30.1.2圆的切线（分层作业，8大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习以“圆的切线”为核心，按知识点分层设计，从性质应用到综合证明、作图及几何综合，梯度清晰，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础性质应用|切线的性质定理|选择填空题，直接考查切线与半径垂直关系，夯实基础| |切线证明|证明直线是圆的切线|解答题，需构造半径或垂线，强化逻辑推理| |性质判定综合|切线性质与判定综合应用|综合解答题，结合角度计算与切线证明，提升综合思维| |切线长定理|切线长定理及应用|选择填空题，涉及切线长相等与三角形周长计算，培养模型意识| |切线作图|过圆外一点作圆的切线|尺规作图题，含作图原理证明，发展空间观念| |几何综合|圆与三角形、四边形综合|综合题，融合切线与几何图形性质，激发创新意识|

30.1.2圆的切线 知识点一 切线的性质定理 1．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，由切线的性质得，即可计算，再由圆周角定理可得出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、切线的定义、圆周角定理，根据切线的定义可知，利用勾股定理求出，根据直径所对的圆周角是直角可知，利用三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】解：是的切线， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·天津·期末）如图，是的弦，连接，弦上有一点D，连接并延长与过点B的的切线交于点A，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．连接，根据切线的性质得出，根据等腰三角形的性质求出，可得，再根据即可解决问题． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，是的直径，切于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质，是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵切于点， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 知识点二 证明直线是圆的切线 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）通过连接，证得，从而证切线； （2）连接，利用直径得直角，结合等腰三角形与直角三角形性质求． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， 为的切线． （2）连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，AB是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，则：， ∴． ∵是直径， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； (2)4 【分析】（1）连接得到，圆周角定理得到，进而得到，再说明，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含30度直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）连接，，由垂径定理的推论得到，由直径得到，推出，得到，即可证明是的切线； （2）作，由垂径定理得到，利用勾股定理求出，得到四边形是矩形，根据矩形性质可得长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作交于点F， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 知识点三 切线的性质与判定综合应用 1．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】 证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】略 3．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 4．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【答案】(1) 证明：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； (2) 证明：切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． 知识点四 切线长定理 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解答的关键． 先根据切线长定理和切线性质得到，，再根据等边对等角，结合等腰三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，是的直径， ∴，，又， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）如图，，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 利用切线长定理，可以得到：，据此即可求解． 【详解】解：∵，分别是的切线， ∴ 同理，． ∴三角形的周长 ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，连接，可得，由切线的性质可得，再根据切线长定理得到，进而得到，由即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵分别切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 知识点五 过圆外一点作圆的切线 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查直径所对圆周角为，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【详解】解：如图，PA、PB为所作． 理由：以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【答案】A 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角；根据作图方法以及切线的判定，判断两个作图方法，即可求解． 【详解】解：对于方案I，如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故I正确； 对于方案II， 根据作图可得，则是等边三角形， 而不一定成立，故不一定成立， ∴不一定是的切线，故方案II，不可行 故选：A． 3．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． (1)请根据上述作法在图9中完成尺规作图； (2)请根据作图过程证明，是的切线； (3)若，的半径为5，请直接写出，的长． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据作法作出图形即可； （2）根据切线的判定证明； （3）先证明，再利用30度角的三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：连接，， ∵以为圆心长为半径，交于，两点，是直径， ∴， ∵与是的半径， ∴与是的切线； （3）解：∵与是的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，应用切线长定理求解，过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【答案】(1) 补全图形如图所示： (2)直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题干的步骤进行尺规作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可． 【详解】（1）略 （2）略 知识点一 圆与三角形综合 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作于点G，则，得出，证明，得出，证明，根据等角对等边证明结论即可； （2）连接、、，作于点L，则，证明，得出，说明与重合，即圆心O在的高上，设，则，得出，，，得出，求出，得出，即可得出答案； （3）延长交于点I，交于点Q，作于点K，则，证明，设，则，，根据，求出，根据，得出，设，则，，得出，根据，得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图①，作于点G，则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图①，连接、、，作于点L，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴与重合，即圆心O在的高上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． （3）解：如图②，延长交于点I，交于点Q，作于点P，作于点K，则， ∵，平分，，， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的面积是． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 知识点二 圆与四边形综合 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 3．（21-22九年级上·福建南平·期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． (1)求证：AF=CE； (2)若BF=2，，求⊙O的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ADE=90°． ∵AD∥BC， ∴∠CED=∠ADE=90°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA=90°． ∴∠AFD=∠CED=90°． 在△DAF和△DCE中，， ∴△DAF≌△DCE（AAS）． ∴AF=CE． (2) 【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证； （2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接AH，DF， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD=∠DFA=90°． ∵AD=AB，， ∴． 在Rt△ADF和Rt△BDF中， 由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2， ∴AD2－AF2=BD2－BF2． ∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2． ∴． ∴AD=5． ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题． 4．（2022·山东枣庄·一模）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接. ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是的半径， ∴与相切. （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 知识点一 其他综合问题 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点为上任意一动点（不与、重合），过点作，垂足为点，连接，则的最小值为________.      【答案】 【分析】由题意，点H在以为直径的圆位于内的圆弧上，设圆心为O，连接交圆弧于点，则的最小值即为的长；过点C作于点，设，根据勾股定理求得，则，根据勾股定理分别求出，，即可求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点H在以为直径的圆位于内的圆弧上， 设圆心为O，连接交圆弧于点，则的最小值即为的长，      过点C作于点，设， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 在中，， 在中，， ∴, 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了与圆有关的最短路线问题，勾股定理，明确点H的运动路线是解题的关键． 2．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用以及圆的确定，取中点，再取中点，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，连接，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，当点共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ∴，， ∵，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆弧， ∵点为的中点， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧， 当点共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为． 故答案为：． 3．（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)D (2) 或 (3) 或 【分析】（1）根据新定义，点P是线段的直角关联点当且仅当P对的张角，利用勾股定理逆定理判断三个点即可； （2）半径是，圆心在原点，点P是圆的直角关联点需包含，等价于：从P向作两条切线，切线夹角，即用三角函数和一元二次方程解答即可； （3）先确定封闭图形的存在范围，根据题意要求封闭图形内既有直角关联点也有非直角关联点，等价于封闭图形与圆心为T半径为4的圆相交，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 根据勾股定理逆定理，等价于， 点，，满足条件，故D是直角关联点； 点，，不满足条件，故E不是直角关联点； 点，，不满足条件，故F不是直角关联点； 线段的“直角关联点”的为D； （2）由题意可知：从P向作两条切线，切线夹角， 当时，， 设， ， ， 解这个方程得：， 时， 横坐标m的取值范围或； （3）的半径， 因此P是的直角关联点等价于，非关联点等价于， 由题意可知：封闭图形中既存在关联点也存在非关联点，即封闭图形内既有的点，也有的点， 因此点到封闭图形的最短距离小于或等于4，且最远点距离大于4， 设， 当时，， ， 解得(舍）， ∴， 点到直线的距离， 解得：， 同法可求两直线间的距离为， 点到直线的距离，， 此时，解得：， 封闭图形最远点为，其到T的距离平方满足， 解得：或， 的取值范围或． 4．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题灵活考查坐标系中点的对称，对称的性质，三角形外角的性质，圆的基本性质，根据条件，找到对应情况的图形是解题关键． （1）先将条件利用对称的性质，转化为的关系，再分析，简化计算， ①根据点A，B的坐标判断的形状，作出对应点，对应三角形，利用三角形外角的性质判断与的关系，再根据图象判断对称点与圆的位置关系即可； ②先通过圆的性质，找到弦最大值的情况，再利用勾股定理求解即可； （2）先求出M，N的坐标，再利用（1）中结论，找到的取值范围，再根据找到的最大值与最小值的情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点关于直线对称， ∴， 故“限角对称点”的定义中，条件“”等价于“”， ①由题意，作出对应点图象如下，取点， ∵，，，，横坐标相同， ∴点A，，D，在同一直线上，且轴， ∵， 又由题意可知，的半径为2，即， ∴是等边三角形， ∴， 由外角的性质，可得，， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 其中，，故不为弦的“限角对称点”， 由图象可知，点，关于直线的对称点显然在外部，且，， 故点，是弦的“限角对称点”； ②求解前，为得到弦最大值情况，先论证三个结论， 结论1：如图所示情况，令，由外角的性质可知， 于是，得结论1：若点C为内一点，且不为圆心，则当为定值时，在远离点C一侧的圆弧上时的长度大于在靠近点C一侧的圆弧上时的长度； 结论2：如图所示情况，， 显然，当与同在远离点C的一侧时，当时，； 结论3：如图所示情况，为定值k，即点C在半径为k的的同心圆上， 设为符合条件的任意一点，为定值，假设此时为满足条件的弦的最大值，且， 取点A，，使得，， 由假设，得，故点A在上， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴在垂直于的直径上， ∴点在所在圆中，相对的最远端， ∴， 又，， ∴两者相矛盾，该情况不存在， 故可得结论3：若点C在内，为定值，当，且在远离点C一侧的圆弧上时，弦取得最大值； 由上述3个结论，可得弦取得最大值的情况为，，如下图，设交x轴于点D， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， 由垂径定理，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得（负值已舍去）， ∴， 此时，， ， ∴此时点C关于的对称点在，满足题意， 故弦的最大值为； （2）解：如图，作于点P， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 以为半径，点O为圆心作圆，由题意，可假设与y轴负半轴交于点B，与x轴正半轴交于点A， 则，，，， ∴， 由外角的性质，，即， ∴， 又由图象，显然点P关于的对称点在的外部， ∴此时点P满足“限角对称点”的定义， ∵点C在内，且在上， ∴，即， 由（1）可知，在题给条件下，当，，且在远离点C的一侧的圆弧上时，取得最大值， 故当一定时，该种情况下，取得最大值，即r取得最大值，且为的“限角对称点”， 当点C在上，的最大值为， 如图，作，取点A，B，使得，，交y轴于点P， 由（1）可知，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， 又， ∴此时， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2圆的切线 知识点一 切线的性质定理 1．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津·期末）如图，是的弦，连接，弦上有一点D，连接并延长与过点B的的切线交于点A，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，是的直径，切于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 知识点二 证明直线是圆的切线 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 2．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，AB是直径，点C在上．在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 知识点三 切线的性质与判定综合应用 1．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 4．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 知识点四 切线长定理 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）如图，，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 知识点五 过圆外一点作圆的切线 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 3．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． (1)请根据上述作法在图9中完成尺规作图； (2)请根据作图过程证明，是的切线； (3)若，的半径为5，请直接写出，的长． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 知识点一 圆与三角形综合 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 知识点二 圆与四边形综合 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 3．（21-22九年级上·福建南平·期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． (1)求证：AF=CE； (2)若BF=2，，求⊙O的半径． 4．（2022·山东枣庄·一模）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 知识点一 其他综合问题 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点为上任意一动点（不与、重合），过点作，垂足为点，连接，则的最小值为________.      2．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            3．（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 4．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $