课时作业14 点到直线的距离公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以点到直线距离公式为核心，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从公式直接应用到多知识点交汇的递进，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|公式直接应用|选择题1-5直接代入公式计算，如原点到直线距离，夯实运算基础| |能力提升|公式逆用与几何综合|选择题6-8、填空题9-11涉及距离公式逆求参数、三角形面积计算，培养推理意识| |综合拓展|多知识点交汇与最值探究|解答题13-15结合直线交点、平行垂直关系及最值问题，发展模型意识与创新思维|

课时作业14 点到直线的距离公式 一、选择题 1.原点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 2．到直线的距离等于的直线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 3．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 4．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A．0 B. C．3 D．0或 5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1,2)或(2，－1) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(1,2) 7．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A．2 B. C. D．2 8.（多选题）已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是(　　) A.若l1∥l2,则m=-1或m=3 B.若l1∥l2,则m=3 C.若l1⊥l2,则m=- D.若l1⊥l2,则m= 二、填空题 9．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 10．已知5x＋12y＝60，则 的最小值是________． 11．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条． 12.过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________. 三、解答题 13．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程． 14．已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分． (1)求直线l的方程； (2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积． 15．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 课时作业14 点到直线的距离公式 （答案） 一、选择题 1.原点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 解析：由点到直线距离可知所求距离.故选：. 2．到直线的距离等于的直线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 解析：因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，，解得或，故所求直线方程为或. 故选：D. 3．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 解析：选B　点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，选B. 4．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A．0 B. C．3 D．0或 解析：选D　点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D. 5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5. 6．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1,2)或(2，－1) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(1,2) 解析：选A　设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意，得＝，解得a＝1或2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1)． 7．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A．2 B. C. D．2 解析：选B　将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为. 8.（多选题）已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是(　　) A.若l1∥l2,则m=-1或m=3 B.若l1∥l2,则m=3 C.若l1⊥l2,则m=- D.若l1⊥l2,则m= 解析：由直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0得,若l1∥l2,则,解得m=3,故A错误,B正确;若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C错误,D正确.故选BD. 二、填空题 9．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析：由题意得＝，解得a＝－3或3. 答案：－3或3 10．已知5x＋12y＝60，则 的最小值是________． 解析： 表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝. 答案： 11．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条． 解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行， ∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0. ∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝， ∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条． 答案：2 12.过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________. 解析：由，得，所以，直线与的交点为. 当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意； 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即， 由于点到所求直线的距离为，可得， 整理得，解得或. 综上所述，所求直线的方程为或. 答案：或. 三、解答题 13．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程． 解：法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k. 又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0. 由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等， 得＝，解得k＝0或k＝1. ∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0. 法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等． ∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)， ∴直线l的方程是x－y＋2＝0； 当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等． ∵直线AB的斜率为0， ∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2. 综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2. 14．已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分． (1)求直线l的方程； (2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积． 解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)． 又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)． ∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即B(4,0)． 故直线l的方程是x＋4y－4＝0. (2)由(1)，知A(－4,2)． 又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6. 点A到直线l1的距离d＝＝， |AD|＝ ＝4， ∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28. 15．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 解：(1)法一：联立⇒交点P(2,1)， 当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋1－2k＝0， ∴＝3，解得k＝， ∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意， 故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或， ∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. (2)由解得交点P(2,1)， 过P任意作直线l，设d为A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， ∴dmax＝|PA|＝. 学科网（北京）股份有限公司 $