重难点培优03 正余弦定理与解三角形基础（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦正余弦定理、解三角形等核心考点，按知识重构梳理基础、题型精研提炼通法、分层检测巩固成效的逻辑组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破边角互化、解的个数判断等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“技巧通法+分层实战”为特色，如解的个数判断总结“小无解，等一直，中间二，大一解”口诀培养数学思维，边角互化策略强化数学语言表达。设置基础巩固与创新提升练习，配合高考真题改编题训练，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优03 正余弦定理与解三角形基础（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 正弦定理的基本应用（★★） …………2 题型二 余弦定理的基本应用（★★★） ……3 题型三 三角形面积的计算与应用（★★★）……………………………………………………………………… …4 题型四 三角形解的个数判断（★★★★）…………………………………………………………………5 题型五 边角互化与综合求值（★★★★★） …………………………………………………………………………6 03 实战检测・分层突破验成效 ……7 重难知识巩固 7 创新能力提升 9 知识重构·重难梳理固根基 1. 正弦定理 变形：，，； 2. 余弦定理 变形：，， 3. 三角形面积公式 4. 三角形内角和定理 ，， 5. 解的个数判断（已知两边及其中一边对角） 已知：①若为锐角，无解，一解（直角），两解，一解； ②若为直角或钝角，无解，一解。 6. 常用结论 （1） （2）形状判断：直角；锐角（指锐角）；钝角 题型精研·技巧通法提能力 题型一 正弦定理的基本应用（★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 已知两角一边：先由内角和求第三角，再用正弦定理求未知边。 2. 已知两边及其中一边对角：先用正弦定理求另一角的正弦，再结合”大边对大角”判断解的个数。 3. 边比等于正弦比：，反之亦然。 4. 与外接圆联系：，可用于求外接圆半径或直径。 1.（2025·四川广安·二模）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由内角和定理求： 由正弦定理得：，故选B． 2.（人教A版必修第二册P48·例1变式）在中，，则，最大角的余弦值为． 【答案】 ； 【解析】 由正弦定理，知． 最大边为（对应比例4），最大角为，由余弦定理： 3.（2025·全国新高考Ⅱ卷·单选改编）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 已知三边，用余弦定理求： ．故选A． 题型二 余弦定理的基本应用（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 已知三边求角：直接代入等。 2. 已知两边及夹角求第三边：直接代入。 3. 判断三角形形状：利用余弦定理的符号判定角的大小——为正锐角，为直角，为负钝角。 4. 易错警示：注意”大边对大角”——用余弦定理求出的角是唯一确定的（到），而正弦定理可能对应两解。 1.（2025·山东枣庄·二模）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 整理条件式，注意与余弦定理进行比较： 由得……① 由余弦定理，……② ①=②得： ，．故选C． 【技巧点拨】 当条件中出现的线性组合时，联想余弦定理的变形表达式。 2.（2025·河北秦皇岛·三模）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 由正弦定理，． 由余弦定理得：，故选D． 【技巧点拨】 正弦定理的条件用边比表示：，直接转化为边的关系再代入余弦定理。 3.（人教A版必修第二册P48·例4变式）在中，，，，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】 B 【解析】 ，，为直角三角形．故选B． 4.（2025·全国新高考Ⅰ卷·多选题改编）在中，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】 A 【解析】 （化边法）：由正弦定理，， ，． ，，，． 为等腰三角形．故选A． （余弦定理化边）：为等腰三角形．故选A． 【注意】 也可以直接由射影定理（或余弦定理化边）得到，结果相同。 题型三 三角形面积的计算与应用（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 基本面积公式：。 2. 外接圆半径公式：，配合正弦定理使用。 3. 面积与余弦定理结合：先用余弦定理求，再用，代入面积公式。 4. 易错警示：面积公式中正弦取对应夹角，注意哪个角是两边的夹角。 1.（人教A版必修第二册P53·例5变式）在中，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ．故选C． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，，，则外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 化简条件： ，． 由正弦定理，， 外接圆面积．故选B． 【技巧点拨】 已知和，可联系正弦定理求出——这比分别求高效。 3.（2025·湖南邵阳·三模）在中，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由得，由正弦定理得， 又，， ． 因 ，故 。又 为锐角（），所以 也为锐角，取 。 由内角和，： 由正弦定理求，再求面积： 由得． ．故选B． 题型四 三角形解的个数判断（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 核心不等式（已知）：比较与及的大小关系。 2. 为锐角时：无解；一解（直角）；两解；一解。 3. 为直角或钝角时：无解；一解。 4. 记忆口诀：“小无解，等一直，中间二，大一解”。 1.（人教A版必修第二册P48·例2变式）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 C 【解析】 计算， 为锐角，且， 有两解．故选C． 2.（人教A版必修第二册P48·变式）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 A 【解析】 计算， ，无解．故选A． 3.（2025·北京卷·改编）在中，，，，则此三角形（ ） A．不存在 B．存在且 C．存在且 D．无法确定 【答案】 A 【解析】 ，为钝角（）． ，大边对等角均为钝角，三角形内角和将超过，矛盾． 三角形不存在．故选A． 【技巧点拨】 钝角三角形中，钝角对应的边必为最大边。若出现两个钝角则三角形不存在。 题型五 边角互化与综合求值（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 化边为角：用正弦定理将边统一为角的正弦，消去，得到纯三角函数关系式。 2. 化角为边：用正弦定理或余弦定理将角转化为边。 3. 选择策略：条件中含”齐次”边角混合（如）化边为角；条件含”平方和”用余弦定理化角为边。 4. 综合考法：先边角互化得角关系，再利用内角和定理和三角恒等变换求解。 1.（2025·河南鹤壁·二模）在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】，两边乘以 （），得：， 即． ，且由正弦定理，， 代入得， 化简得，， ．故选B． 2.（2025·天津卷·改编）在中，，，，求和的值． 【答案】 ， 【解析】 由正弦定理，，代入条件： ，，，， ． 由得，代入余弦定理： 代入： 或（舍），，． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.（人教A版必修第二册P48·变式）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由正弦定理：．故选B． 2.（2025·全国Ⅱ卷改编）在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 同题型一第3题，．故选B． 3.（2025·山东）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 对比余弦定理得，．故选A． 4.（教材P52·变式）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，．故选A． 5.（2025·四川广安·模拟）在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ．故选B． 6.（2025·河北秦皇岛）在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，．故选A． 7.（人教A版必修第二册P53·变式）在中，，，面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ，．故选B． 8.（2025·全国Ⅱ卷·改编）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 A 【解析】 ，无解．故选A． 创新能力提升 1.（2025·新高考原创·多选）在中，已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，，则 D．一定为锐角三角形 【答案】 ABC 【解析】 由余弦定理，结合得，故（A正确），（B正确）．若，，则，（C正确）．时，如取，，此时，为钝角三角形，故不一定为锐角三角形（D错误）．故选ABC． 2.（2025·新高考原创）在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】 B 【解析】 若为直角三角形，不妨设，则，，，故，等式成立．反之，利用三角形恒等式（可由推导），代入已知条件得，故至少有一个角的余弦值为，即至少有一个角为，为直角三角形．故选B． 3.（2025·新高考原创）在中，已知面积，，，则边的值为（ ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】 C 【解析】 由面积公式，得，故或．当时，由余弦定理，；当时，，．故选C． 4.（2025·新高考原创）在中，已知，则角（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ．由余弦定理，故，解得，故．故选C． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 正余弦定理与解三角形基础（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 正弦定理的基本应用（★★） …………2 题型二 余弦定理的基本应用（★★★） ……3 题型三 三角形面积的计算与应用（★★★）……………………………………………………………………… …3 题型四 三角形解的个数判断（★★★★）…………………………………………………………………4 题型五 边角互化与综合求值（★★★★★） …………………………………………………………………………5 03 实战检测・分层突破验成效 ……6 重难知识巩固 6 创新能力提升 7 知识重构·重难梳理固根基 1. 正弦定理 变形：，，； 2. 余弦定理 变形：，， 3. 三角形面积公式 4. 三角形内角和定理 ，， 5. 解的个数判断（已知两边及其中一边对角） 已知：①若为锐角，无解，一解（直角），两解，一解； ②若为直角或钝角，无解，一解。 6. 常用结论 （1） （2）形状判断：直角；锐角（指锐角）；钝角 题型精研·技巧通法提能力 题型一 正弦定理的基本应用（★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 已知两角一边：先由内角和求第三角，再用正弦定理求未知边。 2. 已知两边及其中一边对角：先用正弦定理求另一角的正弦，再结合”大边对大角”判断解的个数。 3. 边比等于正弦比：，反之亦然。 4. 与外接圆联系：，可用于求外接圆半径或直径。 1.（2025·四川广安·二模）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2.（人教A版必修第二册P48·例1变式）在中，，则，最大角的余弦值为． 3.（2025·全国新高考Ⅱ卷·单选改编）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型二 余弦定理的基本应用（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 已知三边求角：直接代入等。 2. 已知两边及夹角求第三边：直接代入。 3. 判断三角形形状：利用余弦定理的符号判定角的大小——为正锐角，为直角，为负钝角。 4. 易错警示：注意”大边对大角”——用余弦定理求出的角是唯一确定的（到），而正弦定理可能对应两解。 1.（2025·山东枣庄·二模）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 2.（2025·河北秦皇岛·三模）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 3.（人教A版必修第二册P48·例4变式）在中，，，，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4.（2025·全国新高考Ⅰ卷·多选题改编）在中，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型三 三角形面积的计算与应用（★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 基本面积公式：。 2. 外接圆半径公式：，配合正弦定理使用。 3. 面积与余弦定理结合：先用余弦定理求，再用，代入面积公式。 4. 易错警示：面积公式中正弦取对应夹角，注意哪个角是两边的夹角。 1.（人教A版必修第二册P53·例5变式）在中，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，，，则外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南邵阳·三模）在中，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 题型四 三角形解的个数判断（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 核心不等式（已知）：比较与及的大小关系。 2. 为锐角时：无解；一解（直角）；两解；一解。 3. 为直角或钝角时：无解；一解。 4. 记忆口诀：“小无解，等一直，中间二，大一解”。 1.（人教A版必修第二册P48·例2变式）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 2.（人教A版必修第二册P48·变式）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 3.（2025·北京卷·改编）在中，，，，则此三角形（ ） A．不存在 B．存在且 C．存在且 D．无法确定 题型五 边角互化与综合求值（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 1. 化边为角：用正弦定理将边统一为角的正弦，消去，得到纯三角函数关系式。 2. 化角为边：用正弦定理或余弦定理将角转化为边。 3. 选择策略：条件中含”齐次”边角混合（如）化边为角；条件含”平方和”用余弦定理化角为边。 4. 综合考法：先边角互化得角关系，再利用内角和定理和三角恒等变换求解。 1.（2025·河南鹤壁·二模）在中，，则（ ） A． B． C． D． 2.（2025·天津卷·改编）在中，，，，求和的值． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.（人教A版必修第二册P48·变式）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2.（2025·全国Ⅱ卷改编）在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（2025·山东）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 4.（教材P52·变式）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 5.（2025·四川广安·模拟）在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6.（2025·河北秦皇岛）在中，，则（ ） A． B． C． D． 7.（人教A版必修第二册P53·变式）在中，，，面积为，则（ ） A． B． C． D． 8.（2025·全国Ⅱ卷·改编）在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 创新能力提升 1.（2025·新高考原创·多选）在中，已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，，则 D．一定为锐角三角形 2.（2025·新高考原创）在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3.（2025·新高考原创）在中，已知面积，，，则边的值为（ ） A． B． C．或 D．不存在 4.（2025·新高考原创）在中，已知，则角（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $