2.3.4 两条平行直线间的距离（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“两条平行直线的距离”为核心，通过A、B、C组及高考链接分层设计，构建从概念理解到高考应用的知识巩固路径，注重数学抽象与逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（距离公式、平行线求法、对称问题等）|基础选择填空，直接应用公式，巩固运算能力| |B组|综合应用（对称与距离结合、动点问题等）|解答题为主，需多知识点联动，培养推理意识| |C组及拓展|高考创新题型（存在性问题、同构思想、真题）|开放题与高考题，发展创新意识与应用能力|

分层作业 2.3.4 两条平行直线间的距离 参考答案 两平行线间的距离知识点01 1.A； 2．A； 3．A； 4.A； 5.； 6. 由距离求已知直线的平行线知识点02 7. AC； 8．6或； 9．【答案】(1)或；(2)或. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 10.【答案】(1)或；(2)或. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 关于平行直线的对称直线知识点03 11. ； 12．； 直线关于点对称的直线知识点04 13.D； 14.C； 15.； 16.【答案】 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 直线关于直线的对称问题知识点06 17. A； 18.A； 19.B； 20.A； 21.； 22.； 23.【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 24.【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 直平行线间的距离的应用知识点07 25. 和； 26．； 27．1； 28．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）如图所示， 由，解得，； 因为对角线的交点是，所以， 因为平行于,所以设：， 点代入得，解得， 边所在直线的方程为：. （2）由（1）可知直线和直线之间距离为， 由，解得，， 由，得， 平行四边形的面积为. 1． C； 2．C； 3．C； 4．C； 5．C； 6．A； 7．A； 8．D； 9．D； 10.BCD； 11.AB； 12．； 13．； 14.【答案】(1)0或7；(2) 【详解】（1）由题意知直线与的斜率分别为：， 当直线与垂直时，则，即， 解得：，故实数的值为0或7； （2）由（1）知直线与的斜率分别为：， 当直线与平行时，有，即， 解得：. 此时，直线的方程为，直线的方程为， 为计算距离，将两直线方程分别化为和， 所以直线与的距离. 15．【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标. 1. B； 2．B； 3. BC ； 4．； 5. ，，（只需写出其中一个值即可）； 6.【答案】(1)；(2)存在， 【详解】（1） 与间的距离为， 即 ； （2）假设存在，设点，由条件②知，点在与平行的直线上，且 或 或， 由条件③知， ， 即或， 因为点在第一象限， （舍）， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③. 1．C； 2．A； 3.D； 4．C； 5.4； 6.①⑤； 7. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.4两条平行直线的距离 目录 A组巩固过关 知识点01两平行线间的距离 知识，点02由距离求已知直线的平行线 知识点03关于平行直线的对称直线 知识，点04直线关于，点对称的直线 知识，点05直线关于直线对称问题 知识点06平行线间的距离的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识点01 两平行线间的距离 知识点速记： 两平行直线间的距离 (1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离. IG-Cl (2)公式：两条平行直线：x+By+C=0与1，：A+y+C=0之间的距 d=VA2+B2· 题型巩固练： 1.(2526高一下重庆期末)直线：x-y-1=0与4：x-y-2=0间的距离为( 2 B.1 C.2 D.22 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下安徽蚌埠阶段检测)直线3x+4y-5=0与直线6x+8y+7=0之间的距离为() 17 17 17 17 A.10 B.5 c.2 D.20 3.(2026高三·全国专题练习)若直线：x-2y+m=0(m>0)与直线：x+y-3=0之间的距离是V5, 则m+n=() A.0 B.1 C.-1 D.2 4.(2026北京海淀二模)若直线：2x-y+1=0与：ax+y+a=0平行，则4与12的距离为() 5 A B.2 5 C.3 D.4 5.(25-26高二下云南昭通阶段检测)平行直线x+5y+5=0与x+V5y-35=0之间的距离为 6.(25-26高二下上海期中)两平行直线2x+(1-a)y-3=0与x-2y+2=0间的距离为. 知识点02 由距离求已知直线的平行线 知识点速记： 由距离求己知直线Ax+By+C=0的平行线的解题方法： 首先设所求直线方程为Ax+By+m=0,利用两平行线间的距离公式求出参数m,从而得到所求 平行线的方程。 题型巩固练： 7.(多选)下列直线与直线1：V5x-y+1=0平行，且与它的距离为2的是() A.V3x-y+5=0 B.V3x-y-5=0 c.V3x-y-3=0 D.V3x-y+3=0 8.(25-26高二上广西钦州期中)若直线3x-4y-2=0与直线6x-8y+m=0间的距离为1，则m= 9.求下列直线方程： (1)已知直线1经过直线2x+y-5=0和x-2y=0的交点，且4(5,0)到1的距离为3，求直线I的方程： (2)求与直线m:x-y-2=0平行且到m距离为25的直线方程. 10.(25-26高二上吉林期中)求下列直线方程： 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知直线1经过直线2x+y-5=0和x-2y=0的交点，且A(5,0)到1的距离为3，求直线I的方程： (2)求与直线：x-y-2=0平行且到1距离为2√2的直线方程 知识点03 关于平行直线的对称直线 知识点速记： 己知直线：Ax+By+C=0,1:A+By+C2=0,求直线关于直线马的对称直线的方程： 显然41儿，设所求直线方程为Ax+By+m=0,然后在马上找点P,求出点P关于直线马的对 称点P'(x,),再代入Ax+B,y+m=0即可解出m.也可由平行线间的距离相等构建关于m的方程 求解。 题型巩固练： 11.已知直线：x-y+3=0,直线：x-y-1=0,若直线4关于直线1的对称直线为，则直线2的方程为 12.(25-26高二上四川成都期中)直线3x-4y+5=0关于直线3x-4y-1=0对称的直线的方程为 (用一般式表示) 知识点04 直线关于点对称的直线 知识点速记： 求直线关于点对称的直线方程常用方法有坐标转移法或待定系数法。 1.坐标转移法：设圆直线方程为Ax+By+C=0,对称点坐标为x,%),在对称直线上任取一点 (,),其关于对称点的坐标为(2x,-x,2y。-)必在原直线上，代入得 A(2x。-x)+B(2y-y)+C=0,化简即得对称直线方程。 2.待定系数法：设对称直线为Ax+By+C'=0(与原直线平行)，根据对称中心到两直线的距离 相等，列方程解得C'=-2A,-2By-C,代入即可。 题型巩固练： 13.与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为() A,4x+3y-5=0B.3x+4y+5=0C.4x-3y+5=0 D.3x-4y-5=0 14.(25-26高二上浙江宁波期中)己知直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(2,0)对称，则实数 b=() 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.1 C.-2 D.-1 15.(24-25高二上重庆阶段检测)直线：2x-y+3=0关于点L,2)对称的直线方程为」 16. 已知直线：y=3x+7,试求直线1关于A(4,2)对称的直线方程. 知识点06 直线关于直线的对称问题 知识点速记： (①已知直线：Ax+By+C=0,42:Ax+By+C2=0(不平行于l),求直线关于直线的对 称直线的方程的方法为：首先找出与的交点P,然后在上确定一点（不同于交点），求出这 一点关于的对称点P'，由直线的两点式方程确定所求直线方程 (2)常见的直线关于直线的对称方程 设直线I为Ax+By+C=0. ①l关于x轴对称的直线的方程是Ar-By+C=0: ②l关于y轴对称的直线的方程是Ar-By-C=0, ③l关于直线y=x对称的直线的方程是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=-x对称的直线的方程是Bx+A少-C=0: ⑤l关于直线y=x+m对称的直线的方程是Bxr+Ay-Am+Bm+C=0, ⑥l关于直线y=-x+m对称的直线的方程是Bx+y-Am-Bm-C=O】 [b-y=-1 a-x ③设 关于直线 对称的点为 则y+bx+a’解得 P(x,y) y=x P(a,b) 22 b=x,a=y 即(y,x),又B(yx)在Ax+By+C=0,则Ay+Bx+C=0, 所以I关于直线y=x对称的直线的方程是Bx+Ay+C=0: {d-y=1 C-x ④设 关于直线 对称的点为 则 y+d_x+c’ 解得 P(x,y) y=-x P(c,d) 2 2 c=-y,d=-x 即P(-y,-x),又P(-y,-x)在Ax+By+C=0,则-Ay-Bx+C=0, 所以I关于直线y=-x对称的直线的方程是Bx+Ay-C=0； t-y =-1 S-x ⑤设 关于直线 对称的点为 则 y+t_s+x ,解得 P(x,y) y=x+m P3(s,t) +m 22 s=y-m,t=x+m 即P(y-m,x+m),又P(y-m,x+m)在Ax+By+C=0,则A(y-m)+B(x+m)+C=0, 所以I关于直线y=x+m对称的直线的方程是Bx+Ay-Am+Bm+C=O: 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y%-y=1 Xo-x ⑥设 关于直线 对称的点为 则 ，解得 P(x,y) P(Xo>Yo) y+h=-+ -+m y=-x+m 2 s=m-y,yo=m-x, 即R(m-ym-x),又R(m-ym-x)在Ax+By+C=0,则A(m-y)+B(m-x)+C=0, 所以I关于直线y=x+m对称的直线的方程是Brx+Ay-Am-Bm-C=0； 题型巩固练： 17.(25-26高二上北京阶段检测)与直线x-2y+4=0关于y轴对称的直线的方程为（)· A.x+2y-4=0 B.x+2y+4=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 18.(2026新疆一模)在平面直角坐标系中，直线：2x+3y-1=0关于直线：x-y+2=0对称的直线马 的方程是() A.3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0 19.(25-26高二上广东惠州期中)己知直线2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线的对称直 线m的方程为() A.3x-16y+102=0 B.9x-46y+102=0 C.3x-2y+8=0 D.9x-46y+51=0 20.(25-26高二上广西桂林期中)若直线：2x+y+1=0关于直线x+y-3=0对称的直线经过点 A(-2,1),则a=（) A.-1 B.1 c.-2 3 D. 21.(25-26高二下福建厦门阶段检测)在平面直角坐标系中，若直线1与直线x+y-1=0关于直线y=2 对称，则直线的方程为一 22.(25-26高二上辽宁沈阳阶段检测)求直线2x+1y+16=0关于直线3x+4y-1=0对称的直线方程为 23.(1920高一下江苏苏州阶段检测)已知直线2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求： (1)直线1关于点A(1,-2)对称的直线1的方程 (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程. 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.已知直线：x-y-1=0,1:x-y+3=0,1:2x-y-1=0 (1)求直线关于直线1的对称直线的方程： (2)求直线2关于直线的对称直线2的方程. 知识点07 直平行线间的距离的应用 题型巩固练： 25.(2425高二上吉林松原阶段检测)若直线1被两条直线：x-y=0与1：x-y+2V2=0所截得的线段 的长为2√2，则1的倾斜角可以是 26.(24-25高二上辽宁沈阳阶段检测)平面上有四条直线，它们的方程分别是 y=2x+1,4x-2y+5=0,y=-x+1, x+y-4=0.则由这四条直线围成四边形的面积是 27.(2425高=下江苏盐城开学考试)已知直线y=- 3x+1与x轴，y轴分别交于点A,B,以线段AB 为边在第一象限内作等边△4BC,如果在第一象限内有一点P(2√5，m)使得。ABP和△ABC的面积相等，则 1m= 28.(25-26高二上江苏常州阶段检测)平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是 x+y-1=0、2x-y+4=0,对角线的交点是M(1,1): (1)求边CD所在直线的方程： (2)平行四边形ABCD的面积， B组 能力进阶 1.(24-25高二上福建厦门期中)点P(1,2)在直线1上，直线4与1关于点(0，)对称，则一定在直线4上 的点为() 13 A.22 C.（-1,0) D.(1,0) 2.(24-25高二上山东泰安期中)己知直线：y=x-2k+1与直线2关于点(1,0)对称，则2恒过的定点 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() A.(2,1) B.(2,-1) c.(0,-1) D.（-1,-) 3.(25-26高二上山东聊城期末)若直线：x-2y+a=0,1:2x+by-4=0互相平行，且两直线之间的距 5 离为5，则。的值为（） A.-1 B.-3 C.-1或-3 D.-3或-5 4.(2526高二上河南期中)直线：3x-4y+5=0与4：3x-4y-2=0上各有一动点P,2,则P的最小 值为() A.5 .号 5.(25-26高三上河北期中)已知a,b∈R,且a>0,b>0.若直线：ax+4y-2=0与直线：x+ay-b=0 2v5 平行，且两直线间的距离为5，则。+b的值为(） A.3 B.4 C.5 D.6 6.(25-26高二上江苏苏州期中)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,4)与点B(6,0)重 合，若此时y轴与直线y=x+b也正好重合，则k的值是() A.12 B.2 c.4 0. 3 7.(25-26高二上山东枣庄期中)若动点A(x,,B(:,)分别在直线4：3x+y-5=0和42： 3x+y-7=0上移动，则线段AB的中点M点到原点的距离的最小值为(） A.30 c.9i0 3 5 B.5 10 D.2 8.(25-26高二上江苏苏州期中)已知实数a,b,c,d满足4a+3b-3=0,8c+6d+5=0,则 (a-c+(b-d)的最小值为() A 64 B.25 c品 。周 9.(25-26高二上河南阶段检测)已知点A,B的坐标分别为(2,0)，(-1,4)，P为动点，且△PAB的面积总为 10,则动点P的轨迹方程为() A.4x+3y-12=0 B.4x+3y+12=0 C.4x+3y-12=0或4x+3y+28=0 D.4x+3y+12=0或4x+3y-28=0 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(多选)(25-26高二上湖南衡阳期中)已知直线：(a+4)x+y-2=0与n:ar+2y-1=0,则下列选 项正确的是() A.若111n,则a=4或a=-2 B.若a=-6,则1⊥n c.直线相过点分引 W2 D.若1/n'则1？n之间的距离为4 11.(多选)(25-26高二上云南文山阶段检测)若两平行线分别经过点4(5,0)，B(0,12),则两平行线之 间的距离d可能等于() A.12 B.13 C.14 D.15 12.(25-26高二上河南阶段检测)已知点A,B分别在直线：x-2y+3=0和：x-2y-7=0上，若AB的 中点P恰好在直线x+y-1=0上，则点P的坐标为 13.(25-26高二上安徽阶段检测)直线1经过直线：x-2y+4=0和1，：x+y-2=0的交点P,且与直线 4:3x-4y+5=0平行，则直线，间的距离为 14.(25-26高二上河南郑州期中)已知直线：(m-)x+3y-8=0与直线42：(m-6)x-2y+6=0. (1)当直线4与2垂直时，求实数m的值： (2)当直线4与2平行时，求直线与2的距离 15.(2425高二上河南期中)已知直线1：x-y-1=0. (1)若直线m与l.平行，且m,l之间的距离为2V2,求m的方程； (2)P为1上一点，点M(,-2),N(2,6),求PW-PM取得最大值时点P的坐标 C组 思维拔高 0=c-2_4 1.【数学抽象】(25-26高三下江西赣州：期中)己知实数a,b,cd满足方=d-i3,则 V(a-c+(b-d)的最小值为() 1 A.5 c D.5 2.【逻辑推理】(24-25高二上·甘肃甘南期末)在平面直角坐标系x0少中，记动点P为 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (,%)(之0，≥0)，若点P在直线x+y=4上，则x+V号+6的最小值为() A.2 B.4 c.6 D.8 3.【存在性问题】(2025河北秦皇岛模拟预测)如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在A点平行于地 面发出一条射线0，与AB的夹角为B,在AB中点处有一个感应器P(体积忽略不计)，己知AB=12, AD=m,则下列说法正确的是() 0 A若m=3射线。经过一次反射就被感应器排捉到，则0-胥 B.若m=8,射线a第一个反射点在BC边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C,无论AD长度如何变化，必定存在日使得射线C反射两次就可以被感应器捕捉到 D.存在B,使得射线α依次经过BC,AD,CD三个面的反射后能被感应器捕捉到 4.【同构思想】(2526高二上江苏南通期中)已知两条直线4x+by+1=0和4，x+b,y-1=0都经过点 A(1,1),则两点P(4,b),B(a,b)间的最短距离为 5,【开放题】(25-26高二上湖北襄阳阶段检测)若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式 2a+b+3=5a-3b+3=1Wa2+b2,试写出满足条件的一个实数t的值： 6.【探索性问题】(25-26高二上辽宁大连期中)已知三条直线： y30:4-2y+a50a<0,+上0，且以乳阿的距离是 (1)求a的值： (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限：②点P到的距离是点P到2的距 离的2；③点P到的距离与点P到l的距离之比是V10:5,若能，求点P的坐标；若不能，说明理由 ● 拓展 链接高考 1.(2003全国高考真题)直线y=2x关于x轴对称的直线方程为() 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.y=-2x B.y=x 2 C.y=-2x D.y=2x 2.(1990全国高考真题)如果直线y=x+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么() Aa-b-=68.a=b=-6 1 C.a=3,b=-2 D.a=3,b=6 3.(2020山东高考真题)直线2x+3y-6=0关于点（-1,2)对称的直线方程是() A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 4.(2004安徽高考真题)已知直线：x-y-1=0,4:2x-y-2=0.若直线与4关于1对称，则2的方程 是() A.x+y-1=0B.x+2y-1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0 5.(2006上海·高考真题)如图，平面中两条直线和2相交于点O.对于平面上任意一点M,若p,q分别 是M到直线马和的距离，则称有序非负实数对(p,9)是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐 标”是L2)的点的个数是 M(p,q) 6.(2009全国高考真题)若直线m被两平行线：x-y+1=0与：x-y+3=0所截得的线段的长为22， 则的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_（写出所有正确答 案的序号)， 7.(2016-上海高考真题)已知平行直线：2x+y-1=04,:2x+y+1=0,则与2的距离是 10/10 分层作业 2.3.4 两条平行直线的距离 目 录 A组 巩固过关 知识点01 两平行线间的距离 知识点02 由距离求已知直线的平行线 知识点03 关于平行直线的对称直线 知识点04 直线关于点对称的直线 知识点05 直线关于直线对称问题 知识点06 平行线间的距离的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 两平行线间的距离知识点01 知识点速记： 两平行直线间的距离 （1）概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． （2）公式：两条平行直线与之间的距离． 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型巩固练： 1．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 4．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【详解】. 6．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 由距离求已知直线的平行线知识点02 知识点速记： 由距离求已知直线的平行线的解题方法： 首先设所求直线方程为，利用两平行线间的距离公式求出参数，从而得到所求平行线的方程。 题型巩固练： 7．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 8．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 9.求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或；(2)或. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 10．（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或；(2)或. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 关于平行直线的对称直线知识点03 知识点速记： 已知直线，，求直线关于直线 的对称直线的方程： 显然，设所求直线方程为，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 也可由平行线间的距离相等构建关于的方程求解. 题型巩固练： 11．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 12．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 直线关于点对称的直线知识点04 知识点速记： 求直线关于点对称的直线方程常用方法有坐标转移法或待定系数法。 1.坐标转移法：设圆直线方程为，对称点坐标为，在对称直线上任取一点，其关于对称点的坐标为必在原直线上，代入得，化简即得对称直线方程。 2.待定系数法：设对称直线为（与原直线平行），根据对称中心到两直线的距离相等，列方程解得，代入即可。 题型巩固练： 13．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 14．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 15．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 16．已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 直线关于直线的对称问题知识点06 知识点速记： ⑴已知直线，（不平行于），求直线关于直线 的对称直线的方程的方法为：首先找出与的交点，然后在上确定一点（不同于交点），求出这一点关于的对称点，由直线的两点式方程确定所求直线方程. （2）常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. ①关于轴对称的直线的方程是； ②关于轴对称的直线的方程是； ③ 关于直线 对称的直线的方程是； ④ 关于直线 对称的直线的方程是； ⑤关于直线 对称的直线的方程是； ⑥关于直线对称的直线的方程是. ③④⑤⑥的证明如下： ③设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； ④设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； ⑤设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； ⑥设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； 题型巩固练： 17．（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 18．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 19．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 20．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 21．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 22．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 23．（19-20高一下·江苏苏州·阶段检测）已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 24．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 直平行线间的距离的应用知识点07 题型巩固练： 25．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是__________. 【答案】和 【详解】因为直线与 则直线，故它们的距离， 又因为直线被两直线截得的线段长为， 设与的夹角为，则，， 故，而直线的斜率为1，故倾斜角为， 故直线的倾斜角为，或． 26．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）平面上有四条直线，它们的方程分别是 ．则由这四条直线围成四边形的面积是_______． 【答案】 【详解】因为， 所以直线互相平行，距离为， 又互相平行，所以四条直线围成四边形为平行四边形， 记与直线分别交于点， 则由解得，由解得， 因为， 所以四边形面积为. 故答案为： 27．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则______． 【答案】1 【详解】如图所示：    因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 28．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）平行四边形的边和所在的直线方程分别是、，对角线的交点是. (1)求边所在直线的方程； (2)平行四边形的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）如图所示， 由，解得，； 因为对角线的交点是，所以， 因为平行于,所以设：， 点代入得，解得， 边所在直线的方程为：. （2）由（1）可知直线和直线之间距离为， 由，解得，， 由，得， 平行四边形的面积为. 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 3．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 4．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 5．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行，所以，且，所以， 所以直线与直线平行， 两直线间的距离为，且， 所以，所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 7．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 8．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 10．（多选）（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【详解】对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令，得，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 11．（多选）（25-26高二上·云南文山·阶段检测）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于. 故选：AB. 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. 【答案】 【详解】∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立，解得，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程为， 所以直线间的距离为. 14．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知直线与直线. (1)当直线与垂直时，求实数的值； (2)当直线与平行时，求直线与的距离. 【答案】(1)0或7；(2) 【详解】（1）由题意知直线与的斜率分别为：， 当直线与垂直时，则，即， 解得：，故实数的值为0或7； （2）由（1）知直线与的斜率分别为：， 当直线与平行时，有，即， 解得：. 此时，直线的方程为，直线的方程为， 为计算距离，将两直线方程分别化为和， 所以直线与的距离. 15．（24-25高二上·河南·期中）已知直线：. (1)若直线与. 平行，且之间的距离为，求的方程； (2)为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标. 1．【数学抽象】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 2．【逻辑推理】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B 3．【存在性问题】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 4．【同构思想】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 5．【开放题】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 6．【探索性问题】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知三条直线：，且与间的距离是， (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)；(2)存在， 【详解】（1） 与间的距离为， 即 ； （2）假设存在，设点，由条件②知，点在与平行的直线上，且 或 或， 由条件③知， ， 即或， 因为点在第一象限， （舍）， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③. 1．（2003·全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则 关于x轴对称的点在直线上， 即有，满足直线方程， 即，     化简得，. 故选：C. 2．（1990·全国·高考真题）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上取一点， 则由题意可得其关于直线的对称点在上， 所以，得， 在上取一点， 则其关于直线的对称点在上， 所以，得， 综上， 故选：A 3．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 4．（2004·安徽·高考真题）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上， 即，解得： 在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上， 由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为： 即 故选：C 5．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是___________. 【答案】4 【详解】 作直线，与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，与直线平行，且与直线的距离为2， 由图可得，，，，有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4. 故答案为：4. 6．（2009·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)． 【答案】①⑤ 【详解】因为，所以直线，间的距离． 设直线m与直线，分别相交于点B，A， 则， 过点A作直线l垂直于直线，垂足为C， 则， 则在中，， 所以， 又直线的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角为或． 故答案为：①⑤． 7．（2016·上海·高考真题）已知平行直线，则的距离是_______________. 【答案】 【详解】试题分析： 利用两平行线间的距离公式得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $