4.5.1函数的零点与方程的解课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与方程解的关系及零点存在定理，通过“奇奇骑车路线与小河接触”的生活情境导入，搭建从具体轨迹问题到抽象数学概念的学习支架，衔接情境分析、概念辨析、定理探究及应用题型的知识脉络。 其亮点在于以生活化情境培养数学抽象与直观想象，如通过函数图象交点分析零点所在区间，结合逻辑推理总结求零点、判个数的通性通法。分层次练习（基础、综合、拓展）适配不同学情，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

4.5.1　 函数的零点与方程的解 新课程标准解读 核心素养 1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、 直观想象 2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　奇奇，小东，小明，妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同 一小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去妙 妙家里玩. 目录 数学·必修第一册 【问题】　依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨 迹，并推断他与小河有过几次接触？ 情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家； 情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家； 情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家； 情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三 人相约一起到妙妙家玩. 目录 数学·必修第一册 知识点一　函数的零点 1. 概念：使 的实数 x 叫做函数 y ＝ f （ x ）的零点. 2. 函数的零点、函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的实数解的 关系： f （ x ）＝0　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）函数的零点是实数，而不是点.如函数 f （ x ）＝ x ＋1 的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零 点，如函数 f （ x ）＝ ， y ＝ x2＋1均没有零点；（3）若函数有零 点，则零点一定在函数的定义域内. 目录 数学·必修第一册 知识点二　函数零点存在定理 1. 条件：函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是一条连续不断的 曲线，且有 ⁠. 2. 结论：函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内 零点， 即 ，使 f （ c ）＝0，这个 c 也就是方程 f （ x ）＝0的解. f （ a ） f （ b ）＜0　 至少有一个　 存在 c ∈（ a ， b ）　 目录 数学·必修第一册 【想一想】 1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲 线， f （ a ） f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上 的零点个数？ 提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数. 2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f （ a ）· f （ b ）＜0？ 提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f （－1） f （1）＝1×1＝1＞0. 目录 数学·必修第一册 1. 下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） 解析： 　有两个零点就是函数图象与 x 轴有两个交点，故选D. 目录 数学·必修第一册 2. 函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是（　　） 解析： 　方程2 x2－3 x ＋1＝0的两根分别为 x1＝1， x2＝ ，所以 函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是 ，1，故选B. 目录 数学·必修第一册 3. 方程 x3－3 x －3＝0的根 x0所在的范围为（　　） A. －1＜ x0＜0 B. 0＜ x0＜1 C. 1＜ x0＜2 D. 2＜ x0＜3 解析： 　令 f （ x ）＝ x3－3 x －3，∵ f （－1）＝（－1）3－3× （－1）－3＝－1＜0， f （0）＝－3＜0， f （1）＝13－3×1－3＝ －5＜0， f （2）＝23－3×2－3＝－1＜0， f （3）＝33－3×3－3＝ 15＞0，∴ f （2）· f （3）＜0，∴2＜ x0＜3.故选D. 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求函数的零点 【例1】　（1）（多选）方程（ x2－4） ＝0的解可以是（　　） A. x ＝－2 D. x ＝2 解析： 由方程（ x2－4） ＝0，得 x2－4＝0或2 x －1 ＝0，解得 x ＝±2或 x ＝ ，又由2 x －1≥0，解得 x ≥ ，所以方 程（ x2－4） ＝0的解为 x ＝2或 x ＝ . 目录 数学·必修第一册 （2）已知函数 f （ x ）＝ ax － b （ a ≠0）的零点为3，则函数 g （ x ） ＝ bx2＋ ax 的零点为 ⁠. 解析： 由已知得 f （3）＝0，即3 a － b ＝0，则 b ＝3 a ，故 g （ x ）＝3 ax2＋ ax ＝ ax （3 x ＋1）.令 g （ x ）＝0，即 ax （3 x ＋1）＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ .所以函数 g （ x ）＝ bx2＋ ax 的 零点为0，－ . 0，－ 　 目录 数学·必修第一册 通性通法 函数零点的求法 （1）代数法：求方程 f （ x ）＝0的实数根； （2）几何法：对于不能用求根公式的方程 f （ x ）＝0，可以将它与函 数 y ＝ f （ x ）的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 函数 f （ x ）＝的所有零点构成的集合为（　　） A. {1} B. {－1} C. {－1，1} D. {－1，0，1} 解析： 　当 x ≤0时， f （ x ）＝ x ＋1＝0⇒ x ＝－1；当 x ＞0时， f （ x ）＝log2 x ＝0⇒ x ＝1，所以函数 f （ x ）的所有零点构成的集合为 {－1，1}. 目录 数学·必修第一册 题型二 函数零点所在区间问题 【例2】　 f （ x ）＝e x ＋ x －2的零点所在的区间是（　　） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2） 解析： 　法一　∵ f （0）＝－1＜0， f （1）＝e－1 ＞0，∴ f （ x ）在（0，1）内有零点. 法二　e x ＋ x －2＝0，即e x ＝2－ x ，∴原函数的零点所在区间即为函 数 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可 得函数 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的图象交点所在的区间为（0，1）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 确定函数 f （ x ）零点所在区间的常用方法 （1）解方程法：当对应方程 f （ x ）＝0易解时，可先解方程，再看求 得的根是否落在给定区间上； （2）利用函数零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ] 上的图象是否连续，再看是否有 f （ a ）· f （ b ）＜0.若有，则 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内必有零点； （3）数形结合法：通过函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点 来判断. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　函数 f （ x ）＝2 x － 的零点所在的区间是（　　） 解析： 　∵ f ＝ －2＜0， f （1）＝2－1＝1＞0，∴ f f （1） ＜0，∴函数的零点所在的区间是 . 目录 数学·必修第一册 题型三 函数零点个数问题 【例3】　函数 f （ x ）＝的零点个数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 目录 数学·必修第一册 解析： 　当 x ≤0时，令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －3＝ 0，解得 x1＝－3， x2＝1（舍去）.当 x ＞0时，令 f （ x ）＝0，即 x －2＋ln x ＝0，即ln x ＝－ x ＋2.在同一 直角坐标系中作出两函数 y ＝ln x 与 y ＝－ x ＋2（ x ＞ 0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数 f （ x ）的零点个数为2. 目录 数学·必修第一册 通性通法 判断函数零点个数的4种常用方法 （1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个 零点； （2）画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判 定零点的个数； （3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定 y ＝ f （ x ）在 （ a ， b ）上零点的个数； （4）转化成两个函数图象的交点问题. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　函数 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的零点个数为（　　） A. 0 B. 1 解析：B　法一　函数对应的方程为ln x ＋ x2－3＝ 0，所以原函数零点的个数即为函数 y ＝ln x 与 y ＝3 － x2的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中， 作出两函数的图象（如图）.由图象知，函数 y ＝3－ x2与 y ＝ln x 的图象只有一个交点.从而方程ln x ＋ x2－3＝0只有一个根，即函数 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3只有一个零点. C. 2 D. 3 目录 数学·必修第一册 法二　由于 f （1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f （2）＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以 f （1） f （2）＜0，又 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的图象是连 续的，所以 f （ x ）在（1，2）上必有零点，又 f （ x ）在（0，＋∞） 上是增函数，所以 f （ x ）只有一个零点. 目录 数学·必修第一册 1. 函数 f （ x ）＝ x2－8 x ＋16的零点是（　　） A. （0，4） B. （4，0） C. 4 D. 8 解析： 　由 f （ x ）＝ x2－8 x ＋16＝0，得 x ＝4，所以函数 f （ x ） ＝ x2－8 x ＋16的零点是4，故选C. 目录 数学·必修第一册 2. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的图象是连续不断的，且有如下对应 值表： x 1 2 3 4 f （ x ） 6.1 2.9 －3.5 －1 那么函数 f （ x ）一定存在零点的区间是（　　） A. （－∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 目录 数学·必修第一册 解析： 　由表可知 f （1） f （2）＞0， f （2） f （3）＜0， f （3） f （4）＞0，由函数零点存在定理可知 f （ x ）一定存在零点的区间 是（2，3）.故选C. 目录 数学·必修第一册 3. 对于函数 f （ x ），若 f （－1） f （3）＜0，则（　　） A. 方程 f （ x ）＝0一定有一实数解 B. 方程 f （ x ）＝0一定无实数解 C. 方程 f （ x ）＝0一定有两实根 D. 方程 f （ x ）＝0可能无实数解 解析： 　∵函数 f （ x ）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管 有 f （－1） f （3）＜0，但方程 f （ x ）＝0在（－1，3）上可能无 实数解. 目录 数学·必修第一册  4. (2025高一上·温州期末) 对于函数，则不存在零点的区间是（ ） A. -1， 0） B. 0，1） C. 1，3） D. 3，5） 目录 数学·必修第一册 解析：对于A，因为，所以在上存在零点，故A错误； 对于B，当时，，所以，则在上无零点，故B正确； 对于C，因为，所以在上存在零点，故C错误； 对于D，因为，所以在上存在零点，故D错误. 故答案为：B.. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数 f （ x ）＝lg｜ x ｜的零点是（　　） A. （1，0） B. （1，0）和（－1，0） C. 1 D. 1和－1 解析： 　函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0}，令 f （ x ）＝0，则 lg｜ x ｜＝0，解得 x ＝±1，即函数 f （ x ）的零点是1和－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 易知函数在上单调递增，且，，，，即，根据零点存在性定理可得其零点所在的区间为. 故答案为：C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. (2025高一上·杭州期末) 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. 4，5） C. D. 6，7） 目录 数学·必修第一册 3. 已知函数 f （ x ）的图象是连续不断的，有如下 x ， f （ x ）的对应 值表： x 1 2 3 4 5 6 f （ x ） 15 10 －7 6 －4 －5 则函数 f （ x ）在区间[1，6]上的零点至少有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题表可知 f （2）· f （3）＜0， f （3）· f （4）＜0， f （4）· f （5）＜0，又函数 f （ x ）的图象是连续不断的，故 f （ x ） 在区间[1，6]上至少有3个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 函数 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零点为（－1，0） B. 函数 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零点为－1 C. 函数 f （ x ）的零点，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点 D. 函数 f （ x ）的零点，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点的横坐标 解析：BD　根据函数零点的定义，可知 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－ 2，0]的零点为－1，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点的横坐标. 因此B、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 若函数 f （ x ）在定义域{ x ｜ x ∈R且 x ≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0，则函数 f （ x ）的零点（　　 ） A. 只有一个 B. 只有两个 C. 至少有两个 D. 无法判断 解析： 　因为 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0， 所以 f （ x ）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.又 f （ x ）是偶 函数，所以 f （ x ）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.故函 数 f （ x ）只有两个零点－2和2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x ＋2， h （ x ）＝log3 x ＋ x 的零点依次为 a ， b ， c ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ⁠ .（用“＜”连接） 解析：画出函数 y ＝3 x ， y ＝log3 x ， y ＝－ x ， y ＝－2的图象，如图所示，观察图象可 知，函数 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x ＋2， h （ x ）＝log3 x ＋ x 的零点依次是点 A ， B ， C 的横坐标，由图象可知 a ＜ b ＜ c . a ＜ b ＜ c 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. （多选）已知定义域和值域均为[－ a ， a ]（ a ＞0）的函数 y ＝ f （ x ）和 y ＝ g （ x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　 ） A. 方程 f [ g （ x ）]＝0有且仅有三个解 B. 方程 g [ f （ x ）]＝0有且仅有三个解 C. 方程 f [ f （ x ）]＝0有且仅有九个解 D. 方程 g [ g （ x ）]＝0有且仅有一个解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　设 f （ x ）的零点为 x1， x2， x3，且 x1＜ x2＜ x3.由 f [ g （ x ）]＝0，得 g （ x ）＝ x1或 g （ x ）＝ x2或 g （ x ）＝ x3.由 g （ x ）的图象可知满足条件的 x 的值有三个.故方程 f [ g （ x ）]＝0 有且仅有三个解，故A正确；同理， f [ f （ x ）]＝0最多有九个 解，故C错误；因为 g （ x ）＝0有一个解，又 g （ x ）每个对应的 值只有一个相应的解，故 g [ g （ x ）]＝0有且仅有一个解，而 g [ f （ x ）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $