2026～2027学年人教版九年级上学期数学入学测评卷

**基本信息** 九年级开学数学测评卷，通过海洋牧场网箱、铁棍山药销售等真实情境，融合几何直观、数据意识与模型观念，全面检测八年级知识衔接与核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12题|二次根式、六边形内角和、上四分位数、一次函数图象|结合七巧板拼图、箱线图分析，考查空间观念与数据解读能力| |填空题|4题|一次函数平移、方差计算、代数式化简、圆柱最短路径|设置圆柱环绕梯子问题，体现抽象能力与空间想象| |解答题|8题|四边形角度计算、垂直平分线性质、规律探究、利润最大化、数据统计分析、折叠变换探究|21题结合铁棍山药销售考查方程与不等式，24题通过平行四边形折叠设计分层探究，培养推理意识与创新应用能力|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2026~2027学年人教版新教材九年级上学期数学入学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中，不是二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 2．某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 3．八年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：136、165、182、155、112、145、171、93．这组数据的上四分位数是（    ） A．102.5 B．150 C．124 D．168 4．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 5．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 6．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 7．如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 8．如图，将长方形纸片沿折痕折叠，点落在点处，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为（     ）. A． B． C． D． 10．一次数学趣味知识竞赛后，马老师根据甲、乙、丙三个班级学生得分情况，绘制了对应的箱线图．根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．若每班有40个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 11．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点D、E，连接，若，，则的长为（    ） A．13 B．18 C．20 D．28 二、填空题 13．若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 14．已知一组数据：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9，其离差平方和是6，则这组数据的方差是________． 15．已知，则_______；_______． 16．如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，分别平分和，若，求的度数．    18．如图，在中，是的中点，是的中点，，，延长交于点．求证：． 19．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 20．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)____________； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)应用（2）中结论，请计算的值． 21．河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． (1)分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； (2)若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ (3)若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 22．为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．下面是这20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）． 总评成绩频数分布直方图 小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩（分） 总评成绩（分） 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 93 (1)在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67，72，68，69，74，69，71．求这组数据的中位数； (2)请你计算小亮的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 23．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 24．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 试卷第6页，共7页 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2026~2027学年人教版新教材九年级上学期数学入学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中，不是二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】形如的式子叫做二次根式，据此逐一判断． 【详解】解：A、∵， ∴无意义，即不是二次根式，符合题意； B、∵， ∴， ∴是二次根式，不符合题意； C、∵， ∴， ∴是二次根式，不符合题意； D、∵， ∴是二次根式，不符合题意． 2．某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】直接利用公式 代入边数 计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为． 3．八年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：136、165、182、155、112、145、171、93．这组数据的上四分位数是（    ） A．102.5 B．150 C．124 D．168 【答案】D 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查了上四分位数的计算，上四分位数是后一半数据的中位数，需先对数据排序再进行计算． 【详解】解：数据排序后为：93，112，136，145，155，165，171，182， ∵上四分位数为后4个数据155，165，171，182的中位数， ∴中位数为， 故选：D． 4．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故①填正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，故②填正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③填正确，不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，而是矩形的对边相等，无法判定为正方形，故填错误，符合题意． 5．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：，则由图象可把点代入得： ，解得：， ∴，故选项B错误； C、当石块下降的高度为时，即时，， ∵， ∴，故选项C正确； D、当，即， 解得， ∴石块距离水底的距离为，故选项D错误． 6．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 7．如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【详解】解：溶解度越大，对应饱和溶液的溶质质量分数越大， 甲、乙溶解度随温度降低而减小，的饱和溶液降温到后，析出晶体，仍为饱和溶液； 从曲线可知，时甲、乙溶解度相等，因此降温后溶质质量分数：甲乙； 丙溶解度随温度降低而增大，的饱和溶液降温到后，变为不饱和溶液，溶质没有析出，溶质质量分数不变，仍等于时丙饱和溶液的溶质质量分数，时丙的溶解度小于时甲、乙的溶解度， 因此，溶液的溶质质量分数的关系为甲乙丙． 8．如图，将长方形纸片沿折痕折叠，点落在点处，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据平行线的性质可得，根据角的和差关系和折叠的性质求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 9．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】利用数形结合的数学思想，结合函数图象即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，函数图象在轴上方且在直线的下方， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象及一次函数的性质． 10．一次数学趣味知识竞赛后，马老师根据甲、乙、丙三个班级学生得分情况，绘制了对应的箱线图．根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．若每班有40个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 【答案】D 【知识点】求中位数、根据方差判断稳定性、求四分位数、画箱线图 【分析】根据箱线图的特征，分析各班级的中位数、极差、数据离散程度（方差）以及四分位数的位置进行判断． 【详解】解：由箱线图可知： 对于A，甲班箱体及须的长度最短，数据分布最集中，方差应最小，故A错误； 对于B，乙班最大值与最小值的差（极差）最大，说明学生得分两极分化最明显，故B错误； 对于C，丙班箱体中间的横线（中位数）位置最高，甲班最低，即丙班中位数高于甲班，故C错误； 对于D，每班40人，，按成绩从高到低排列，前10名位于上四分位数（箱体上沿）以上，第11名成绩接近；观察图形，丙班的最高（接近90分），甲、乙班较低，故丙班第11名成绩最高，故D正确． 11．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 12．如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点D、E，连接，若，，则的长为（    ） A．13 B．18 C．20 D．28 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】先利用面积公式求得，然后利用勾股定理求得，最后根据线段垂直平分线得到即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，则， ∵边的垂直平分线分别与、交于点D、E， ∴， ∴． 二、填空题 13．若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 【答案】2 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将点代入平移后的解析式求解即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后的解析式为： ， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得：． 14．已知一组数据：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9，其离差平方和是6，则这组数据的方差是________． 【答案】0.6 【知识点】求方差 【分析】一组数据的方差等于这组数据的离差平方和除以这组数据的个数，据此求解即可． 【详解】解：∵这组数据的离差平方和为，数据个数为， ∴这组数据的方差． 15．已知，则_______；_______． 【答案】 2 4 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算．观察出与6之间的关系，重新设元得到两个能运用平方差公式求得积为定值的式子，据此求解即可． 【详解】解：令，则． 由①，得． ， ，即②． 可得． ∴． 故答案为：2；4． 16．如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将圆柱形油罐的侧面展开，在中，， 则， 即梯子最短需． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，分别平分和，若，求的度数．    【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线定义，三角形内角和定理，先根据四边形的内角和是求出，再根据角平分线定义求出，最后利用三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 18．如图，在中，是的中点，是的中点，，，延长交于点．求证：． 【答案】 证明：∵在中，是的中点，是的中点， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，先证明是的中位线，得出，结合已知证明，根据全等三角形的性质与判定，即可得证． 【详解】略 19．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为得到，然后根据等线段代换可得到的长； （2）先利用等腰三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理计算出，所以，然后计算即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，， ，， 的周长为， ， ， 即； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 20．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)____________； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)应用（2）中结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可． （1）利用题中等式的计算规律求解即可； （2）找出第个等式的左边为，右边为与的和，列出等式即可． （3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）； （3）． 21．河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． (1)分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； (2)若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ (3)若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件 (2)普通包装的山药最少购进件 (3)购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，根据题意列出方程，不等式和一次函数关系式是解题的关键． （1）设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． （3）设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据题意得， 解得： 答：每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件； （2）解：设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意得， 解得： 最小正整数解为 答：普通包装的山药最少购进件 （3）解：设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意得， ∵， 当时，取得最大值 答：购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 22．为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．下面是这20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）． 总评成绩频数分布直方图 小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩（分） 总评成绩（分） 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 93 (1)在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67，72，68，69，74，69，71．求这组数据的中位数； (2)请你计算小亮的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 【答案】(1)69分 (2)81分 (3)小明不能入选，小亮能入选， ∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人， 又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员， ∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选． 【知识点】频数分布直方图、求加权平均数、求中位数 【分析】本题考查了频数分布直方图，加权平均数，中位数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法． （1）根据中位数和平均数的定义即可求出答案； （2）根据加权平均数公式计算即可求解； （3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案； 【详解】（1）解：将七位评委的分数从小到大排序：67，68，69，69，71，72，74， 排序后处在中间位置的数据是69分， 答：这组数据的中位数是69分． （2）解：小亮语言这项测试的得分为：， ∴． 答：小亮的总评成绩为81分． （3） 略． 23．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)① ；② 或 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）将代入，求得，即，再利用待定系数法求解即可； （2）①当时，求得，，再计算的长即可； ②由题意得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ②由题意得，，， 当即时，，解得； 当即时，，解得； 综上，的取值范围为或． 24．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $