第四单元第06课时 有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题(分层作业)数学人教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 本同步练习通过“基础达标-能力提升-思维拓展”三层设计，实现圆的面积相关知识从概念理解到综合应用的递进，培养学生几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|圆的周长、面积公式直接应用|选择题（半径变化求周长增加）、填空题（半圆形养鸡场面积计算）| |能力提升|实际情境中的公式综合应用|实际问题（树干直径计算、钟表分针扫过面积）、图形组合（长方形与圆重叠面积）| |思维拓展|复杂图形转化与探究性问题|外方内圆/外圆内方面积关系推导、图形割补转化（花坛总面积计算）|

第四单元 第6课时 圆的面积解决问题 分层作业 1. “外方内圆”中，圆面积是正方形面积的 （ ）。 “外圆内方”中，圆面积是正方形面积的 ( )。 2.计算发现： (1)计算发现：无论半径取多少，外方内圆中，S圆= ×S正。 (2)无论半径取多少，外圆内方中，S圆= S正。 1．当一个圆的半径由3cm增加到5cm时，它的周长增加了（    ）cm。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．15.7 2．冬季给树木“穿冬衣”时，工作人员用28.26m长的麻绳在一棵树的树干上缠绕了18圈。下列算式中，能求出该树干横截面直径的是（    ）。 A．28.26÷18 B．28.26÷18÷3.14 C．28.26÷18÷3.14÷2 D．28.26÷18÷3.14×2 3．烈士陵园内有一个直径为10米的圆形花坛，步长约为0.5米的小晨绕花坛走一圈，大约需要走（    ）步。（π取3.14） A．16 B．31 C．63 D．126 4．学校有一块空地，是由四个边长为1.5米的正方形组成的。现要在空地上建花坛（涂色部分），使花坛面积占空地面积的一半，下图中的设计不符合要求的是（    ）。 A．B． C． D． 5．小水滴掉进水里，水面会一圈圈散开波纹。若波纹每秒向外扩散1m，每隔1秒产生一圈新波纹，则当水滴掉进水里3秒后，第二圈波纹比第一圈波纹的周长短（    ）m。 A．6.28 B．12.56 C．15.7 D．18.84 6．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是( )。 7．在一个正方形中剪一个最大的圆，若圆的周长为12.56cm。则正方形的周长是( )cm，剪掉部分的面积是( )cm2。 8．雨滴落在平静的水面上，对水面产生冲击力会激起一圈圈的涟漪。雨滴落入一个边长是8m的正方形水池中，所形成的最大的整圆波纹周长是( )m，面积是( )m2。 9．钟表的分针长10厘米，从1时到2时，分针针尖走过了( )厘米；从1时到2时，分针扫过的面积是( )平方厘米。 10．如图，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形，这个圆的半径是( )cm，面积是( )，这个正方形的周长是( )cm，面积是( )。 1 11．如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两处出发，沿各自所在的跑道内侧跑一圈，最后都到达终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？ 12．将一个长方形和圆叠放在一起，重叠部分的面积占长方形面积的，占圆面积的，已知圆的面积是192cm2，则长方形的长是多少厘米？（π取3） 13．学校有一个花坛（如图），花坛中有一个正方形，边长是3米，正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (2)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 14．课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40平方厘米，求涂色部分的面积。淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。” (1)淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 (2)涂色部分的面积是多少平方厘米？ 15．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 16．（1）在右面的空白正方形中画出左图。 （2）涂色部分的面积是__________平方厘米。 （3）小明说：涂色部分图形的周长刚好就是一个半径为2厘米的圆的周长，你同意他的说法吗？请说明理由。 17．刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司   试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识加油站答案 1. “外方内圆”中，圆面积是正方形面积的 （ ）。 “外圆内方”中，圆面积是正方形面积的 ( )。 2. 计算发现： (1)计算发现：无论半径取多少，外方内圆中，S圆=×S正。 (2)无论半径取多少，外圆内方中，S圆=S正。 一、基础达标 1．C 【分析】圆的周长公式为，计算时取3.14，用半径为5cm的周长减去半径为3cm的周长，即可得到增加的长度。 【详解】半径3cm时的周长：（cm） 半径5cm时的周长：（cm） 增加的周长：（cm） 2．B 【分析】先求出麻绳绕树干1圈的长度（麻绳总长度除以缠绕圈数），也就是树干横截面的周长，再结合圆的周长公式计算直径（）。 【详解】 树干横截面的周长：， 直径，代入周长算式得直径为。 3．C 【分析】小晨绕圆形花坛走一圈，所走路程就是花坛的周长。先用圆的周长公式C＝πd求一圈的长度，再用一圈的长度除以每步约0.5米，求大约需要走的步数。 【详解】3.14×10＝31.4（米） 31.4÷0.5＝62.8（步）≈63（步） 所以小晨大约需要走63步。 4．A 【分析】图形A的阴影面积可以分成1个半圆和一个三角形来计算；图形B的阴影面积通过割补法，将下方的两个阴影图形移动到上方的空白部分，变为一个长方形来计算；图形C的阴影面积可以分成四个直角三角形来计算；图形D的阴影面积可以分成2个三角形来计算；最后分别求出阴影部分的面积占总面积的几分之几再进行比较即可。 【详解】空地总面积是： （平方米） 花坛的面积为：（平方米） A． （平方米） 平方米平方米 所以花坛面积没占空地面积的一半，A满足题意； B． （平方米） 所以花坛面积占空地面积的一半，B不满足题意； C． （平方米） 所以花坛面积占空地面积的一半，C不满足题意； D． （平方米） 所以花坛面积占空地面积的一半，D不满足题意； 5．A 【分析】先确定3秒后第一圈、第二圈波纹的半径，再根据圆的周长公式计算周长差即可。 一滴水滴入水中3秒后，第一个波纹的半径是3×1＝3（m），第二个波纹的半径是2×1＝2（m），利用圆的周长公式：；用大圆周长减去小圆周长即可。 【详解】3秒后第一圈波纹半径：3×1＝3（m） 3秒后第二圈波纹半径：（3－1）×1＝2×1＝2（m） 周长差： 2×3.14×3－2×3.14×2 ＝18.84－12.56 ＝6.28（m） 2、 能力提升 6．14.13 【分析】根据图形可知篱笆长度为圆周长的一半。圆的周长，据此算出半径。养鸡场的面积为圆面积的一半。圆的面积，据此计算即可。 【详解】 7． 16 3.44 【分析】在正方形中剪一个最大的圆，最大圆的直径等于正方形的边长。根据圆的周长C＝πd得d＝C÷π，算出圆的直径，即为正方形的边长，正方形周长＝边长×4，代入数值计算即可。 圆的面积，正方形面积＝边长×边长，用正方形的面积减去圆的面积即可求出剪掉部分的面积。 【详解】正方形的边长（圆的直径）：12.56÷3.14＝4（cm） 正方形的周长：4×4＝16（cm） 圆的面积：3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 正方形的面积：4×4＝16（cm2） 剪掉部分的面积：16－12.56＝3.44（cm2） 8． 25.12 50.24 【分析】若要形成最大的整圆，雨滴要落到正方形的正中央，此时正方形的边长就是圆的直径。 【详解】周长：3.14×8＝25.12（m） 面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（m2） 9． 62.8 314 【分析】钟面上分针走1小时正好是一圈。分针的长度相当于圆的半径，分针针尖走过的路程等于半径为10厘米的圆的周长，分针扫过的面积等于半径为10厘米的圆的面积。根据圆的周长公式C＝2πr和面积公式S＝πr2进行计算。 【详解】从1时到2时经过1小时，分针正好走了一圈。 分针针尖走过的路程： ＝2πr ＝2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 分针扫过的面积： ＝πr2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 10． 4 50.24 32 64 【分析】根据d＝C÷π，求出圆的直径，直径再除以2就得到半径，圆的面积＝πr2；圆的直径等于正方形的边长，正方形的周长＝边长×4；正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】25.12÷3.14＝8（cm） 半径：8÷2＝4（cm） 圆的面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 正方形周长：8×4＝32（cm） 面积：8×8＝64（cm2） 11．6.28米 【分析】跑道由两条直道和两端半圆形弯道组成。相邻跑道直道长度相等，周长差只来源于弯道；内外弯道合起来是大小两个同心圆。相邻跑道半径相差跑道宽度1m，周长差＝外圆周长－内圆周长。根据圆的周长公式C＝2πr，内圆半径为32米，相邻外圆半径比内圆半径多1米，即32＋1＝33（米），代入周长公式求解即可。 【详解】32＋1＝33（米） 2×3.14×33－2×3.14×32 ＝6.28×33－6.28×32 ＝207.24－200.96 ＝6.28（米） 答：静静和欢欢的起跑线应相差6.28米。 12．18厘米 【分析】重叠部分的面积占圆面积的，把圆的面积看作单位“1”，它乘求出重叠部分的面积，重叠部分的面积占长方形面积的，把长方形的面积看作单位“1”，用重叠部分的面积除以，求出长方形的面积，观察图形可知，长方形的宽是圆的半径，根据＝面积÷3，求出半径的平方，再求出半径，也是长方形的宽，最后用长方形的面积÷宽，求得长方形的长。 【详解】192×＝48（平方厘米） 48÷＝144（平方厘米） 192÷3＝64（平方厘米） 64＝8×8 144÷8＝18（厘米） 答：长方形的长是18厘米。 三、思维拓展 13．(1)3 (2)18.42平方米 【分析】（1）观察图形，正方形的顶点是四个圆心，显然四个圆与正方形重合的部分的面积是一个圆的面积；所以把这4个扇形的面积转化成 3个圆的面积。 （2）花坛的面积为三个圆和一个正方形的面积，根据圆的面积公式：，正方形的面积公式：，代入数据，即可解答。 【详解】（1）把这4个扇形的面积转化成 3个圆的面积。 （2）3.14××3＋3×3＝9.42＋9＝18.42（平方米） 答：花坛的总面积是18.42平方米。 14．(1)对； (2)8.6平方厘米 【分析】（1）由图可知，圆的直径等于大正方形的边长，把正方形分成四个相等的小正方形后，圆的半径等于小正方形的边长，由“”可知，半径的平方等于小正方形的面积，每个小正方形的面积等于大正方形面积的，最后根据“”可以求出圆的面积； （2）先根据淘气的说法求出圆的面积，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。 【详解】（1）分析可知，淘气说得对，作图略 （2）半径的平方：40÷4＝10（平方厘米） 圆的面积：3.14×10＝31.4（平方厘米） 涂色部分的面积：40－31.4＝8.6（平方厘米） 答：涂色部分的面积是8.6平方厘米。 15．41.04平方米 【分析】圆形的面积＝πr²，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。 【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2 ＝3.14×36－12×6÷2×2 ＝113.04－72 ＝41.04（平方米） 答：种太阳花的面积有41.04平方米。 16．（1）画图见详解 （2）3.44 （3）同意；理由见详解 【分析】（1）以正方形的四个顶点分别为四个圆的圆心。4÷2＝2（厘米），圆规两脚间的距离为2厘米，分别在正方形内画四个的圆，涂上未被圆覆盖的四个角落部分。据此画图即可。 （2）可以将左面里面的空白部分进行旋转，变成。这个圆的直径是正方形的边长。用4除以2得到圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2，算出空白部分面积。正方形的面积＝边长×边长，代入计算出正方形的面积。涂色部分的面积＝正方形的面积－空白部分面积。 （3）如图，将右图里面的空白部分进行旋转，刚好拼成一个圆。再判断涂色图形的周长是否就是一个半径为2厘米的圆的周长。 【详解】 （1）如图： （2）4÷2＝2（厘米） 4×4－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 所以，涂色部分的面积是3.44平方厘米。 （3）我同意小明说法。如图，转换成了。正方形的边长是4厘米，那么圆的半径是2厘米。涂色部分图形的周长刚好就是一个半径为2厘米的圆的周长。 17．（1）314平方厘米 （2）一样大 【分析】（1）图2中圆的直径＝正方形的边长÷2＝20÷2＝10厘米。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算出一个圆的面积，再乘4即可。 （2）在图1中圆的直径＝正方形的边长＝20厘米，正方形的面积＝边长×边长。分别代入数据计算求出圆的面积和正方形的面积。框内空白面积＝正方形的面积－画面所占面积。分别计算出图1和图2的框内空白面积，再比较即可。 【详解】（1）20÷2÷2＝5（厘米） 3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（平方厘米） 答：图2的四联画中，画面所占面积有314平方厘米。 （2）一联画空白面积： 20×20－3.14×（20÷2）2 ＝20×20－3.14×102 ＝20×20－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 四联画空白面积： 20×20－314 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 86＝86 答：两种装裱方式相比，框内空白面积一样大。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $