第四单元 加法模型和乘法模型（单元举一反三讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理加法与乘法模型知识体系，涵盖总量分量关系、经济问题、行程问题等核心内容，用对比表格区分模型适用场景，突出“分量合并”与“相同量累加”的内在逻辑，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“典例精讲-跟踪训练-提升练习”三级设计，如经济问题中“买4本送1本”促销题，引导学生用乘法模型解决实际问题，培养模型意识与应用意识。高频易错汇总帮助学生规避公式混淆等问题，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第四单元 加法模型和乘法模型 单元举一反三讲义 【知识点梳理+典例精讲+跟踪训练+举一反三提升练习】 学习寄语 同学们，加法模型和乘法模型是小学应用题的核心解题模型，是梳理数量关系、解决各类实际问题的基础。本单元我们重点学习总量与分量的加减关系、生活中的经济问题、基础行程问题，区分加法合并模型与乘法归一模型。找准数量关系、熟记通用公式，就能轻松破解绝大多数基础应用题，为高年级复杂应用题学习筑牢思维根基。 知识点梳理 知识点1：总量与分量之间的关系（加法核心模型） 1. 核心模型定义：加法模型主要用于解决分量与总量的问题，适用于已知部分求整体、已知整体求部分的场景，是所有加减应用题的底层逻辑。 2. 三大基础数量关系式：总量 = 部分分量 + 另一部分分量；部分分量 = 总量 − 另一部分分量；总分量和 = 各分量依次相加。 3. 适用题型：物品数量合并、路程分段求和、产量累加、剩余问题、增减数量问题等。只要是多个部分合起来求整体，或已知整体求其中一部分，都用加法模型解题。 4. 拓展应用：多个分量累加，总量就是所有分量的和；总量固定时，一个分量增加，另一个分量随之减少。 知识点2：经济问题（乘法基础模型） 1. 核心概念：经济问题是乘法模型最典型的应用，围绕单价、数量、总价三个量展开，三者知二求一。 2. 通用核心公式：总价 = 单价 × 数量；单价 = 总价 ÷ 数量；数量 = 总价 ÷ 单价。 3. 概念区分：单价指一件商品的价格，数量指购买的件数、个数、份数，总价指购买所有商品的总花费。 4. 常见题型：单一商品购物问题、多件商品总价计算、已知总价求单价/数量、对比优惠价格等基础生活应用题。 5. 解题关键：找准三个对应量，区分题目已知条件，灵活套用公式，单位统一后再计算。 知识点3：基础行程问题（乘法核心模型） 1. 核心概念：基础行程问题围绕路程、速度、时间三个量展开，是小学最基础的运动类应用题，三者知二求一。 2. 通用核心公式：路程 = 速度 × 时间；速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 3. 概念解读：速度是单位时间行走的路程（每小时、每分钟、每秒走的距离）；时间是行走的时长；路程是一共走的总距离。 4. 常用单位搭配：速度（千米/时、米/分、米/秒），时间（时、分、秒），路程（千米、米），计算时必须保证单位对应统一。 5. 基础题型：单人单向行走、行驶问题，已知速度时间求路程，已知路程速度求时间，已知路程时间求速度。 知识点4：加法模型与乘法模型区别（必考辨析） 1. 加法模型：用于不同分量合并，多个不相同或分段的数量求和，核心是“合并求总量、拆分求分量”。 2. 乘法模型：用于相同数量重复累加，是相同加数加法的简便运算，核心是“归一、倍比”，对应购物、行程问题。 3. 解题技巧：多个不同部分求和用加法；每份数量相同、有固定单价和速度的问题，优先用乘法模型。 知识点5：单元高频易错汇总 1. 数量关系混淆：分不清加法分量总量关系和乘法归一关系，乱套公式。 2. 公式记反：经济、行程问题中，求单价、求速度时误用乘法，正确应为除法。 3. 单位不统一：行程问题中时间、路程、速度单位不匹配，导致计算结果错误。 4. 审题失误：未看清“一共、剩余、平均、每小时、每个”等关键词，选错解题模型。 典例精讲+跟踪训练 【例题讲解】 小明上学需要走12分钟，已经走了5分钟，还需要走几分钟？（写出关系式并计算） 【跟踪训练】 鼓楼小学开展了以“节约用水，关住点滴”为主题的绘画比赛。四年级上交的绘画作品有124幅，比三年级上交的绘画作品多36幅。三年级上交的绘画作品有多少幅？ 【例题讲解】 李阿姨买3千克橙子花了24元，照这样计算，买15千克橙子需要多少元？ 【跟踪训练】 超市促销：笔记本每本6元，买4本送1本。王老师带了60元，最多能买多少本？ 【例题讲解】 一列火车长500米，以每分钟900米的速度通过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了3分钟。这条隧道长多少米？ 【跟踪训练】 为践行“绿色出行”，李老师每天骑单车上下班。放学后他从学校出发回家，他每分钟骑单车行235米，以这样的速度骑了23分钟后距家还有210米。从学校到李老师家共有多少米？ 举一反三提升练习 一、填空题 1．某校为奖励阅读时长靠前的学生，准备定制印章给学生。已知“书”印章有129枚，“香”印章有321枚。该校一共定制了多少枚印章？这个问题中总量是( )，分量分别是( )和( )。 2．王强骑自行车4分钟行驶了1000米，他骑自行车的速度是( )，运用的数量关系是( )。 3．彩虹超市搞促销活动，某品牌饮料原价每瓶6元，现在买二送一。妈妈买了6瓶这种饮料，实际应付( )元，相当于每瓶便宜了( )元。 4．《安徒生童话》共580页，小华周末看了236页，还剩( )页没看完。在这个问题中( )是总量，( )和( )是分量，解决这个问题用到的数量关系式是( )。 5．甲、乙两人从相距1200米的A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟80米，乙的速度是每分钟70米，相遇后两人继续前行至对方起点后立即返回，第二次相遇时，甲一共走了( )分钟，两人第二次相遇点距离A地( )米。 二、选择题 6．一根铁丝长500米，第一次用去168米，第二次用去147米，现在这根铁丝比原来短了多少米？下面列式正确的是（    ）。 A．500－168－147 B．500－168＋147 C．500－（168－147） D．168＋147 7．李老师骑自行车从家到学校，前一半路程速度为150米/分，后一半路程速度为100米/分，全程的平均速度是（    ）米/分。 A．120 B．125 C．130 D．135 8．开心书店开展“满200减50”促销活动，小明购买了3本单价65元的故事书和1本单价80元的字典，实际需要支付（    ）元。 A．275 B．245 C．225 D．205 9．佳佳超市开展促销活动，原来4元一袋的涪陵榨菜，现在买四送一，黄阿姨买10袋涪陵榨菜，现在需要花（    ）元。 A．16 B．32 C．40 D．50 10．根据下面的信息（    ），可以求出售货员需要找给赵老师多少元。 ①每盒钢笔12支。 ②赵老师买了6盒钢笔。 ③每盒钢笔98元。 ④付给售货员600元。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 三、解答题 11．北京到石家庄市正定古城的距离大约是293千米，张叔叔一家周末开车从北京出发，到石家庄正定古城游玩，汽车行驶的平均速度大约是96千米/时，如果张叔叔一家上午7时从北京出发，上午10时能到达石家庄市正定古城吗？ 12．社区准备了680本用于推广垃圾分类知识的环保宣传册，第一天分发了147本，第二天分发的本数比第一天多28本。还剩下多少本环保宣传册？ 13．新学期开始了，小华想为困难同学买学习用品，小华想买两个书包，每个书包52元，小华带了100元，还差多少钱？ 14．为落实学生体质强健计划，某校计划购买篮球和排球各45个，已知每个篮球80元，每个排球60元。请你算一算一共需要多少元钱？ 15．甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的少60千米。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 加法模型和乘法模型 单元举一反三讲义 【知识点梳理+典例精讲+跟踪训练+举一反三提升练习】 学习寄语 同学们，加法模型和乘法模型是小学应用题的核心解题模型，是梳理数量关系、解决各类实际问题的基础。本单元我们重点学习总量与分量的加减关系、生活中的经济问题、基础行程问题，区分加法合并模型与乘法归一模型。找准数量关系、熟记通用公式，就能轻松破解绝大多数基础应用题，为高年级复杂应用题学习筑牢思维根基。 知识点梳理 知识点1：总量与分量之间的关系（加法核心模型） 1. 核心模型定义：加法模型主要用于解决分量与总量的问题，适用于已知部分求整体、已知整体求部分的场景，是所有加减应用题的底层逻辑。 2. 三大基础数量关系式：总量 = 部分分量 + 另一部分分量；部分分量 = 总量 − 另一部分分量；总分量和 = 各分量依次相加。 3. 适用题型：物品数量合并、路程分段求和、产量累加、剩余问题、增减数量问题等。只要是多个部分合起来求整体，或已知整体求其中一部分，都用加法模型解题。 4. 拓展应用：多个分量累加，总量就是所有分量的和；总量固定时，一个分量增加，另一个分量随之减少。 知识点2：经济问题（乘法基础模型） 1. 核心概念：经济问题是乘法模型最典型的应用，围绕单价、数量、总价三个量展开，三者知二求一。 2. 通用核心公式：总价 = 单价 × 数量；单价 = 总价 ÷ 数量；数量 = 总价 ÷ 单价。 3. 概念区分：单价指一件商品的价格，数量指购买的件数、个数、份数，总价指购买所有商品的总花费。 4. 常见题型：单一商品购物问题、多件商品总价计算、已知总价求单价/数量、对比优惠价格等基础生活应用题。 5. 解题关键：找准三个对应量，区分题目已知条件，灵活套用公式，单位统一后再计算。 知识点3：基础行程问题（乘法核心模型） 1. 核心概念：基础行程问题围绕路程、速度、时间三个量展开，是小学最基础的运动类应用题，三者知二求一。 2. 通用核心公式：路程 = 速度 × 时间；速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 3. 概念解读：速度是单位时间行走的路程（每小时、每分钟、每秒走的距离）；时间是行走的时长；路程是一共走的总距离。 4. 常用单位搭配：速度（千米/时、米/分、米/秒），时间（时、分、秒），路程（千米、米），计算时必须保证单位对应统一。 5. 基础题型：单人单向行走、行驶问题，已知速度时间求路程，已知路程速度求时间，已知路程时间求速度。 知识点4：加法模型与乘法模型区别（必考辨析） 1. 加法模型：用于不同分量合并，多个不相同或分段的数量求和，核心是“合并求总量、拆分求分量”。 2. 乘法模型：用于相同数量重复累加，是相同加数加法的简便运算，核心是“归一、倍比”，对应购物、行程问题。 3. 解题技巧：多个不同部分求和用加法；每份数量相同、有固定单价和速度的问题，优先用乘法模型。 知识点5：单元高频易错汇总 1. 数量关系混淆：分不清加法分量总量关系和乘法归一关系，乱套公式。 2. 公式记反：经济、行程问题中，求单价、求速度时误用乘法，正确应为除法。 3. 单位不统一：行程问题中时间、路程、速度单位不匹配，导致计算结果错误。 4. 审题失误：未看清“一共、剩余、平均、每小时、每个”等关键词，选错解题模型。 典例精讲+跟踪训练 【例题讲解】 小明上学需要走12分钟，已经走了5分钟，还需要走几分钟？（写出关系式并计算） 【答案】 上学需要的总时间已经走的时间还需要走的时间 7分钟 【分析】已知上学的总时长和已经走的时长，求剩余时长，用总时长减去已走时长即可求解。 【详解】关系式：上学需要的总时间已经走的时间还需要走的时间 （分钟） 答：还需要走7分钟。 【跟踪训练】 鼓楼小学开展了以“节约用水，关住点滴”为主题的绘画比赛。四年级上交的绘画作品有124幅，比三年级上交的绘画作品多36幅。三年级上交的绘画作品有多少幅？ 【答案】88幅 【分析】根据题意，已知四年级上交绘画作品124幅，且四年级比三年级多36幅。求三年级上交的数量，就是求比124少36的数是多少，根据减法的意义，用减法计算。 【详解】（幅） 答：三年级上交的绘画作品有88幅。 【例题讲解】 李阿姨买3千克橙子花了24元，照这样计算，买15千克橙子需要多少元？ 【答案】120元 【分析】根据单价＝总价÷数量，先求出橙子的单价，再乘购买的质量得到总花费。 【详解】24÷3×15 ＝8×15 ＝120（元） 答：买15千克橙子需要120元。 【跟踪训练】 超市促销：笔记本每本6元，买4本送1本。王老师带了60元，最多能买多少本？ 【答案】12本 【分析】总价＝单价×数量，数量＝总价÷单价； 先求出原来60元能买多少本，再看能买的本数中有多少个4本，就送多少本，用购买本数加上送的本数就是最多能买的本数。 【详解】60÷6＝10（本） 10÷4＝2（组）……2（本） 10＋2＝12（本） 答：最多能买12本。 【例题讲解】 一列火车长500米，以每分钟900米的速度通过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了3分钟。这条隧道长多少米？ 【答案】2200米 【分析】火车从车头进入隧道到车尾离开隧道，行驶的总路程等于隧道长度与火车自身长度的和。用速度乘行驶时间得到总路程，再减去火车长度，就能求出隧道的长度。 【详解】 （米） 答；这条隧道长2200米。 【跟踪训练】 为践行“绿色出行”，李老师每天骑单车上下班。放学后他从学校出发回家，他每分钟骑单车行235米，以这样的速度骑了23分钟后距家还有210米。从学校到李老师家共有多少米？ 【答案】5615米 【分析】根据题意，从学校到李老师家的总路程由两部分组成：已经骑行的路程和距家剩下的路程。已知骑行的速度是每分钟235米，时间是23分钟，根据数量关系“路程＝速度×时间”可以求出已经骑行的路程，再加上剩下的210米，即可求出总路程。 【详解】235×23＋210 ＝5405＋210 ＝5615（米） 答：从学校到李老师家共有5615米。 举一反三提升练习 一、填空题 1．某校为奖励阅读时长靠前的学生，准备定制印章给学生。已知“书”印章有129枚，“香”印章有321枚。该校一共定制了多少枚印章？这个问题中总量是( )，分量分别是( )和( )。 【答案】 “书”印章和“香”印章的总数量 “书”印章的数量 “香”印章的数量 【分析】总量是所求的两类印章的总数量，分量是构成总量的两个独立部分，即“书”印章的数量和“香”印章的数量。 【详解】这个问题中总量是“书”印章和“香”印章的总数量，分量分别是“书”印章的数量和“香”印章的数量。 2．王强骑自行车4分钟行驶了1000米，他骑自行车的速度是( )，运用的数量关系是( )。 【答案】 250米/分 速度＝路程÷时间 【分析】王强骑自行车4分钟行驶了1000米，4分钟是他骑车的时间，1000米是他骑车的路程，直接用路程除以时间即可算出他骑车的速度；运用的数量关系是：速度＝路程÷时间。 【详解】1000÷4＝250（米/分） 他骑自行车的速度是250米/分钟，运用的数量关系是：速度＝路程÷时间。 3．彩虹超市搞促销活动，某品牌饮料原价每瓶6元，现在买二送一。妈妈买了6瓶这种饮料，实际应付( )元，相当于每瓶便宜了( )元。 【答案】 24 2 【分析】买二送一就是每买2瓶送1瓶，即3瓶为一组，只需付2瓶的钱。先算6瓶能分几组，再算实际应付多少元。用实际总价除以瓶数得到实际每瓶价格，再用原价减去实际每瓶价格就是每瓶便宜的钱数。 【详解】买二送一，即每3瓶为一组，只需付2瓶的钱。 实际付的瓶数： 2×（6÷3） ＝2×2 ＝4（瓶） 4×6＝24（元） 每瓶便宜的钱数： 6－（24÷6） ＝6－4 ＝2（元） 所以实际应付24元，相当于每瓶便宜了2元。 4．《安徒生童话》共580页，小华周末看了236页，还剩( )页没看完。在这个问题中( )是总量，( )和( )是分量，解决这个问题用到的数量关系式是( )。 【答案】 344 总页数 看了的页数 剩下的页数 总量分量＝另一分量 【分析】已知总量和其中一个分量，求另一个分量，用减法计算。在数量关系中，全书的总页数是总量，看了的页数和剩下的页数是分量。解题时先计算剩余页数，再根据题意分析各数量的角色及它们之间的关系式。 【详解】（页） 因此，还剩344页没看完。 在这个问题中，全书的“总页数”是总量。“看了的页数”和“剩下的页数”是总量分成的两个部分，即分量。求剩下的页数，是用总量减去其中一个分量，得到另一个分量。所以用到的数量关系式是：总量分量＝另一分量。 5．甲、乙两人从相距1200米的A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟80米，乙的速度是每分钟70米，相遇后两人继续前行至对方起点后立即返回，第二次相遇时，甲一共走了( )分钟，两人第二次相遇点距离A地( )米。 【答案】 24 480 【分析】两人从两地出发相向而行，第一次相遇共走1个全程，之后每多相遇一次多走2个全程，所以第二次相遇时两人一共走了3个全程；用总路程除以速度和得到第二次相遇时两人行走的总时间； 用甲的速度乘行走总时间得到甲走的总路程，用2个全程减去甲走的总路程即可求出第二次相遇点距离A地的距离。 【详解】（米） （米） （分钟） （米） ＝ ＝（米） 第二次相遇时，甲一共走了24分钟，两人第二次相遇点距离A地480米。 二、选择题 6．一根铁丝长500米，第一次用去168米，第二次用去147米，现在这根铁丝比原来短了多少米？下面列式正确的是（    ）。 A．500－168－147 B．500－168＋147 C．500－（168－147） D．168＋147 【答案】D 【分析】铁丝比原来短的长度就是两次用去的总长度，和铁丝原来的总长度无关。 【详解】两次用去的总长度为（米），即铁丝比原来短315米，对应的列式是。 7．李老师骑自行车从家到学校，前一半路程速度为150米/分，后一半路程速度为100米/分，全程的平均速度是（    ）米/分。 A．120 B．125 C．130 D．135 【答案】A 【分析】平均速度是总路程除以总时间，不能直接求两个速度的平均数。可以先假设一半路程的长度，再分别计算两段路程的用时，最后用总路程除以总时间得到平均速度。 【详解】假设从家到学校一半的路程是300米。 总路程：（米） 前一半路程用时：（分） 后一半路程用时：（分） 总用时：（分） 平均速度：（米/分） 8．开心书店开展“满200减50”促销活动，小明购买了3本单价65元的故事书和1本单价80元的字典，实际需要支付（    ）元。 A．275 B．245 C．225 D．205 【答案】C 【分析】先根据：单价×数量＝总价，计算购买所有商品的总原价，再根据“满200减50”的规则减去优惠金额，即可得到实际支付的钱数。 【详解】65×3＋80 ＝195＋80 ＝275（元） 275元满了一个200元，可以减一个50元。 275－50＝225（元） 实际需要支付225元。 9．佳佳超市开展促销活动，原来4元一袋的涪陵榨菜，现在买四送一，黄阿姨买10袋涪陵榨菜，现在需要花（    ）元。 A．16 B．32 C．40 D．50 【答案】B 【分析】“买四送一”即支付4袋的费用可以获得5袋榨菜，先计算10袋对应几组这样的优惠组合，再计算总花费。 【详解】每组优惠可获得榨菜数量：（袋） 10袋包含的优惠组数：（组） 每组需要花费：（元） 总花费：（元） 现在需要花32元。 10．根据下面的信息（    ），可以求出售货员需要找给赵老师多少元。 ①每盒钢笔12支。 ②赵老师买了6盒钢笔。 ③每盒钢笔98元。 ④付给售货员600元。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 【答案】C 【分析】求找回的钱，需要知道付给售货员的钱数，以及买钢笔的总花费。买钢笔的总花费＝每盒钢笔的单价×购买的盒数，不需要用到每盒钢笔的支数。 【详解】买钢笔总花费：98×6＝588（元） 找回的钱数：600－588＝12（元） 根据条件②③④即可求出售货员需要找给赵老师的钱数。 三、解答题 11．北京到石家庄市正定古城的距离大约是293千米，张叔叔一家周末开车从北京出发，到石家庄正定古城游玩，汽车行驶的平均速度大约是96千米/时，如果张叔叔一家上午7时从北京出发，上午10时能到达石家庄市正定古城吗？ 【答案】 不能 【分析】先算出上午时到上午时的行驶时长，再用速度乘行驶时间得到可行驶的路程，与总路程比较后判断能否到达。 【详解】（小时） （千米） 答：上午时不能到达石家庄市正定古城。 12．社区准备了680本用于推广垃圾分类知识的环保宣传册，第一天分发了147本，第二天分发的本数比第一天多28本。还剩下多少本环保宣传册？ 【答案】 358本 【分析】先求出第二天分发的宣传册本数，再用总本数减去两天分发的总本数，即可得到剩余数量。 【详解】147＋28＝175（本） 680－147－175 ＝533－175 ＝358（本） 答：还剩下358本环保宣传册。 13．新学期开始了，小华想为困难同学买学习用品，小华想买两个书包，每个书包52元，小华带了100元，还差多少钱？ 【答案】 4元 【分析】先用52加上52，求两个书包的总价钱，再用总价钱减去小华带的钱数，得到还差的钱数。 【详解】（元） （元） 答：还差4元。 14．为落实学生体质强健计划，某校计划购买篮球和排球各45个，已知每个篮球80元，每个排球60元。请你算一算一共需要多少元钱？ 【答案】6300元 【分析】两种球购买数量相同，可分别计算总价再相加，用单价×数量即可计算出单个物品的总价。 【详解】（元） （元） （元） 答：一共需要6300元。 15．甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的少60千米。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】 90千米 【分析】已知总路程和剩下路程与已行路程的差，用总路程加差得到已行路程的倍，先求出已行路程，再除以行驶时间即可算出平均速度。 【详解】 ＝ 540÷2÷3 ＝270÷3 ＝ 90（千米/小时） 答：这辆汽车平均每小时行驶千米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $