精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

北师大生态城附校2023-2024第二学期数学第一次月考试题 一、单选题（每题共5分，共60分） 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 4. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. （ ） A. 960 B. 480 C. 160 D. 80 6. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 8. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ） A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 9. 函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 12. 若函数在点处的切线的斜率为2，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 若函数，则___________. 14. 设函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 15. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则这样的五位数的不同情况种数为_____种.（用数字作答） 16. ______． 17. 函数的极小值是___． 18. 如图，要给地图上、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 19. 已知函数在处有极大值，则______. 20. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______. 三、解答题（21-22为12分，23-24为13分，共50分） 21. 已知函数. （1）求的单调区间与极值； （2）求在区间上的最大值与最小值. 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，. 23. 已知，函数，. （1）若函数的减区间是，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若方程在上恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 24. 已知函数 （），. （1）求函数的极值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大生态城附校2023-2024第二学期数学第一次月考试题 一、单选题（每题共5分，共60分） 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】因为，则或， 解得或，检验可知均符合题意. 故选：D. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 3. 某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 【答案】C 【解析】 【分析】用分步乘法原理计算. 【详解】每人有4种不同的购买选择，总的购买选择有种. 故选：C． 4. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 5. （ ） A. 960 B. 480 C. 160 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算得到答案. 【详解】. 故选：B 6. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上递增. 所以不是的极值点，是的极大值点. 所以ACD选项错误，B选项正确. 故选：B 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由确定增区间． 【详解】，的定义域为， 由，得， ∴的单调递增区间为． 故选：B． 8. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ） A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可. 【详解】能被2整除的三位数是偶数， 当个位数是0时，有种情形； 当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有种情形， 因此，能被2整除的三位数的个数是种. 故选：B 【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题. 9. 函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的单调性和极值，据此得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围． 【详解】由题意可得：， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值， 结合题意可得：，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B． 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题． 10. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，知在上恒成立，分离参数，求最值得答案． 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以， 故选：B． 11. 某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用排列组合，先选人，再选时间，最后求出乘积即可. 【详解】分步完成， 先从5名学生中选出2人，共有种， 再讲这2人安排到星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动共有种， 所以一共有种， 故选：B. 12. 若函数在点处的切线的斜率为2，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得到，则即为，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由已知得，所以， 而，当且仅当时取等号， 故， 当且仅当时，结合，即时等号成立， 即的最小值为1， 故选：D 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 若函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】对求导后代入即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14. 设函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，求出，结合，从而由点斜式求出切线方程. 【详解】，故， 又，故曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 15. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则这样的五位数的不同情况种数为_____种.（用数字作答） 【答案】7200 【解析】 【分析】利用组合数公式，先从1，3，5，7，9五个数字选出3个数字，以及从2，4，6，8中任取2个数字，最后利用排列数公式求出选出的五个数字得到的不同的五位数的个数，最后利用乘法原理得到总的情况. 【详解】从1，3，5，7，9中任取3个数字，有种方法； 从2，4，6，8中任取2个数字，有种方法， 选出的5个数字共得到没有重复数字的五位数的个数为个. 故共有不同情况数为10×6×120＝7200（种）. 故答案为：7200. 【点睛】本题考查计数原理、以及排列数、组合数公式.同时考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养,属于基础题. 16. ______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用排列组合公式即可 【详解】 可得： 故答案为： 17. 函数的极小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】 求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论． 【详解】函数的f（x）的导数f′（x）＝＝，令＝0， 解得x＝1， 由x＞1可得f′（x）＞0，函数单调递增， 由x＜1，可得f′（x）＜0，函数单调递减， 故当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝ ， 故答案为： 18. 如图，要给地图上、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 【答案】48 【解析】 【分析】方法一：按照的顺序分步涂色，利用分步乘法计数原理可得结果； 方法二：按所用颜色的多少分类涂色，第一类：用三种颜色，第二类：用四种颜色，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】方法一：按的顺序分步涂色． 第1步，涂区域，有种不同的涂法； 第2步，涂区域，从剩下的种颜色中任选种颜色，有种不同的涂法； 第3步，涂区域，再从剩下的种不同颜色中任选种颜色，有种不同的涂法； 第4步，涂区域，从与、区域不同的种不同颜色中任选种，有种不同的涂法． 根据分步乘法计数原理，共有种不同的涂法； 方法二：按所用颜色的多少分类涂色． 第1类：用三种颜色，则、区域所涂颜色相同，有种不同的涂法； 第2类：用四种颜色，有种不同的涂法． 根据分类加法计数原理，共有种不同的涂法． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 19. 已知函数在处有极大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可． 【详解】由已知， 可得， 令，解得或， 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 不是极大值点，舍去； 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点． 综上． 故答案为：． 20. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据题意转化为函数与的图象有两个不同的交点，结合函数的图象，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 即函数与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示， 可得当时，， 由图象可知，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（21-22为12分，23-24为13分，共50分） 21. 已知函数. （1）求的单调区间与极值； （2）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） 单调递增区间为和，单调递减区间为. 极大值为，极小值为. （2）最大值为54，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调性，并求出极值即可； （2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值. 【小问1详解】 由题设，令，得或， 当时，即，解得或，单调递增区间为和. 当时，即，解得，单调递减区间为. 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由，，，则 且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为. 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，. 【答案】（1） （2）证明： 因为函数的定义域为， 且，当时， 所以在时为增函数，所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求出切线方程； （2）利用导数求出函数在上的单调性，根据单调性求其最小值即可证明. 【小问1详解】 依题意切点为，又，所以， 所以切线方程为，即， 故函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 23. 已知，函数，. （1）若函数的减区间是，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若方程在上恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上恒为增函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令导函数为零，解出两个根即可求出的值； （2）含参数的单调性讨论问题，求导后，分，，讨论导数的正负，得到的单调性即可； （3）问题等价于函数与函数图像在上有两个交点，对求导后判断单调性和取值，画出函数图像，数形结合求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 因为函数的减区间是， 所以和4为导函数等于零的两个根， 所以. 【小问2详解】 因为， 当时，恒成立，此时在上恒为增函数， 当时，令，解得或， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 综上所述， 当时，在上恒为增函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 【小问3详解】 原问题等价于函数与函数图像在上有两个交点. ， 令， 所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数， 作出函数图像如下： 因为，，， 因为， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： （1）第二问含参单调性讨论问题可先求导后讨论导数为零的根的大小，再分析单调性即可； （2）本题第三问关键是把问题转化为函数与函数图像在上有两个交点，然后数形结合分析即可. 24. 已知函数 （），. （1）求函数的极值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：时，. 【答案】（1） ， 当，恒成立，无极值； 当时，令，解得， 所以在单调递减；在上单调递增； 所以极小值为； 因为恒成立，所以在上单调递增， 所以无极值. （2） （3） 构造函数，， ， 令， 则， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在单调递增， ，即， 构造函数，， ， 所以在上为单调递增， 所以，即， 所以， 即时，，证毕. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数讨论极值点，再求极值即可； （2）构造，注意到，二次求导后结合函数单调性对分类讨论，求出符合，不符合，即可得到答案； （3）构造函数，二次构造，求导后得到的单调性可得；再次构造函数，求导后分析单调性可得，再将两不等式相乘即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 设，注意到， ，令， 则在为增函数，且， 所以恒成立，即单调递增， 其中， 若，则恒成立，此时单调递增，又， 所以恒成立， 即在上恒成立，即结论成立； 若，则， 又， 故由零点存在性定理可知，在内存在，使得， 当时，，所以单调递减，又， 所以当时，，即，不合题意，舍去； 综上：实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： （1）用导数分析函数的极值点，先分析单调性，再判断极值点； （2）函数不等式恒成立求参数问题，可构造函数后求导，分析单调性，找到最值，当一次求导不能得到结果时可再次构造函数分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $