第04课 充分与必要条件 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念巩固-符号应用-综合拓展”为分层路径，通过填空、判断、参数求解梯度设计，强化充分必要条件的抽象理解与推理应用。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充要条件定义、集合关系、电路图情境|通过概念填空强化抽象能力，结合电路情境直观化数学关系| |理解应用层|推出符号表示、命题真假判断|结合方程、几何等实例发展推理能力，辨析易混条件关系| |综合提升层|条件类型判断、参数范围求解|通过集合与参数问题培养模型意识，衔接阶段测评考点|

第04课 充分与必要条件 一、概念填空 1、充要条件：一般地，如果既有________，又有________，就记作________．此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果________，那么与互为充要条件． 概括地说， （1）如果________，那么与互为充要条件． （2）若________，但________，则称是的充分不必要条件． （3）若________，但________，则称是的必要不充分条件． （4）若________，且________，则称是的既不充分也不必要条件． 【答案】 1、，，， （1） （2）， （3）， （4），, 2．如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则 （1）若是的充分不必要条件，则_______； （2）若是的必要不充分条件，则_______； （3）若是的充分必要条件，则_______； （4）若是的既不充分又不必要条件，则_______. 【答案】 （1） （2） （3）= （4） 3．在下列电路图中，分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件: ①中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件； ②中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件； ③中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件； ④中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件. 【答案】 ①充要 ②必要不充分 ③既不充分也不必要 ④充分不必要 二、推出符号的理解 4．用符号“，，”表示下列事件的推出关系： （1）：实数满足 ：， ______； （2）： ：， ______； （3）： ：， ______． （4）： ：， ______； （5）： ：， ______； （6）： 有等根 ：， ______； （7）α： ： ______； （8）α：四边形是正方形 ：对角线互相垂直且平分 ______； （9）α：两个三角形相似 ：两个三角形三边成比例； ______； （10）α： ：，； ______； 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 【解析】 （1）因为解得，所以由推不出，但，可以得到，所以“” （2）由实数之间的关系，则，但反之不成立，即填“” （3）因为，所以集合B中的元素集合A中都有，所以；反之也成立，所以填“” （4）由，所以，反之若，则，所以填“”． （5）因为，所以，反之也成立，所以填“” （6）因为，即，若方程有等根，所以，反之也成立， 所以填“”； （7）因为是的子集，所以. （8）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，故填. （9）“若，则”是相似三角形的性质定理，“若，则”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，故填. （10）因为时，，不一定成立，也可能，，故填. 三、判断下列关于充分、必要条件命题的真假： 5．下列命题，真命题填“真”，假命题填“假”： （1）“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 （2）“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 （3）“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 （4）“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 （5）“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 （6）“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 （7）“”是“”的必要条件 （8）“”是“”的充要条件 （9）“是无理数”是“是无理数”的充要条件 （10）“”是“”的充分条件 （11）是的必要不充分条件 （12）是的充分不必要条件 （13）若，则p是q的充分条件 （14）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 （15）“”是“”的充分条件； （16）“”是“且”的充分条件； （17）“”是“”的充分条件， 【答案】 （1）假 （2）假 （3）假 （4）真 （5）真 （6）假 （7）假 （8）假 （9）真 （10）假 （11）真 （12）假 （13）假 （14）假 （15）真 （16）假 （17）真 【解析】 （1）“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，故假命题； （2）若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等，由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，故假命题； （4）由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，故假命题； （5）若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，故真命题； （5）平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以真命题； （6）三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以假命题； （7）例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以假命题； （8）当时，，此时可以，必要性不成立，假命题； （9）当为无理数时，根据为有理数，可知为无理数，充分性成立； 当为无理数时，根据为有理数可得为无理数，必要性成立； “是无理数”是“是无理数”的充要条件，真命题； （10）当时，，但是，所以“”不是“”的充分条件，假命题. （11）若，则，反之，若，则不一定成立，例如， 所以是的必要不充分条件，真命题； （12）若，则，反之，若，则不一定成立，例如， 所以是的必要不充分条件，假命题； （13）若，则p是q的必要条件，假命题； （14）若一个四边形是矩形，则它是平行四边形， 反之，若一个四边形是平行四边形，则它不一定是矩形， 所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，假命题. （15）若，则成立，即充分性成立；所以真命题； （16）由，可得或，所以若，则且不成立，所以不真命题； （17）若，则成立，所以真命题. 四、根据充分条件和必要条件填空： 6．填“充分不必要”，“必要不充分”或“充要条件”： （1）“”是“”的 条件； （2）“”是“”的 条件； （3）“”是“”的 条件； （4）“”是“” 的 条件； （5）“是整数”是“是有理数”的 条件； （6）“”是“”的________条件． （7）“”是“”的______条件； （8）“”是“” 的______条件； （9）已知集合，，“”是“”的______条件． 【答案】 （1）必要不充分 （2）必要不充分 （3）必要不充分 （4）充分非必要 （5）充分非必要 （6）充要 （7）必要非充分 （8）既不充分又不必要 （9）必要不充分 【解析】 （1）由不能推出，但由必有，故填必要不充分条件. （2）由，但不能推出，故填必要不充分条件. （3）由，，故填必要不充分条件. （4）当时，成立， 反过来，当时，或，所以不一定， 所以是的充分非必要条件. （5）因为整数一定是有理数，但是有理数不一定是整数， 所以“是整数”是“是有理数”的充分非必要条件； （6）由得到，即， 当时，则，所以， 所以是的充要条件； （7）由，有或，充分性不成立； 由，必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. （8）由,令，则，即得不到； 反之，，取，得不到. 则“”是“”的既不充分又不必要条件. （9）当时，不能推出，所以充分性不成立． 反之，若，则.故“”是“”的必要不充分条件. 五、根据充分条件和必要条件求解参数的范围： 7．根据充分条件和必要条件求解参数的范围： （1）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为______． （2）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是__________. （3）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是__________. （4）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______. （5）若“”是“”的充分条件，则实数的值为__________. （6）若“：”是“：”的充分条件，则的最大值为_________． （7）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是_____________． （8）已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是_______． （9）已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是______． （10）已知集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. （11）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______. （12）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_________. （13）已知集合，,“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是_________. （14）已知集合，,“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5）或 （6）1 （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） 【解析】 （1）由“”是“”的充分条件，则； （2）由，故，解得：； （3）由是的充分条件，所以； （4）由是的充分条件，所以，所以. （5）依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. （6）若是的充分条件，则，又， 所以，所以，所以的最大值为1. （7）若不等式成立的充分条件是， 则， 所以； （8）设集合，集合， 因为是的充分条件，所以，所以，解得. （9）因为“”是“”的必要条件，所以， 则，解得； （10）若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. （11）因为“”是“”的充分条件， 所以,所以； （12）由题得，所以； （13）由题得，所以，解得. （14）由题得． （两个等号不能同时取到），． 试卷第2页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04课 充分与必要条件 一、概念填空 1、充要条件：一般地，如果既有________，又有________，就记作________．此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果________，那么与互为充要条件． 概括地说， （1）如果________，那么与互为充要条件． （2）若________，但________，则称是的充分不必要条件． （3）若________，但________，则称是的必要不充分条件． （4）若________，且________，则称是的既不充分也不必要条件． 2．如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则 （1）若是的充分不必要条件，则_______； （2）若是的必要不充分条件，则_______； （3）若是的充分必要条件，则_______； （4）若是的既不充分又不必要条件，则_______. 3．在下列电路图中，分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件: ①中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件； ②中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件； ③中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件； ④中，开关A闭合是灯泡B亮的____条件. 二、推出符号的理解 4．用符号“，，”表示下列事件的推出关系： （1）：实数满足 ：， ______； （2）： ：， ______； （3）： ：， ______． （4）： ：， ______； （5）： ：， ______； （6）： 有等根 ：， ______； （7）α： ： ______； （8）α：四边形是正方形 ：对角线互相垂直且平分 ______； （9）α：两个三角形相似 ：两个三角形三边成比例； ______； （10）α： ：，； ______； 三、判断下列关于充分、必要条件命题的真假： 5．下列命题，真命题填“真”，假命题填“假”： （1）“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 （2）“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 （3）“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 （4）“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 （5）“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 （6）“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 （7）“”是“”的必要条件 （8）“”是“”的充要条件 （9）“是无理数”是“是无理数”的充要条件 （10）“”是“”的充分条件 （11）是的必要不充分条件 （12）是的充分不必要条件 （13）若，则p是q的充分条件 （14）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 （15）“”是“”的充分条件； （16）“”是“且”的充分条件； （17）“”是“”的充分条件， 四、根据充分条件和必要条件填空： 6．填“充分不必要”，“必要不充分”或“充要条件”： （1）“”是“”的 条件； （2）“”是“”的 条件； （3）“”是“”的 条件； （4）“”是“” 的 条件； （5）“是整数”是“是有理数”的 条件； （6）“”是“”的________条件． （7）“”是“”的______条件； （8）“”是“” 的______条件； （9）已知集合，，“”是“”的______条件． 五、根据充分条件和必要条件求解参数的范围： 7．根据充分条件和必要条件求解参数的范围： （1）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为______． （2）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是__________. （3）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是__________. （4）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______. （5）若“”是“”的充分条件，则实数的值为__________. （6）若“：”是“：”的充分条件，则的最大值为_________． （7）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是_____________． （8）已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是_______． （9）已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是______． （10）已知集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. （11）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______. （12）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_________. （13）已知集合，,“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是_________. （14）已知集合，,“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $