课时作业15 2.3.4两平行直线间的距离 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦两平行线间距离公式，通过基础巩固、中档深化、提升拓展三层设计，实现从公式应用到综合问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|距离公式直接应用|选择1-3直接套用点到直线及平行线距离公式，填空10-11强化运算准确性| |中档|公式与几何结合|选择4-8结合三角形面积、动点对称，填空12-13渗透转化思想，如将最值转化为平行线距离| |提升|多知识点综合|选择9（多选）融合垂直关系判定，解答16存在性探究整合距离比与区域限制，培养逻辑推理|

课时作业15 两平行线间的距离 一、选择题 1．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0＜d≤3 B．0＜d≤5 C．0＜d＜4 D．3≤d≤5 2．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4　　　　　　　　　　 B. C. D. 3．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A．0 B. C．3 D．0或 4．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 6．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　) A. B. C．4 D．2 7.已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为(　　) A. B. C. D. 8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.3 B.2 C.3 D.4 9.(多选题）已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下说法正确的是(　　) A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直 B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0) C.不论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.如果l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是(O为坐标原点) 二、填空题 10．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________． 11．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________． 12.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为　　　　.  13．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________． 三、解答题 14．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程． 15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程． 16.已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件: (1)P是第一象限的点; (2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的; (3)P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由. 课时作业15 两平行线间的距离 （答案） 一、选择题 1．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0＜d≤3 B．0＜d≤5 C．0＜d＜4 D．3≤d≤5 解析：选B　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0＜d≤5. 2．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，选D. 3．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A．0 B. C．3 D．0或 解析：选D　点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D. 4．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此， S△ABC＝×2×＝5. 5．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 解析：选C　直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C. 6．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　) A. B. C．4 D．2 解析：选B　∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝. 7.已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为(　　) A. B. C. D. 解析：由l1∥l2得,a=,因此l1:2x-y-2=0,∴d===,故选D. 8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.3 B.2 C.3 D.4 解析：由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则=,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.故选C. 9.(多选题）已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下说法正确的是(　　) A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直 B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0) C.不论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.如果l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是(O为坐标原点) 解析：对于A项,a×1+(-1)×a=0恒成立,l1与l2互相垂直恒成立,故A正确;对于B项,直线l1:ax-y+1=0,当a变化时,x=0,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1);l2:x+ay+1=0,当a变化时,x=-1,y=0恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确;对于C项,在l1上任取一点(x,ax+1),该点关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入l2:x+ay+1=0,左边不恒等于0,故C不正确;对于D项,联立解得即M(),所以|MO|=,所以|MO|的最大值是,故D正确.故选ABD. 二、填空题 10．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________． 解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52， ∴k＝－3，或k＝. 答案：－3或 11．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________． 解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝. 答案： 12.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为　　　　.  解析：设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y=6,直线l2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上,|AB|=,由l1∥l2,得|AB|min==1. 答案：1 13．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________． 解析：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 三、解答题 14．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程． 解：法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k. 又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0. 由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等， 得＝，解得k＝0或k＝1. ∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0. 法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等． ∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)， ∴直线l的方程是x－y＋2＝0； 当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等． ∵直线AB的斜率为0， ∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2. 综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2. 15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． ∴|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b>1)， 由梯形的面积公式得×＝4， ∴b2＝9，b＝±3. 又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16.已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件: (1)P是第一象限的点; (2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的; (3)P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由. 解析：能.设存在满足条件的点P(x0,y0), 若点P满足条件(2),则有=·,化简得2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 若P点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有=·, 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|. ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,故舍去. 由得不合题意,故舍去. 由得 ∴P即同时满足三个条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $