精品解析：天津市静海区第六中学2025-2026学年第二学期第二次质量监测高二年级数学试卷

静海六中2025—2026学年度第二学期第二次质量监测 高二年级数学试卷 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 4. 根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ） A. 在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B. 若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C. 若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D. 吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立性检验的意义逐项判断即得. 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 5. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质、赋值法求各项系数和、通项公式，从而判断各项描述是否正确. 【详解】选项A：在的展开式中，二项式系数之和为，A错误； 选项B：令，得各项系数之和为，B正确； 选项C：二项展开式的通项公式：，其中， 为偶数，二项式系数最大的是中间项即第4项（对应）， 代入通项得该项为，C错误； 选项D：令，得，得常数项为，D错误. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好 B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C. 已知随机变量，则 D. 已知随机变量，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，回归分析中，决定系数，越小，说明残差平方和越大，模型拟合效果越差，故A错误； 对于B，线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强.若为负数，越大（越接近0）反而线性相关性越弱，故B错误； 对于C，由随机变量得，，故C正确； 对于D，因，则，又因， 则，故D错误. 7. 某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 8. 某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种组合， 当5个数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0， 若为三个1和两个0，则共有种组合， 若为一个2，一个1，三个0，则共有种组合， 即数字之和为3时共有种组合， 因此抽奖码是3的概率为. 9. 设函数与是定义在同一区间上的两个函敉，若对任意的，都有，则称与在上是“k度和谐函数”，称为“k度密切区间”．设函数与在上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，从而得出结论． 【详解】由题意在时恒成立，即在时恒成立， 设，则， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，又，，所以， 因此由在时恒成立得： 且，所以． 故选：B． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题的处理方法，解决函数不等式恒成立的常用方法是分离参数法，即不等式变形把参数与自变量分离，然后构造新函数，利用导数求得函数的最值，然后解相应不等式得参数范围． 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 二项式的展开式中的系数为_____． 【答案】80 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式确定的系数. 【详解】解：由二项式的展开式的通项公式得： 令，解得， 即二项式的展开式中的系数为：， 故答案为 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题 11. 已知，则函数的最小值为_______________． 【答案】11 【解析】 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 12. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题意可知，三次配送结果相互独立，每次准时送达的概率均为， 因此准时送达的次数， ； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“该骑手恰好准时送达两次”， 显然，故， ， ， 所以. 13. 现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【解析】 【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可. 【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 14. 学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设事件为“该同学选择抒情歌演唱”，事件为“该同学选择流行歌演唱”，事件为“该同学选择摇滚歌演唱”，事件为“该同学晋级下一轮”． 由题意可得：，，，，，． 根据全概率公式可得：， 即， 则他能晋级的概率为． 根据贝叶斯公式可得：， 则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为． 15. 已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为有解，令，，设，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，得，显然， 所以在有解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的取值范围为. 三、解答题（每题15分，共75分） 16. 设函数。 （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 . （2）最大值为 ，最小值为 . 【解析】 【分析】（1）求导，通过判断导数的符号来求单调区间； （2）由（1）可判断在区间上的单调性，再由单调性求最值. 【小问1详解】 对函数求导可得，， 令，得；令，得或， 所以，函数单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 . 【小问2详解】 由（1）得 在区间，上单调递减，上单调递增， 如下表所示 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以，， 又， 故在区间上最大值为 ，最小值为 . 17. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广.某市教育局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表. 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 喜欢 不喜欢 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （2）现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术教师的条件下，求此人年龄不超过45岁的概率. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）能 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定列联表中的、、、对应数值，代入给定的公式计算统计量，再将结果与对应的临界值比较，根据比较结果作出判断； （2）先确定喜欢使用AI技术的总人数以及其中年龄不超过45岁的人数，再利用条件概率公式计算. 【小问1详解】 零假设：该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄无关， 计算， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关. 【小问2详解】 设事件A为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用AI技术的教师， 事件B为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄不超过45岁， 由题意，，，则. 18. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）写出的所有可能取值后计算相应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得期望. 【小问1详解】 前3局甲都获胜的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为. 其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则； 表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输， 则； 表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则； 表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则； 所以的分布列为： 0 1 2 3 故的数学期望为. 19. 已知函数， （1）求函数的极值； （2）若，讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据求极值的方法求解； （2）对求导，讨论的取值范围，确定函数的单调性. 【小问1详解】 函数的定义域为. ，令，解得. 当变化时，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为. . ①当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减. ②当时，令，得或 若，即时，恒成立，所以在上单调递增； 若，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 若，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减. 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证：； （3）证明：函数存在唯一极大值点，且． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算切点坐标，对函数求导，将代入导数，再利用点斜式求解即可； （2）先将不等式等价转化为，设函数，求导判断单调性，利用零点存在性定理推出存在唯一的，使得，推出，分别证明和，即可放缩后证得即得证； （3）对求导，分析导函数 的单调性，得到有解，由在上单调递增，在上单调递减即可求解. 【小问1详解】 由求导得， 则 ，又， 则曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 要证，即证， 因为，则得，即 ， 令 ，则， 因在上单调递增，且 ， ， 因此存在唯一的，使得， 当时，,当时，, 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故（*）. 设 ,则 ,即函数在上单调递增， 故,则 ； 再设 ,则,当时，,当时，； 即函数在上单调递增，在上单调递减，故 , 则得 ，当且仅当时取等. 则由（*）可得, 因，故可得 ,即 , 故得证. 【小问3详解】 由题意可得，，则， 令 ，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则 ， 从而有解，即存在两根，，设， 则在上为正，在上为负，在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以，由可知， 由 可知，， 在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上，函数存在唯一极大值点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海六中2025—2026学年度第二学期第二次质量监测 高二年级数学试卷 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ） A. 在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B. 若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C. 若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D. 吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 5. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 6. 下列说法正确的是（ ） A. 回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好 B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C. 已知随机变量，则 D. 已知随机变量，则 7. 某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 288 8. 某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数与是定义在同一区间上的两个函敉，若对任意的，都有，则称与在上是“k度和谐函数”，称为“k度密切区间”．设函数与在上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 二项式的展开式中的系数为_____． 11. 已知，则函数的最小值为_______________． 12. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 13. 现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 14. 学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 15. 已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 三、解答题（每题15分，共75分） 16. 设函数。 （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值与最小值． 17. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广.某市教育局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表. 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 喜欢 不喜欢 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （2）现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术教师的条件下，求此人年龄不超过45岁的概率. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数， （1）求函数的极值； （2）若，讨论函数的单调性． 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证：； （3）证明：函数存在唯一极大值点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $