4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的零点与方程的解，涵盖零点概念、零点与方程解的等价关系及零点存在定理。通过回顾二次函数与一元二次方程的关系，以“ln x+x=0无法公式求解”设问，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于例题类型丰富，含分段函数零点求解、参数范围讨论、图像分析等，结合数学思维的推理能力与数学语言的模型观念，引导学生深化理解。课堂小结系统梳理定理与关系，助力学生掌握知识，也为教师教学提供清晰框架。

4.5.1 函数的零点与方程的解 情境导入 思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点． 像ln x+x=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 我们把使f(x)=0 的实数 x叫做函数 y=f(x)的零点. 这样，函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与 x 轴的公共点的横坐标. 所以方程 f(x)=0 有实数解 函数 y=f(x) 有零点 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有公共点. 由此可知，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数 y=f(x) 的零点. 一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数 y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解. 如果函数 y=f(x)在区间 [a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间 (a,b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0的解. 函数零点存在定理 在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)·f(b)<0”这两个条件缺一不可! 这个定理只能判断函数零点存在，不能判断函数零点不存在. 函数 有零点x=0 ，但是不能用零点存在定理推断出来， 所以 思考： 若函数f(x)在 (a,b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在 (a,b)上有唯一零点？ f(x)在(a,b)内为单调函数 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)·f(b)<0， f(x)在(a,b)内为单调函数，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，且只有一个零点。 例3、图 (1)(2)(3) 分别为函数 y=f(x)在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个 图象，得出函数 y=f(x) 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？ 例4、利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间： 例5、已知函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 函数 y=f(x)在哪几个区间内一定有零点？为什么？ x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 −3.92 10.88 −52.488 −232.064 方程 f(x)=0 有实数解 函数 y=f(x) 有零点 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有公共点. 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系. 2.会求函数的零点. 3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数. 课堂小结 函数零点存在定理 如果函数 y=f(x)在区间 [a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间 (a,b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0的解. $