重难点培优04 解三角形中的最值与范围（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中的最值与范围核心考点，涵盖面积、周长、边角代数式等五大题型，以基本不等式法、三角函数法、坐标向量法三大核心方法为主线构建知识体系。通过知识重构梳理基础、题型精研提炼技巧、实战检测分层突破的教学流程，帮助学生系统突破难点。 资料创新采用题型分类突破策略，针对不同最值问题提供“技巧通法”，如面积最值用基本不等式、周长范围用三角函数法，培养学生数学思维与模型意识。设置重难巩固与创新提升分层练习，结合高考真题与模拟题训练，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供精准指导。

重难点培优04 解三角形中的最值与范围（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 面积的最值与范围（★★★） 2 题型二 周长的最值与范围（★★★★） 3 题型三 边角代数式的最值与范围（★★★★★）………………………………………………………………… …4 题型四 中线与角平分线相关最值（★★★★★）………………………………………………… ……5 题型五 锐角三角形条件下的范围（★★★★★） ……………………………………………… ……6 03 实战检测・分层突破验成效 7 重难知识巩固 7 创新能力提升 8 知识重构·重难梳理固根基 1. 解三角形最值与范围的三大核心方法 方法 适用场景 关键步骤 基本不等式法 已知一角和对边，求面积/周长最大值 ①余弦定理 ；② 得 上界；③代入面积/周长公式 三角函数法 已知一角和对边，求周长/边和范围 ①正弦定理 ，；② 消元；③和差化积+辅助角公式求值域 坐标/向量法 涉及中线、角平分线等特殊线段 ①向量公式 ；②求长度表达式；③约束条件求最值 2. 基本不等式法的标准流程 (1) 核心公式： 已知 和 ，由余弦定理 因此 (2) 面积最大值： (3) 特殊值速算：当 时，，， 3. 三角函数法的标准流程 核心公式：已知 和 ， 因为 ，所以 4. 三角形中的不等关系 (1) 任意两边之和大于第三边：（求范围时下界为开区间） (2) 边角等价： (3) 锐角三角形：三个角均为锐角，消元时被消元的范围由主元承担 易错警示： 等号成立条件为 （即等腰三角形），需验证是否满足三角形存在条件 5. 中线与角平分线的常用公式 (1) 中线长度公式：（ 为 边中线长度） (2) 中线向量公式：， (3) 角平分线定理： (4) 角平分线长度： 题型精研·技巧通法提能力 题型一 面积的最值与范围（★★★） 【技巧通法·提分快招】 已知一角和对边求面积最值→基本不等式法；求面积范围→三角函数法化为单变量函数求值域。 1.（2026·菏泽·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2.（2025·中卫模拟）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，，则 面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3.（2025·萍乡·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，，则 面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4.（人教A版必修二·改编）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，。 （1）求 面积的最大值； （2）求 面积的取值范围。 5.（2025·贵州黔东南·三模）在锐角 中，角 所对的边分别为 ， 的角平分线交 于点 ，，，则下列结论正确的是（　　） A．　　　B．若 ，则 C． 面积的最大值为 　　　D．若 ，则 题型二 周长的最值与范围（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 求周长范围=求 范围后加 。三角函数法：；基本不等式法：，配合 上界求 上界。下界由 确定（开区间）。 1.（2025·南阳一中·三模）.已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，若 ，则 的取值范围是______。 2.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3.（2024·全国Ⅱ卷·改编）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）若 ，，求 的值。 （2）若 ，求 的取值范围。 4.（人教A版必修二·变式）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的最大值。 【答案】 【解析】 ，当 时取等。 5.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型三 边角代数式的最值与范围（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 边角代数式范围问题核心是选择合适系统（角系统还是边系统）。角的条件多→角系统（正弦定理化边为角）；边的不等关系多→边系统（余弦定理+基本不等式）。消元后化为单变量函数求值域。 1.（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）若 ，求 ； （2）求 的最小值。 2.在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的最小值为______。 3.（2025·江苏南通·三模）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 。 （1）求证：； （2）求 的取值范围。 4.（2025·浙江·三模）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型四 中线与角平分线相关最值（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 中线问题→向量公式 求长度，再结合余弦定理和基本不等式求最值； 角平分线→角平分线长度公式 ，结合条件求最值。 1.（2025·河北保定·一模）记 的内角 所对的边分别为 ，若 ，，则 边上的中线 长度的最小值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2.（2024·江苏宿迁·三模）在 中，角 所对的边分别为 。若 ，且边 上的中线 长为 ，则（　　） A．　　　 B． 的取值范围为 C． 面积的最大值为 　　　D． 周长的最大值为 3.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，， 边上的中线 的长度为_______。 4.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的角平分线 的最大长度为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型五 锐角三角形条件下的范围（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 锐角三角形条件=三个角均为锐角。 核心难点：消元后被消去的角的范围由主元承担。 三个条件 ，， 必须同时满足。 1.在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的取值范围。 2.在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3.在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 。 （1）求证：； （2）求 的最小值。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 面积的最大值为______。 4.在 中，，。 (1)求 的最大值； (2)求 面积的最大值。 5.在 中，，。求 的最小值。 6.在 中，，，， 为 中点。求中线 的长。 【答案】 7.在 中，，，， 为 的平分线。求 的长。 创新能力提升 1.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，， 的中点为 ，且 。 （1）求 的长度； （2）求 的面积。 2.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，， 的平分线 交 于点 ，求 的取值范围。 3.定义 的协调系数 ，其中 为面积。 (1)求等边三角形的 ； (2)证明：，并指出等号成立条件。 4.（2025·江苏·模拟）在锐角 中，，。求 的最大值。 5.（改编·多选题·不等式综合）在 中，，，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 解三角形中的最值与范围（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 面积的最值与范围（★★★） 2 题型二 周长的最值与范围（★★★★） 5 题型三 边角代数式的最值与范围（★★★★★）………………………………………………………………… …7 题型四 中线与角平分线相关最值（★★★★★）………………………………………………… ……9 题型五 锐角三角形条件下的范围（★★★★★） ……………………………………………… ……12 03 实战检测・分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 15 知识重构·重难梳理固根基 1. 解三角形最值与范围的三大核心方法 方法 适用场景 关键步骤 基本不等式法 已知一角和对边，求面积/周长最大值 ①余弦定理 ；② 得 上界；③代入面积/周长公式 三角函数法 已知一角和对边，求周长/边和范围 ①正弦定理 ，；② 消元；③和差化积+辅助角公式求值域 坐标/向量法 涉及中线、角平分线等特殊线段 ①向量公式 ；②求长度表达式；③约束条件求最值 2. 基本不等式法的标准流程 (1) 核心公式： 已知 和 ，由余弦定理 因此 (2) 面积最大值： (3) 特殊值速算：当 时，，， 3. 三角函数法的标准流程 核心公式：已知 和 ， 因为 ，所以 4. 三角形中的不等关系 (1) 任意两边之和大于第三边：（求范围时下界为开区间） (2) 边角等价： (3) 锐角三角形：三个角均为锐角，消元时被消元的范围由主元承担 易错警示： 等号成立条件为 （即等腰三角形），需验证是否满足三角形存在条件 5. 中线与角平分线的常用公式 (1) 中线长度公式：（ 为 边中线长度） (2) 中线向量公式：， (3) 角平分线定理： (4) 角平分线长度： 题型精研·技巧通法提能力 题型一 面积的最值与范围（★★★） 【技巧通法·提分快招】 已知一角和对边求面积最值→基本不等式法；求面积范围→三角函数法化为单变量函数求值域。 1.（2026·菏泽·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 B 【解析】由余弦定理得 因为 ，所以 。利用基本不等式求 上界 由 和余弦定理： 所以 ，当且仅当 时取等号。 2.（2025·中卫模拟）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，，则 面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 A 【解析】，由 ，： 所以，即 。 由余弦定理得，，故 ，。 基本不等式求 上界： ，当 时取等号。 代入面积公式得： 3.（2025·萍乡·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，，则 面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 A 【解析】，，，。 基本不等式求 上界： ，当 取等。代入面积公式 4.（人教A版必修二·改编）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，。 （1）求 面积的最大值； （2）求 面积的取值范围。 【答案】 （1）；（2） 【解析】（1） ，，当 取等。 （2），， ， 5.（2025·贵州黔东南·三模）在锐角 中，角 所对的边分别为 ， 的角平分线交 于点 ，，，则下列结论正确的是（　　） A．　　　B．若 ，则 C． 面积的最大值为 　　　D．若 ，则 【答案】 BCD 【解析】 为锐角，，故 。 正弦定理 ：由 得 。 ，锐角条件下 ，A错误。 B选项：，， ，B正确。 C选项：，，，C正确。 D选项：， ，角平分线长度：，D正确。 题型二 周长的最值与范围（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 求周长范围=求 范围后加 。三角函数法：；基本不等式法：，配合 上界求 上界。下界由 确定（开区间）。 1.（2025·南阳一中·三模）.已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，若 ，则 的取值范围是______。 【答案】 【解析】 ，（当 取等） ，故 。 2.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 B 【解析】由正弦定理得 ，，， ，。 3.（2024·全国Ⅱ卷·改编）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）若 ，，求 的值。 （2）若 ，求 的取值范围。 【答案】 （1）；（2） 【解析】（1）由 得 ，。 （2） ，（当 取等） （三角形两边之和大于第三边） 故 。 4.（人教A版必修二·变式）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的最大值。 【答案】 【解析】 ，当 时取等。 5.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 A 【解析】由正弦定理得 ，，， ，。 题型三 边角代数式的最值与范围（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 边角代数式范围问题核心是选择合适系统（角系统还是边系统）。角的条件多→角系统（正弦定理化边为角）；边的不等关系多→边系统（余弦定理+基本不等式）。消元后化为单变量函数求值域。 1.（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）若 ，求 ； （2）求 的最小值。 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）化简已知等式右边 交叉相乘化简 利用内角和定理， 代入 ， （因为 且 ），所以 。 （2）由 ，知 为钝角，， ，故 （因 为锐角）。 正弦定理化角 令 ，，， 基本不等式求最小值， 当 ， 时取等。 2.在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的最小值为______。 【答案】 【解析】由余弦定理 得 所以，当 时取等号。 3.（2025·江苏南通·三模）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 。 （1）求证：； （2）求 的取值范围。 【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】（1） ，故 。 ： 在 中，，故 ，即 。由正弦定理 （大边对大角）。因此在 且 的条件下，只能是 ，故 。 （2） 令 锐角三角形： 锐角， 锐角→ 锐角→，, 在 取最小值 当 （）：（开区间）, 4.（2025·浙江·三模）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 B 【解析】化简条件 正弦定理：， ： ： ， 锐角三角形：，, , 当 ：（开）, 题型四 中线与角平分线相关最值（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 中线问题→向量公式 求长度，再结合余弦定理和基本不等式求最值； 角平分线→角平分线长度公式 ，结合条件求最值。 1.（2025·河北保定·一模）记 的内角 所对的边分别为 ，若 ，，则 边上的中线 长度的最小值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 C 【解析】 利用和差化积： ： 正弦定理： ：， ： 中线向量公式 为 中点， 余弦定理与基本不等式 （因为 ） ， ，当 时取等。 2.（2024·江苏宿迁·三模）在 中，角 所对的边分别为 。若 ，且边 上的中线 长为 ，则（　　） A．　　　 B． 的取值范围为 C． 面积的最大值为 　　　D． 周长的最大值为 【答案】 AB 【解析】， 正弦定理化角： ： ，，A正确。 中线条件， B选项：， ，；，，（开） ，B正确。 C选项： 面积最大值为 ，不是 ，C错误。 D选项：: 由 ， ，， ， 时 ，D错误。 3.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，， 边上的中线 的长度为_______。 【答案】 【解析】, 中线长度公式, 4.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的角平分线 的最大长度为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 B 【解析】角平分线长度公式 需 ，（三角形）， 最大值在 最小时取到。 且 。 当 ：，，， 由 ， 题型五 锐角三角形条件下的范围（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 锐角三角形条件=三个角均为锐角。 核心难点：消元后被消去的角的范围由主元承担。 三个条件 ，， 必须同时满足。 1.在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的取值范围。 【答案】 【解析】正弦定理求 锐角条件确定 的范围 ，→,, （边界 或 时 ，不满足锐角，故为开区间） ，。 2.在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 B 【解析】正弦定理化角，，， 3.在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 。 （1）求证：； （2）求 的最小值。 【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】（1）利用三角形恒等式 在任意三角形中， （由 ，，展开得 ） 代入条件 锐角三角形中 ，故 ，。 （2）化简， 基本不等式， 令 ： （注意：因为，故 ）， 当 （等边三角形）时取等号，。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 面积的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 D 【解析】由 得 ; 代入面积公式,当 时取等号。 2.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 B 【解析】正弦定理求 , ，,,, 3.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 面积的最大值为______。 【答案】 【解析】, 代入面积公式 4.在 中，，。 (1)求 的最大值； (2)求 面积的最大值。 【答案】 (1) ；(2) 【解析】（1）余弦定理：，。 由 ：，，等号在 时取。 （2）。 5.在 中，，。求 的最小值。 【答案】 【解析】余弦定理：。 。 由 ：，。 ，等号在 时取。 6.在 中，，，， 为 中点。求中线 的长。 【答案】 【解析】，。 中线公式：，。 7.在 中，，，， 为 的平分线。求 的长。 【答案】 【解析】角平分线长度公式：。 创新能力提升 1.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，， 的中点为 ，且 。 （1）求 的长度； （2）求 的面积。 【答案】 （1） 或 ；（2） 或 【解析】（1）设 ，，。 由余弦定理 ： 在 中，，由余弦定理： 由得 ，代入： 代回： 由 两边平方，代入 ： 令 ，，解得： ， 当 时，，，。 当 时，，，。 故 或 。 （2）求面积 当 时： 当 ， 时： 故 或 。 2.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，， 的平分线 交 于点 ，求 的取值范围。 【答案】 【解析】角平分线长度公式 由余弦定理 ：, 令 ，则 , 由 得 ，结合 得 由基本不等式 ： 故 ,代入 表达式 令 ，， 在 上单调递增 当 时， 当 （即 ）时， 故 。 3.定义 的协调系数 ，其中 为面积。 (1)求等边三角形的 ； (2)证明：，并指出等号成立条件。 【答案】 (1) ；(2) 见解析，等号在等边时成立 【解析】(1) 等边 ：。。 (2) 由 Weitzenböck 不等式：。 ，等号当且仅当 时成立。 4.（2025·江苏·模拟）在锐角 中，，。求 的最大值。 【答案】 【解析】正弦定理：。 。 ，等号在 时取。 5.（改编·多选题·不等式综合）在 中，，，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 ABCD 【解析】，。勾股定理：。A正确。 ，，。B正确。 ，。C正确。 。D正确。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $