60°. ∴∠BED=∠AEB−∠AED=30°. 5.如图，△ABC 是一个等边三角形，D 为边 BC 的中点，把 △ADC 绕点 A 顺时针旋转60°得到△AEB，求∠ABE，∠DAE，∠BED的度数. 习题 28.1 课本p96页 谢谢聆听 $