重难点培优07 三角函数与解三角形易错易混专项（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数核心考点，涵盖定义与终边、诱导公式、角范围、图象性质、变换及解三角形六大题型，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构，通过易错点梳理、技巧通法指导、真题分层训练，帮助学生系统突破高频难点。 资料以“易错易混专项”为特色，针对终边象限漏解、诱导公式符号错等七大高频错误，设计“典型错误-正确做法”对比分析，培养学生数学思维的推理意识与批判性思维。设置重难巩固与创新提升分层练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

重难点培优07 三角函数易错易混专项（复习讲义） 内容导航 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 定义与终边——象限讨论不可忘（★★★） 2 题型二 诱导公式——奇变偶变有玄机（★★★） 2 题型三 角范围——隐含条件须挖掘（★★★★）………………………………………………………………… …3 题型四 图象性质——符号方向是陷阱（★★★★）………………………………………………… ……4 题型五 图象变换——顺序法则莫搞混（★★★★） ……………………………………………… ……5 题型六 解三角形——多解存在慎判断（★★★★★） ……………………………………………… ……6 03 实战检测・分层突破验成效 7 重难知识巩固 7 创新能力提升 8 知识重构·重难梳理固根基 三角函数七大高频易错点速查 序号 易错点 典型错误 正确做法 1 终边位置讨论 只看一种象限，漏解 终边在直线上→分两个象限讨论 2 诱导公式 奇变偶不变弄反、象限符号搞错 口诀:“奇变偶不变，符号看象限”（把α当锐角） 3 角范围挖掘 给值求值不缩小角的范围，多解/错解 利用已知函数值的符号反推角所在象限 4 同角关系开方 忘记±号 根据α象限判断符号 5 图象单调性 忽略ω<0需先转化为正系数 ，单调性反转 6 图象变换 平移量未除以ω、异名函数不转换 先化为同名同型： 7 解三角形多解 SSA情况漏解或多解、忽略三角形存在条件 （1）已知角为B（锐角），其对边为b，邻边为a（待判断）： 无解； 一解； 两解（2）若B为钝角，仅当 a > b 时有一解，否则无解 题型精研·避坑指南提能力 题型一 定义与终边——象限讨论不可忘（★★★） 【技巧通法·提分快招】 已知终边在直线上，只取一个象限的点计算三角函数值，漏掉另一个象限的解。避坑要领：终边在直线上时，终边可能在两个不同象限，需分别讨论。 1. (2026·湖北·模拟预测) 若角 α 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 上，则角 α 的取值集合是（　　） A．　　B． C．　　D． 2. (2026·河南信阳·模拟预测) 若 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. (2026·河北·模拟预测) 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 4. (2026·黑龙江哈尔滨·三模) 已知点 是角 α 终边上的一点，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型二 诱导公式——奇变偶变有玄机（★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）“奇变偶不变” 弄反（即把 写成 ）； （2）“符号看象限” 未将 当锐角处理（应先把 视为锐角判断落点象限）； （3）多个诱导公式级联时丢符号。 避坑要领：严格按 “奇变偶不变，符号看象限” 操作——把 当锐角，看原函数在该象限的符号；多步级联时每步单独处理。 5. (2026·黑龙江哈尔滨·二模) 已知角 α 的终边经过点 ，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6. (2024·全国甲卷·理) 已知 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 7. (2026·上海徐汇·三模) 已知 ，且 ，则 ______。 8. (2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型三 角范围——隐含条件须挖掘（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）给值求值时直接套公式，未利用函数值符号缩角范围； （2）忽视三角形条件 与 对方程的限制。 避坑要领：已知 或 的具体值时，先用符号判定象限；再与给定区间取交集，精确锁定唯一解；三角形题还需用 等约束再次过滤。 9. (2026·海南海口·模拟预测) 已知 ，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 10. (2025·全国二卷·高考真题) 在 中，，，，则 （　　） A．45°　　B．60°　　C．120°　　D．135° 11. (2026·山东青岛·一模)函数 的定义域为 ______。 12.(2025·浙江杭州·二模)已知函数 。若存在 满足 ，且 （，），则 的最小值为 ______。 题型四 图象性质——符号方向是陷阱（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）判断 的单调性时忘记 需反转； （2）求 范围时临界点（开/闭区间）判断错误。 避坑要领： 中若 ，先用诱导公式化为 ： ，再求区间。 13. (2025·四川成都·三诊) 已知函数 。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最小正周期及单调递增区间。 14.(2026·全国卷·模拟)  已知函数 （ 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 15. (2026·全国卷·模拟) 已知函数 ， 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（　　） A．11　　B．9　　C．7　　D．5 16. (2026·绵阳二诊·A卷·多选) 已知函数 ，则（　　） A．　　B． 的最小值为 　　C． 的最小正周期为 　　D． 题型五 图象变换——顺序法则莫搞混（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）平移量未除以 ； （2）“先平移后伸缩” vs “先伸缩后平移” 搞混（两者结果不同）； （3）异名函数不先转换就直接平移/伸缩。 避坑要领：① 化为 形式，平移量为 ；② 异名函数先用诱导公式统一为同名；③ 变换作用于 ，所有伸缩/平移都需在 上执行。 17.(2025·河南郑州·质量检测) 将函数 图象上的点 向左平移 （）个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（　　） A．， 的最小值为 　　B．， 的最小值为 C．， 的最小值为 　　D．， 的最小值为 18. (2026·湖南·模拟预测) 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 ，，有 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 19. (2025·北京·模拟卷) 已知函数 。 （Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）求 在区间 上的最小值。 20. (2026·深圳中学·第一次阶段考) 已知函数 （），将曲线 向左平移 个单位长度后，所得图象关于原点对称，则 的最小值为 ______。 题型六 解三角形——多解存在慎判断（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）SSA 情况不判断解的个数； （2）忽略 等三角形存在条件； （3）锐角/钝角判定时漏判某角。 避坑要领：已知两边一对角（SSA），按已知角 锐角讨论： ：无解； ：一解（直角）； ：对应 与 互换角色时，需重新讨论。更通用的判定：当 （对未知角 的边）为变量时，两解条件为 （ 为锐角）； ：一解。 锐角三角形还需三个余弦均 。 21. (2026·北京卷) 已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 22. (2025·江苏南通·三模) 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，面积为 ，满足 。 （1）求证：； （2）求 的取值范围。 23. (2026·浙江·三模) 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24. (2025·全国一卷·高考真题) 已知 的面积为 ，若 ，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1. (2025·河北保定·一模) 设 α 是第二象限角， 为其终边上一点，且 ，则 ______。 2. (2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. (2025·全国卷·模拟) 将函数 图象上的点 向左平移 （）个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（　　） A．， 的最小值为 　　B．， 的最小值为 C．， 的最小值为 　　D．， 的最小值为 4. (2026·山西·三模) 如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转。主动轮有 20 齿，被动轮有 48 齿，主动轮的转速为 240r/min（转/分），被动轮的半径为 24cm，则被动轮周上一点每 1s 转过的弧长是 ______ cm。 5. (2026·黑龙江哈尔滨·二模) 已知角 α 的终边经过点 ，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6. (2025·山东枣庄·二模) 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 7. (2025·上海徐汇·三模) 已知 ，且 ，则 _________。 8. (2025·甘肃金昌·二模) 若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 创新能力提升 9． (2026·新高考2卷·高考真题)已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 10. (2026·全国1卷) 已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 11. (2025·天津·高考真题) 在 中，角 的对边分别为 。已知 ，，。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值。 12. (2025·北京·高考真题) 在 中，，。 （1）求 的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 边上的高。 条件①：；条件②：；条件③： 的面积为 。 13． (2026·新高考1卷·高考真题)已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 高频易错类型速查索引 错误现象 可能原因 对应题型 漏解 终边在直线只取一个象限 题型一 符号错 诱导公式“符号看象限”未把α当锐角 题型二 多解/错解 给值求值时未用符号缩角范围 题型三 单调区间反了 忽略ω<0或系数为负 题型四 平移量算错 未除以ω/异名未转换 题型五 SSA漏判/多判 未按B锐/钝分类讨论 题型六 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优07 三角函数易错易混专项（复习讲义） 内容导航 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 定义与终边——象限讨论不可忘（★★★） 2 题型二 诱导公式——奇变偶变有玄机（★★★） 3 题型三 角范围——隐含条件须挖掘（★★★★）………………………………………………………………… …5 题型四 图象性质——符号方向是陷阱（★★★★）………………………………………………… ……7 题型五 图象变换——顺序法则莫搞混（★★★★） ……………………………………………… ……9 题型六 解三角形——多解存在慎判断（★★★★★） ……………………………………………… ……10 03 实战检测・分层突破验成效 12 重难知识巩固 12 创新能力提升 15 知识重构·重难梳理固根基 三角函数七大高频易错点速查 序号 易错点 典型错误 正确做法 1 终边位置讨论 只看一种象限，漏解 终边在直线上→分两个象限讨论 2 诱导公式 奇变偶不变弄反、象限符号搞错 口诀:“奇变偶不变，符号看象限”（把α当锐角） 3 角范围挖掘 给值求值不缩小角的范围，多解/错解 利用已知函数值的符号反推角所在象限 4 同角关系开方 忘记±号 根据α象限判断符号 5 图象单调性 忽略ω<0需先转化为正系数 ，单调性反转 6 图象变换 平移量未除以ω、异名函数不转换 先化为同名同型： 7 解三角形多解 SSA情况漏解或多解、忽略三角形存在条件 （1）已知角为B（锐角），其对边为b，邻边为a（待判断）： 无解； 一解； 两解（2）若B为钝角，仅当 a > b 时有一解，否则无解 题型精研·避坑指南提能力 题型一 定义与终边——象限讨论不可忘（★★★） 【技巧通法·提分快招】 已知终边在直线上，只取一个象限的点计算三角函数值，漏掉另一个象限的解。避坑要领：终边在直线上时，终边可能在两个不同象限，需分别讨论。 1. (2026·湖北·模拟预测) 若角 α 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 上，则角 α 的取值集合是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】根据题意，角 α 的终边在直线 上，α 为第一象限角时，；α 为第三象限角时，。综上，角 α 的取值集合是 。故选：D。 【避坑关键】：终边在直线上 ≠ 终边唯一，必须分象限讨论，否则必漏解。 2. (2026·河南信阳·模拟预测) 若 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】由 ，且 ，知 ，故 ，。由 及 ，解得 ，，所以 。故选：A。 【避坑关键】： 开方得 ，符号由 α 所在象限决定。 3. (2026·河北·模拟预测) 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】，故 ，又因为 且 ，故 ，所以 ，故 。故选：A。 【避坑关键】： 与 的符号组合可锁定 θ 所在象限，避免两解不知取舍。 4. (2026·黑龙江哈尔滨·三模) 已知点 是角 α 终边上的一点，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】由题意可得 ，，则 。故选：D。 【避坑关键】：余弦值确定角的范围在 ，需把第二、第三象限的两解都写出。同时注意 sin、tan 在不同象限的符号，避免遗漏。 题型二 诱导公式——奇变偶变有玄机（★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）“奇变偶不变” 弄反（即把 写成 ）； （2）“符号看象限” 未将 当锐角处理（应先把 视为锐角判断落点象限）； （3）多个诱导公式级联时丢符号。 避坑要领：严格按 “奇变偶不变，符号看象限” 操作——把 当锐角，看原函数在该象限的符号；多步级联时每步单独处理。 5. (2026·黑龙江哈尔滨·二模) 已知角 α 的终边经过点 ，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】AD 【解析】由题意 ，，故 A 正确；，B 错误；，C 错误；，D 正确。故选：AD。 【避坑关键】：本题三处陷阱同时出现——(i) 诱导公式正负号须区分（奇变后有负号还是有正号要看象限）；(ii) 中的负号；(iii) “θ 范围” 同时限制了 和 的符号，两者必须自洽。 6. (2024·全国甲卷·理) 已知 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 。故选：B。 【避坑关键】：① 给分式 时，分子分母同除以 化为 求 ；② 再用两角和正切公式 ，注意分母是 （减号），勿写成 。 7. (2026·上海徐汇·三模) 已知 ，且 ，则 ______。 【答案】 【解析】由 ，，得 ，所以 ，故 。 【避坑关键】： 先由 sinα 和 α 范围确定 cosα 为负，求出 tanα 为负。利用诱导公式 时，注意 tanα 为负，代入后负号相消得正，符号不能丢失。 。 8. (2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，而 ，所以 ，故 即 ，从而 ，故 。故选：A。 【避坑关键】：① ；② ；③ ；负号个数必须逐个清点，不能漏。 题型三 角范围——隐含条件须挖掘（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）给值求值时直接套公式，未利用函数值符号缩角范围； （2）忽视三角形条件 与 对方程的限制。 避坑要领：已知 或 的具体值时，先用符号判定象限；再与给定区间取交集，精确锁定唯一解；三角形题还需用 等约束再次过滤。 9. (2026·海南海口·模拟预测) 已知 ，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】因 ，则 ，因 ，则 。因 ，，则原式 。 【避坑关键】： 意味着 ，，绝不能取 。 10. (2025·全国二卷·高考真题) 在 中，，，，则 （　　） A．45°　　B．60°　　C．120°　　D．135° 【答案】A 【解析】由余弦定理 ，又 ，所以 。故选：A。 【避坑关键】：三角形中 ，，给定 与 时不能默认 ，必须用三角形约束反推。 11. (2026·山东青岛·一模)函数 的定义域为 ______。 【答案】， 【解析】 要求 ：。 要求 ：。取交集： 在第一象限（含边界）部分，即 。 【避坑关键】：常见错解：只考虑 和 后未取交集。多个根式求定义域需取交集（同时满足），而非并集。 12.(2025·浙江杭州·二模)已知函数 。若存在 满足 ，且 （，），则 的最小值为 ______。 【答案】8 【解析】因为 ，所以 ，故 。要使和等于 12，需 ，即 。而相邻两项差取到 2 须一端取最大值 1、另一端取最小值 。在 上， 的极值点依次为 ，取 ，此时 时和恰为 12，故 的最小值为 8。 【避坑关键】：① 先放缩：，得 即 ，这只是下界而非最终答案；② 相邻两项差取到 2 须一端取 1、另一端取 ，结合区间端点 与 的取值， 时和达不到 12，须取 才满足——求最值型计数题务必回代验证可行性。通用套路：遇到“和式极值+存在性”问题，三步走：①放缩求下界 → ②取等条件分析 → ③回代验证。缺一不可。尤其注意第②步中相邻两项差取到2的条件（两端取到±1），这是从下界m≥7推进到m=8的关键。 题型四 图象性质——符号方向是陷阱（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）判断 的单调性时忘记 需反转； （2）求 范围时临界点（开/闭区间）判断错误。 避坑要领： 中若 ，先用诱导公式化为 ： ，再求区间。 13. (2025·四川成都·三诊) 已知函数 。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最小正周期及单调递增区间。 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为 ，单调递增区间为 ，。 【解析】（Ⅰ）， 所以 。 （Ⅱ）由 得最小正周期为 。 求单调递增区间即求 的单调递减区间， 令 ，解得 ，， 所以 的单调递增区间是 ，。 【避坑关键】：化简为 后，虽然 ω=2>0，但外层系数为负，单调性与 sin 相反。求增区间需转化为求 sin 的减区间，等价于“负号导致单调性反转”，不可直接套用 sin 的增区间。 14.(2026·全国卷·模拟)  已知函数 （ 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】由最小正周期 得 ，又 时取得最小值，即 ，故 ，于是 。对称轴为 ，即 。离对称轴越近函数值（绝对值）越大，离 最近的是 ，其次是 与 比较， 离 更近，故 。故选：A。 【避坑关键】：① 由最小正周期 得 ；② 由” 取得最小值”列 定 ，而不是令其等于 （那是最大值点）；③ 比较 f(x)=A·sin(ωx+φ) 的函数值时，利用对称轴：离对称轴越近，f(x)越大（A>0时）。同时需注意各点处的正负号，结合图象综合判断，勿直接硬算。 15. (2026·全国卷·模拟) 已知函数 ， 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（　　） A．11　　B．9　　C．7　　D．5 【答案】B 【解析】 为 的零点， 为对称轴，则 等于 的奇数倍，即 ，得 。又 在 单调，该区间长度 ，故 。结合 ，检验 （）时满足，（）时不满足单调性，故 的最大值为 9。 【避坑关键】：① 求 范围时，极值点条件与零点条件分别独立建立不等式后取交集；② 端点是开是闭由极值点/零点本身是否取到决定。 16. (2026·绵阳二诊·A卷·多选) 已知函数 ，则（　　） A．　　B． 的最小值为 　　C． 的最小正周期为 　　D． 【答案】BD 【解析】。，A 错误； 的最小值为 ，B 正确； 的最小正周期为 ，C 错误；，D 正确。故选：BD。 【避坑关键】：化简 后，容易误判最小正周期为 （错把 看成2），实际上 ，最小正周期为 。验证D选项时，，利用诱导公式 ，注意括号内两角互补（和为 ）才相等，切勿以为是相反数。 题型五 图象变换——顺序法则莫搞混（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）平移量未除以 ； （2）“先平移后伸缩” vs “先伸缩后平移” 搞混（两者结果不同）； （3）异名函数不先转换就直接平移/伸缩。 避坑要领：① 化为 形式，平移量为 ；② 异名函数先用诱导公式统一为同名；③ 变换作用于 ，所有伸缩/平移都需在 上执行。 17.(2025·河南郑州·质量检测) 将函数 图象上的点 向左平移 （）个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（　　） A．， 的最小值为 　　B．， 的最小值为 C．， 的最小值为 　　D．， 的最小值为 【答案】A 【解析】由题意得 。点 向左平移 个单位得 ，因 在 上，故 ，即 ，即 ，故 ， 的最小值为 。故选：A。 【避坑关键】：平移量 = ，不是 本身。这里 ，，平移量 （方向由 符号决定： 向右）。 18. (2026·湖南·模拟预测) 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 ，，有 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】。要使 ，需 且 （或反过来），即 ，。两式相减的绝对值最小为 对应 调整后取 ，解得 。故选：D。 【避坑关键】：异名 合成须先用辅助角化为同名函数 ，再转化为标准形式 ，平移量 。若遇到 ，先用辅助角化为 （或 sin(x+)），再平移时注意： 左移 m 个单位后为，平移量是 m 而非 φ/ω 的绝对值（此处 φ/ω 已为常数）。简记：括号内 x 的系数为 ω 时，平移 m 个单位直接代入 x+m。 19. (2025·北京·模拟卷) 已知函数 。 （Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）求 在区间 上的最小值。 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。 【解析】（Ⅰ），所以最小正周期为 。 （Ⅱ），则 ，当 即 时， 取最小值 ，故 的最小值为 。 【避坑关键】： 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为。注意定义域区间 [-π,0] 对应，正弦函数在该区间的最小值在 处取得，不要误以为在端点取得。 20. (2026·深圳中学·第一次阶段考) 已知函数 （），将曲线 向左平移 个单位长度后，所得图象关于原点对称，则 的最小值为 ______。 【答案】 【解析】向左平移 个单位得 。图象关于原点对称，即所得函数为奇函数，而 为偶函数，故需 ，即 ，，得 。又 ，故 的最小值为 。 【避坑关键】：① “横坐标缩短为 ” = 频率 （周期减半）；② 平移量针对 ，左移 改为 ；③ 异名转换 。 题型六 解三角形——多解存在慎判断（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 （1）SSA 情况不判断解的个数； （2）忽略 等三角形存在条件； （3）锐角/钝角判定时漏判某角。 避坑要领：已知两边一对角（SSA），按已知角 锐角讨论： ：无解； ：一解（直角）； ：对应 与 互换角色时，需重新讨论。更通用的判定：当 （对未知角 的边）为变量时，两解条件为 （ 为锐角）； ：一解。 锐角三角形还需三个余弦均 。 21. (2026·北京卷) 已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）因为，所以，又的最小正周期为，，所以，所以，因为，所以，， 所以，，所以，所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 【避坑关键】：由最小正周期为 得 ，代入 求 时，注意 ，解为 ，即 ，结合 锁定 。求单调递减区间时，令 ，注意不等号方向和整体代入法（把 看作一个整体），最后解出 的范围。区间端点 和 是否能取到取决于题目对区间的开闭要求，须留意。 22. (2025·江苏南通·三模) 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，面积为 ，满足 。 （1）求证：； （2）求 的取值范围。 【答案】（1）证明见解析；（2）。 【解析】（1）由 得 ，即 ，由余弦定理得 ，即 ，化简得 ，由正弦定理有 ，即 ，化简得 。因为 ，，所以 ，因为 在 上单调递增，故 ，即 。 （2）由正弦定理得 ，因为 为锐角三角形，则 ，解得 ，则 ，令 ，则目标式为 ，其中 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，因为 ，，故 ，故取值范围为 。 【避坑关键】：证明 的关键步骤是由 推出 ，这里必须说明 和 都在 范围内，才能利用正弦函数在该区间单调递增，否则会漏掉 等增根。第（2）问求取值范围时，由锐角三角形条件列出 三个角的不等式组，必须同时用三个角都是锐角来限制 的范围，尤其不能漏掉 这一约束（即 ）。设 后，注意 的范围是开区间还是闭区间，直接影响最终值域端点的开闭，需仔细判断。 23. (2026·浙江·三模) 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】由 得 ，即 ，即 ，又 ，故 ，故 ，因为 ，所以 ，故 ，得 ，。因为 ，因为 ，，所以 ，故 ，所以 ，所以 ，故选 D。 【避坑关键】：本题在锐角三角形条件下求范围，必须同时用 和 是锐角来限制 的取值。由 ，得 ，所以 。若只限制 为锐角（），会严重扩大范围，导致误选A或B。简记：锐角三角形中，已知一角，另两角的范围由“互余互补”关系共同锁定。 24. (2025·全国一卷·高考真题) 已知 的面积为 ，若 ，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】ABC 【解析】，由二倍角公式 ，整理得 ，A 正确；由 及 ，结合 可得 ，，即 ，得 ，，故 ，C 正确；由 及 得 ，，B 正确，D 错误。故选：ABC。 【避坑关键】：判形状直接算最大角对应的余弦值即可，符号决定钝锐： 钝角； 直角； 锐角。由 sinC = sin²A + sin²B = sin²A + sin²B，结合 sin(A+B)=sinC 展开可得 2sinA·sinB·cosC=0，因 sinA, sinB>0，故 cosC=0，从而 C=π/2。此为推导关键，勿直接套结论。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1. (2025·河北保定·一模) 设 α 是第二象限角， 为其终边上一点，且 ，则 ______。 【答案】 【解析】由 ，又 α 是第二象限角，故 ，约去 得 ，解得 ，故 ，所以 。 【避坑关键】：给终边点的坐标含参数时，先由象限确定参数符号再求值，不能直接带正根。 2. (2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】，，代入得 ，即 ，从而 ，故 。 【避坑关键】：由 得 ，这是关键一步； 展开式中是加号， 是减号，两者勿混。 3. (2025·全国卷·模拟) 将函数 图象上的点 向左平移 （）个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（　　） A．， 的最小值为 　　B．， 的最小值为 C．， 的最小值为 　　D．， 的最小值为 【答案】A 【解析】。点 在 上，故 ，即 ， 的最小值为 。 【避坑关键】：先由 求 ；点左移 个单位横坐标变为 ，代入 列方程求 ，勿把”左移”误写成横坐标加 。 4. (2026·山西·三模) 如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转。主动轮有 20 齿，被动轮有 48 齿，主动轮的转速为 240r/min（转/分），被动轮的半径为 24cm，则被动轮周上一点每 1s 转过的弧长是 ______ cm。 【答案】 【解析】主动轮转速为 ，则被动轮 1s 转过的角度大小为 ，所以弧长为 cm。 【避坑关键】：主动轮与被动轮转速比等于齿数的反比，先求被动轮 1s 转过的角度，再乘半径得弧长；注意把 r/min 换算成 r/s，勿单位混用。 5. (2026·黑龙江哈尔滨·二模) 已知角 α 的终边经过点 ，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】AD 【解析】，，，，。故选 AD。 【避坑关键】：由终边点 求 、 后，诱导公式 、 的符号要逐一核对，勿漏负号； 而非 。 6. (2025·山东枣庄·二模) 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】由 及 ，得 ，由余弦定理 ，因为 ，所以 。故选：C。 【避坑关键】：由 及 先整理出 ，再代余弦定理 ；勿把边与角的对应关系代错（ 对 ）。 7. (2025·上海徐汇·三模) 已知 ，且 ，则 _________。 【答案】 【解析】由 ，，得 ，，故 。 【避坑关键】：由 且 ，必须判断 为负，取 ，从而 。若忽略象限符号，将 误取为正，则 的符号会完全相反。代入 时，注意 为负，负负得正，最终结果为 。诱导公式 中的负号不能漏，同时注意 与 的等价替换关系。 8. (2025·甘肃金昌·二模) 若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，得 。因为 ，所以 。故选：C。 【避坑关键】：由 两边平方求 时，用 化简；，通分时勿出错。 创新能力提升 9． (2026·新高考2卷·高考真题)已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 【避坑关键】：由 两边平方求 后，再求 开方时，必须依据“ 为第二象限角”判断 ，开方取正号，才能唯一锁定 和 。求出 后代入 ，注意分母是 （减号），且 为负，符号务必仔细算清。 10. (2026·全国1卷) 已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得，且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且，则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即，且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 【避坑关键】：由 为偶函数，得 或 ，两种情况必须逐一讨论，不能只取一个。若 ，，在指定区间上单调递减，不符；若 ，，须结合复合函数单调性（或代入区间端点）严格验证 的候选值。注意 ，区间端点值必须代入检验，避免多取增根。 11. (2025·天津·高考真题) 在 中，角 的对边分别为 。已知 ，，。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值。 【答案】（1）；（2）3；（3）。 【解析】（1）已知 ，由正弦定理 ，得 ，显然 ，得 ，由 ，故 。 （2）由（1）知 ，且 ，，由余弦定理 ，则 ，解得 （ 舍去），故 。 （3）由正弦定理 ，且 ，，，得 ，且 ，则 为锐角，故 ，故 ，且 ；故 。 12. (2025·北京·高考真题) 在 中，，。 （1）求 的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 边上的高。 条件①：；条件②：；条件③： 的面积为 。 【答案】（1）6；（2）答案见解析 【解析】（1）因为 ，，所以 ，由正弦定理有 ，解得 。 （2）若 存在，设其 边上的高为 。若选①，，因为 ，所以 ，因为 ，这表明此时三角形 有两个钝角，而这是不可能的，所以此时三角形 不存在，故 边上的高也不存在；若选②，，由 有 ，由正弦定理得 ，所以 ，所以由余弦定理得 ，此时三角形 是存在的，且唯一确定，所以 ，即 ，所以 边上的高 ；若选③， 的面积是 ，则 ，解得 ，由余弦定理可得 可以唯一确定，此时三角形 是存在的，且 边上的高满足 ，即 。 【避坑关键】：第（2）问选条件时，必须先检验三角形是否存在。条件①中 ，结合 得 为钝角，由 得 ，则 也为钝角，违背三角形内角和，故三角形不存在。条件②和③均可解出 、，此时需验证 ，，，代入余弦定理 成立，三角形存在且唯一。求高时用面积公式 列方程，注意高是对应哪条边（ 边上的高对应底边 ），不要代错底边。 13． (2026·新高考1卷·高考真题)已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 【避坑关键】：第（1）问用余弦定理 求 时，注意 是 与 的夹角，代入 ，不要代成 。第（2）问建系时， 在 的延长线上且 ，意味着 是 的中点（或直接设 坐标，用比例关系列方程），切勿将 误放在 线段内部。 则说明 在 上靠近 的三等分点。向量点积 列方程时，注意 的起点是 ，终点是 ，不是 ，坐标运算时终点减起点，方向不要搞反。最终求 时，若已得 坐标，直接用两点间距离公式，注意距离是正数，开方取正根。 高频易错类型速查索引 错误现象 可能原因 对应题型 漏解 终边在直线只取一个象限 题型一 符号错 诱导公式“符号看象限”未把α当锐角 题型二 多解/错解 给值求值时未用符号缩角范围 题型三 单调区间反了 忽略ω<0或系数为负 题型四 平移量算错 未除以ω/异名未转换 题型五 SSA漏判/多判 未按B锐/钝分类讨论 题型六 1 学科网（北京）股份有限公司 $