入学测评卷2026～2027学年沪教版五四制八年级上学期数学

**基本信息** 2026~2027学年沪教版五四制八年级上学期数学入学测评卷，立足开学学情诊断，通过鱼的分割销售、测角仪测量高度等真实情境，融合三角形性质、不等式应用等知识，考查数学抽象、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|三角形三边关系、不等式性质、垂线作图|基础概念辨析，如第5题结合销售情境考不等式| |填空题|12题|多边形内角、角平分线、旋转性质|第13题翻折与平行结合，考查空间观念| |解答题|6题|不等式组、全等证明、方案设计、实践测量|20题运输方案（模型意识）、23题测角仪实践（几何直观）、25题旋转综合（创新意识）|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 20262027学年沪教版五四制新教材 八年级上学期数学入学测评卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1,下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.3,4,8 B.5,6,11 C.2,2,3 D.10,5,5 2.设a>b,则下列不等式正确的是() a、b A.a+1<b+1B.a-2<b-2 C.-3a>-3b D.44 3.下列各图中，过直线外的点P画的垂线CD,三角尺操作正确的是() D 4.等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是() A.2 B.5 C.6 D.4 5,一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损 耗)，已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克. 若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少 为() 试卷第1页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 A.25% B.30% C.35% D.40% 6.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在AB,BC上，且BD=CE,AE与CD相交于点 F,则∠AFD的度数为() F D B A.30° B.60° C.45° D.50° 二、填空题 7.根据数量关系列不等式：x的4倍小于3 8.凸六边形共有 组同旁内角 9.如图，已知∠A与∠B互补，DE平分∠ADC,∠1=40°，那么∠2= B E P2 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D是线段CB上的一动点（不与点B,C重合），以 AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.当 ∠BAC=90°时，∠DCE的度数为 B D 11.如图所示，己知A=∠2，AC=AD,要想使△ABC≌△AED,还需要再添加一个条件， 那么在①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D中可以选择的是 (填写序号) 试卷第2页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 D 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD,DE平分∠ADB交AB 于点E,若AC=6,BC=8,则AE的长为 E 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点D是边AB上一点，将△BCD沿直 线CD翻折得到△B'CD,如果B'D与Rt△ABC的一边互相平行，那么∠BDC= x+3、 -≥x-1 14.如果关于x的不等式组 3x+6>a+4有且只有4个整数解，则a的取值范围是 15.在口ABCD中，AB<BC,∠B=66°.以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于 点E,连接CE,则∠ECB=°. 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,AB=5,E为AB上一动点，CE的最小 值为2.4，过点B作BD⊥AB,且BD=AB,连接AD、CD,则△ACD的面积为 E B 试卷第3页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危光多笔 17.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O,过O点作DE∥BC,分别交AB、 AC于D、E.若AB=6,AC=5,则△ADE的周长是一 18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得 到△DEC,连接BE,则∠BED的度数为 D B 三、解答题 3(x+1)>2x-1① 2x+5、 19.求不等式组： 3 之x+,②的所有整数解的和。 2 20.某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重 量为6吨的乙型卡车.某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且 只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆 乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元， (1)若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？ (2)哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？ 21.如图，己知∠1+∠2=180°，∠B=∠D.说明AB∥CD的理由.补全下面的说理过程， 并在括号内填上适当的理由 试卷第4页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 G A E 解：：∠1+∠2=180°（已知）， ∠2=∠AHB(), 一（等量代换）， .DE∥BF() .∠D=∠() .∠B=∠D(已知) 一（等量代换） .AB∥CD() 22.如图，在△ABC中，AB=AC，,D为BC延长线上一点. B (I)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线，与边AC,BC分别交于点 E,F,在线段AB上截取AH,使得AH=AE,连接EH;(保留作图痕迹，不写作法 和结论) (2)在(1)所作图形中，连接BE,DE,求证：HE=CD,(请补全下面的证明过程) 证明：，AB=AC,AH=AE, .AB-AH AC-AE, “① ,EF是BD的垂直平分线， ② :.∠EBD=∠EDC 试卷第5页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 AB=AC. :③ 在△ECD中，∠CED=∠ACB-∠EDC,∠HBE=∠ABC-∠EBD, ∴.∠CED=∠HBE BH=EC(已证) ④ 在 和 中， EBH △DEC BE=ED(已证) AEBH≌ADEC(SAS) ∴.HE=CD 23.某综合实践小组利用量角器和铅垂自制了一个简易测角仪，如图1，沿着视线1在底 部观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上M,N两点均在视线！上时，记视线！与铅 垂线所夹的锐角为“. 图1 图2 (I)则仰角的度数为一·（用含a的代数式表示） (2)该小组利用这个简易测角仪测量下图中柏树的高度，示意图为图2，他们先在点C处观 察柏树AB的最高点A,得%=60°，然后沿CB方向前进12m,在点D处观察柏树AB的最 高点1，得0=30 °，已知观测点E,F距地面的高度，BC=FD=1,3m,求柏树B的高 V3≈1.73、 度.（结果精确到1m.参考数据： 24.如图，已知AB∥CD,F为AB上一点，连接AC,DF交于点E,∠B=∠D 试卷第6页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 (I)求证：BCDF (2)若G为BC上一点，FG∥AC,∠A+∠B=115°，求∠GFE的度数， 25.(1)观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1过点C,点A, B在直线I同侧，BD⊥I,AE⊥I,垂足分别为D,E,由此可得：∠AEC=∠CDB=90° 所以∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以 ∠CAE=∠BCD,又因为AC=BC,所以△AEC≌△CDB (请填写全等判 定的方法) A B B D 2 D 图1 图2 图3 (2)理解应用：如图2，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,利用(1)中 的结论，请按照图中所标的数据计算图中△ABC的面积是 (3)拓展提升：如图3，等边aEBC中，EC=8cm,点O在BC上，且OC=5cm,动点 P在射线EC上，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF. ①当OF∥ED时，OP的长是 ②当点F恰好落在射线EB上时，请直接写出EP的长. 试卷第7页，共22页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年沪教版五四制新教材 · 八年级上学期数学入学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 【答案】C 【知识点】初中数学综合库 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边.通过计算各选项中线段的长度和，判断是否满足条件. 根据三角形的三边关系来逐一进行判断求解. 【详解】解： A.因为，所以不能组成三角形，故此项不符合题意； B.因为，所以 不能组成三角形，故此项不符合题意； C.因为，所以能组成三角形，故此项符合题意； D.因为，所以不能组成三角形，此项不符合题意. 故选：C. 2．设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【详解】解：， ，选项错误； ，选项错误； 不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，选项错误； 不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，选项正确． 3．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 4．等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的一条腰长， ， 能组成三角形； 当等腰三角形的一腰长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的一条腰长是5， 故选：B 5．一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为.，根据题意列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为， ∵分割销售的总额不少于整鱼销售额， ∴可得不等式 ， ∵，两边同时除以得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为． 6．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 二、填空题 7．根据数量关系列不等式：的倍小于_______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查的知识点是列一元一次不等式，解题关键是正确理解题意． 根据题意，表示出的倍，即可求解． 【详解】解：“的倍小于”，可表示为． 故答案为：． 8．凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 9．如图，已知与互补，平分，，那么__________ 【答案】/100度 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，再根据平行线的性质，对顶角相等即可得到的度数． 【详解】解：与互补， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为_____． 【答案】/90度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 11．如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 12．如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 14．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 15．在中，，．以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则______． 【答案】57 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质，解题关键是利用平行四边形性质求出相关角的度数． 利用平行四边形对角相等、邻角互补，由求出，．根据以为圆心，为半径作弧得，利用等腰三角形性质和三角形内角和求出．再利用角的和差即可解答． 【详解】解：如图 在中，，． ∴，， ∵以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接， ∴， ∴， ∴． 故答案为：57． 16．如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为__________． 【答案】14 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，如图，过作，交的延长线于，证明，可得，再利用面积的和差进一步求解可得答案． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，而，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的最小值为2.4， ∴此时为上的高， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为： 17．如图，在中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、．若，，则的周长是______． 【答案】11 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点，学会通过题目中的条件推出的周长等于是解题的关键．根据角平分线定义和平行线性质得出，推出，同理得出，推出的周长等于，即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理得：， 的周长， ， ， ， ， ， 的周长是11． 故答案为：11． 18．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的度数为________． 【答案】/15度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，进而可解． 【详解】解：在中，，， ， 将绕点C逆时针旋转，得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】0 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，找出所有整数解后求和即可． 【详解】解：解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 原不等式组的解集为：； ∴所有整数解有：， ∴原不等式组所有整数解的和为：． 20．某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元． (1)若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？ (2)哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)4种 (2)派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为4300元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设派用甲型卡车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据（1）中求出的x的范围，确定方案，即可得到答案； 此题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设派用甲型卡车辆， 则 解得， 所以共有4种运输方案． （2）， 当，即派用甲型卡车8辆时，利润最大， 最大利润为（元）． 答：派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为元． 21．如图，已知，．说明的理由．补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由 解：∵（已知）， （______）， ∴______（等量代换）， ∴（______） ∴______（______） ∵（已知） ∴______（等量代换） ∴（______） 【答案】对顶角相等，，同旁内角互补、两直线平行， ，两直线平行、同位角相等，，内错角相等、两直线平行． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质逐步分析即可解答． 【详解】解：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补、两直线平行） ∴（两直线平行、同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等、两直线平行）. 故答案为：对顶角相等，，同旁内角互补、两直线平行， ，两直线平行、同位角相等，，内错角相等、两直线平行． 22．如图，在中，，为延长线上一点． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，与边，分别交于点，，在线段上截取，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，连接，，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵，， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ∴． ∴． 【答案】(1) 如图所示． (2)；；； 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法可得直线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握尺规作图，等边对等角，全等三角形的判定与性质． 23．某综合实践小组利用量角器和铅垂自制了一个简易测角仪，如图1，沿着视线1在底部观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，记视线与铅垂线所夹的锐角为． (1)则仰角的度数为______．（用含的代数式表示） (2)该小组利用这个简易测角仪测量下图中柏树的高度，示意图为图2，他们先在点处观察柏树的最高点，得，然后沿方向前进，在点处观察柏树的最高点，得，已知观测点，距地面的高度．，求柏树的高度．（结果精确到1m．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）根据仰角的定义即可得出答案． （2）连接并延长，交于点，则，则，再由仰角的定义得出，，由三角形外角的定义和性质得出，再由等角对等边得出，解直角三角形求出，进而可求出． 【详解】（1）解：则仰角的度数为：， （2）解：如图，连接并延长，交于点，则， 则， ，， ∵，， ，， ， ， 在中， （）． 答：柏树的高度约为． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义，解直角三角形的相关计算．三角形外角的定义和性质，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24．如图，已知为上一点，连接交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ， ， ∴； (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用平行线的性质及等量代换得出，根据同位角相等两直线平行即可得出结果； （2）根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，再利用平行线的性质即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∴， ， ， ， 又， ∴的度数为． 25．（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）8；（3）①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据证明过程，不难发现其判定的依据是，解答即可． （2）利用（1）的全等三角形结论，解答即可． （3）①当时，证明是等边三角形，解答即可． ②证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， 故答案为：； （2）解：由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：8． （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． ②如图所示，当点恰好落在射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $