30.1.2 圆的切线 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念认知到综合应用，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一知识点概念（切线性质/判定/切线长定理定义）|填空直接考查定义（如第1题），强化抽象能力| |技能应用|知识点简单应用（性质计算、判定辨析）|选择辨析判定条件（如第6题），培养推理意识| |综合拓展|多知识点综合（切线与几何图形结合、实际情境应用）|解答题结合矩形证明与计算（如第13题），发展几何直观与应用意识|

30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质和判定 知识点1 切线的性质 1.圆的切线 于过切点的半径. 2.如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,若PA=6,PB=4,则⊙O的半径是 . 3.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,圆心O在AB上,⊙O与BC 相切,点C为切点.则∠B的度数为( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 4.如图，两个同心圆的半径之比为3：5，AB 是大圆的直径，大圆的弦BC与小圆相切.若AC=12,则BC的长为( ) A.14 B.16 C.18 D.20 知识点2 切线的判定 5.切线的判定定理：经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线. 6.下列说法中正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径的外端点的直线是圆的切线 7.如图，AB是⊙O的直径，点 C 是BD 的中点，下列选项中不能判断AD是⊙O的切线的是( ) A.∠B=45° B.∠BAD=90° C.∠D=45° D.∠D=∠B 8.如图,直线AB经过⊙O上的一点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线. 9.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( ) A.27° B.32° C.36° D.54° 10.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,连接PO并延长交⊙O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是( ) A.5 B.5 C.5 D. 11.如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点 P，若表盘的半径长为 ,则PC长为( ) A.3 B.2 C.2 D.3 12.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC平分∠DAB,CD⊥AD,垂足为D,AD交⊙O于点E. (1)求证:CD 是⊙O的切线; (2)若AE=3,CD=2,求⊙O的半径. 13.如图，在矩形ABCD中，⊙O经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为点E，F，与边AD相交于点G.连接CO并延长交边AB 于点 P. (1)求证:∠BPC=45°; (1)若CE=2BE=2,直接写出AP 的长. 第2课时 切线长定理 知识点切线长定理 1.经过圆外一点的圆的切线上， 和 之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.从圆外一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 2.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别是A,B,如果AP=4,∠APB=60°,则∠APO= ,PB= . 3.如图,从⊙O外一点 P 引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB 的长是( ) A.4 B.8 C.4 D.8 4.如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点 B,连接OP,AB.下列结论中不一定正确的是( ) A. PA=PB B. OP 垂直平分AB C.∠OPA=∠OPB D. PA=AB 5.PA,PB分别与⊙O相切于A,B 两点,点C在⊙O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB 的度数为( ) A.50° B.100° C.130° D.50°或130° 6.如图,PB,PC是⊙O的两条切线,切点分别为B,C,若∠A=65°,则∠P 的度数为( ) A.50° B.55° C.65° D.70° 7.如图,PA,PB分别切⊙O与点A,B,MN切⊙O于点C,分别交 PA,PB于点M,N,若PA=7.5cm,则△PMN的周长是( ) A.7.5cm B.10 cm C.12.5cm D.15 cm 8.如图，正方形ABCD的边长为4 cm.以正方形的一边BC为直径，在正方形ABCD内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点 F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为( ) A.5 cm² B.6 cm² C.7 cm² D.8 cm² 9.如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的长是 . 10.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD 的度数是 . 11.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,⊙O内切于菱形ABCD,则⊙O的半径为 . 12.如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,BD⊥OC交⊙O于点D,CD的延长线交BA 的延长线于点E. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若BC=6,DE=4,求 BE 及⊙O的半径. 13.如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8. (1)求证:BO⊥CO; (2)求 BE和CG 的长. 30.1.2 圆的切线 第 1课时 切线的性质和判定 知识点1 切线的性质 1.圆的切线 垂直 于过切点的半径. 2.如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,若PA=6,PB=4,则⊙O的半径是 . 3.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,圆心O在AB上,⊙O与BC 相切,点C为切点.则∠B的度数为( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 4.如图，两个同心圆的半径之比为3：5，AB 是大圆的直径，大圆的弦BC与小圆相切.若AC=12,则 BC的长为( ) A.14 B.16 C.18 D.20 切线的判定 5.切线的判定定理：经过半径的外端并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线. 6.下列说法中正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径的外端点的直线是圆的切线 7.如图，AB是⊙O的直径，点C是BD 的中点，下列选项中不能判断AD是⊙O的切线的是( ) A.∠B=45° B.∠BAD=90° C.∠D=45° D.∠D=∠B 8.如图,直线AB 经过⊙O上的一点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC.∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB. ∵OC是⊙O的半径, ∴直线AB是⊙O的切线. 9.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于(A) A.27° B.32° C.36° D.54° 10.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,连接PO并延长交⊙O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(A) A.5 B.5 C.5 D. 11.如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点 P，若表盘的半径长为 ,则PC长为(B) A.3 B.2 C.2 D.3 12.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC平分∠DAB,CD⊥AD,垂足为D,AD交⊙O于点E. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若AE=3,CD=2,求⊙O的半径. (1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. ∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC. ∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴∠ADC+∠DCO=180°, ∵∠ADC=90°,∴∠OCD=90°,∴CD 是⊙O的切线. (2)解:过点O作OF⊥AD,垂足为 F,∴∠DFO=∠AFO=90°, 由(1)知∠ADC=∠DCO=90°,∴四边形CDFO 是矩形,∴OF=CD=2.在 Rt△AFO 中,由勾股定理可得,OA= 即⊙O的半径为 13.如图，在矩形ABCD中，⊙O经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为点E，F，与边AD相交于点G.连接CO并延长交边AB 于点 P. (1)求证:∠BPC=45°; (1)若CE=2BE=2,直接写出AP 的长. (1)证明:连接OE,OF.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,AB∥CD. ∵⊙O与BC相切,∴OE⊥CE.同理OF⊥CD. ∵OE=OF,∴CO平分∠BCD,∴∠DCP=45°. ∵AB∥CD,∴∠BPC=45°. (2)解: 过点O作OH⊥AG于点H,OM⊥AB于点M,则 PM=OM=1, 第2 课时 切线长定理 切线长定理 1.经过圆外一点的圆的切线上， 这点 和 切点 之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.从圆外一点可以引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，这一点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角. 2.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别是A,B,如果AP=4,∠APB=60°,则∠APO= 30° ,PB= 4 . 3.如图,从⊙O外一点P 引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B) A.4 B.8 C.4 D.8 4.如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,连接OP,AB.下列结论中不一定正确的是(D) A. PA=PB B. OP 垂直平分AB C.∠OPA=∠OPB D. PA=AB 5.PA,PB分别与⊙O 相切于A,B 两点,点C在⊙O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB的度数为(D) A.50° B. 100° C.130° D.50°或130° 6.如图,PB,PC是⊙O的两条切线,切点分别为B,C,若∠A=65°,则∠P 的度数为(A) A.50° B.55° C.65° D.70° 7.如图,PA,PB分别切⊙O与点A,B,MN切⊙O于点C,分别交 PA,PB于点M,N,若PA=7.5cm,则△PMN的周长是(D) A.7.5cm B.10 cm C.12.5cm D.15 cm 8.如图，正方形ABCD的边长为4 cm.以正方形的一边BC为直径，在正方形ABCD内作半圆O，再过点A 作半圆O的切线，与半圆O相切于点 F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为(B) A.5 cm² B.6 cm² C.7 cm² D.8cm² 9.如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的长是 4 . 10.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD 的度数是 102° . 11.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,⊙O内切于菱形 ABCD,则⊙O的半径为 . 12.如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,BD⊥OC交⊙O于点D,CD的延长线交BA 的延长线于点E. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若BC=6,DE=4,求BE及⊙O的半径. (1)证明:连接OD,则OB=OD,∵BD⊥OC,∴OC平分BD. ∴CD=CB,∴∠CDB=∠CBD. ∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,∴∠ODC=∠OBC=90°,∴半径OD⊥CD,∴CD是⊙O的切线. (2)解:∵BC=6,DE=4,CD=CB,∴CE=10. 在Rt△BCE中，由勾股定理得BE=8 设⊙O的半径为r，在 Rt△ODE中，由勾股定理得 解得r=3,∴⊙O的半径为3. 13.如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8. (1)求证:BO⊥CO; (2)求BE和CG 的长. (1)证明:∵AB,BC,CD 分别与⊙O相切, ∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°, ∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO. (2)解:连接OF,在 Rt△OBC中,易得BC=10,∴BC·OF=OB·OC,即10OF=6×8, 学科网（北京）股份有限公司 $