精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高二下学期第一次统练（3月）数学试题

塘沽一中2024—-2025学年度第二学期 高二年级第一次统练数学学科试题 一、选择题 1. 一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义求解即可； 【详解】; 故选：D 2. 已知函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义可得结果. 【详解】因为函数在处可导，则 . 故选：D. 3. 下列求导运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导公式及导数运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 4. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 5. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由题意， ，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 当时，可得， 当 所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点， 结合图象可得实数的取值范围. 故选：B. 6. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A 24 B. 48 C. 144 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】由捆绑法结合插空法求解； 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为． 故选：C 7. 设，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，得，判断函数在的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出，， 的大小关系． 【详解】解：设，则， 当时，，故在为减函数， ，，则，故； 又，，即，故， ． 故选：B． 8. 某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 9. 函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性即可得出结果. 【详解】当时，， 函数的定义域为，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 故选：D. 10. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知在上有解，整理可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得， 所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是. 故选：C． 11. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 12. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为的极值点可求得；分别在，和三种情况下，判断是否为最小值，确定的范围，进而得到结论. 【详解】由题意知：， 的最小值为，是的一个极值点， ，解得：，； 若，当时，，不符合题意． 若，则，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，是的最小值，满足题意； 若，令，解得：或； 当或时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 又，当时，； 是的最小值，满足题意； 综上所述：， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够明确最值点即为其极值点，即导函数的零点；通过对含参数的函数单调性的讨论确定符合题意的参数的范围，从而得到结论. 13. 已知函数，且是的一个极值点，下列说法中正确的个数是（ ） ①实数的值为或 ②在上单调递增 ③若是的一个极小值点，则当时， ④若是的一个极大值点，则当时， A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是的一个极值点，得，求出实数的值并分析其单调性，并根据单调性判断即可求解. 【详解】函数的定义域为，， 令，得，， （1） 当时，， 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时是的一个极大值点． （2）当时，解得，则， 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时是一个极小值点． 故命题①正确，命题②错误； 若是的一个极小值点，则，在上单调递增， 因为，则，所以，故命题③正确； 若是的一个极大值点，则，在上单调递增， 因为，所以，，且等价于， 即当时，，所以，故命题④正确． 故选：C. 14. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，由，，进而利用单调性可得，进而可得. 【详解】由题意，可知： ①当时，，故为的1个零点． ②当时，由题意，可得， 即与有4个交点， 当时，， 设，，则，令得， 则函数在单调递增，在上单调递减，又， 如图 则必有，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：由，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，根据分段函数的特点，分别考虑和与的交点个数，考虑到两个函数的单调性和最值，进而可得. 二、填空题 15. 已知函数，则__________. 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】由，代入即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 故答案为： 16. 在的展开式中，所有项的系数之和为______，含的项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含的项的系数. 【详解】在的展开式中，所有项的系数之和为， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：；. 17. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 18. 已知，若，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据条件求出，然后由赋值法即可求解. 【详解】由题意，所以，即， 令，则，令，则， 所以. 故答案为：0. 19. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 20. 现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有______种摆法． 【答案】260 【解析】 【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数. 【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2，3区域有4种摆法， 第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法； 第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2区域，有4种摆法， 第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法， 共计有5×4×3×3=180种摆法． 故共有80+180=260种摆法． 故答案为：260. 21. 已知函数，的零点为__________，若存在实数使有三个不同的解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果. 【详解】令，可得，由可得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，即， 又，且时，，当时，， 令，其图象为过原点的一条直线，将的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示： 当时，如下图，在上的零点为0， 当时，如下图，在上的零点为0 当时，如下图，在上的零点为0， 综上可知，的零点为0； 当时，如下图所示，曲线与直线至多有两个交点， 当时，如下图所示，曲线与直线至多有三个交点， 当时，如下图所示，曲线与直线至多有两个交点； 综上可知，若使有三个不同的解，则实数的取值范围为. 故答案为：0； 22. 已知函数对任意实数均有，若不等式 （其中）的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设中导数与原函数的关系可求得，利用导数讨论其符号后可得其单调性，再结合零点的存在性定理的应用即可求参数的取值范围. 【详解】设，由，得， 故，即，即， 而，即故，故， 所以， 故， 当时，，当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 而当时，，时，， 令，则， 若，则当时，恒成立，不符题意； 而，则，由， ，则， 由，， 若，即时，， 若不等式 (其中)的解集中恰有两个整数， 则，即，解得， 又，故，符合要求； 若，即时，，， 则 由在上单调递减，在上单调递增， 故当时，不等式无解，故舍去， 综上所述：实数的取值范围时. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出、，从而根据是否在不等式的解集中来分类讨论得解. 三、解答题 23. 设函数. （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）在处的切线方程 （2）的单调递增区间为，单调递减区间为，； 的极小值为，极大值为； （3）， 【解析】 【分析】（1）求导，求得及，利用直线的点斜式方程，即可求得切线方程； （2）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间及极值； （3）由（2）可得在上的单调性，由单调性可求得最值． 【小问1详解】 由题意可知，，则， 又， 则在处的切线方程为：，即， 所以在处的切线方程； 【小问2详解】 令，解得：或， 则，，变化如表， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，； 的极小值为，极大值为； 【小问3详解】 （3）由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 又，，，， 所以，． 24. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析； （3）2. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出最小值即可证得不等式. （2）求出导数，再分类讨论求出单调区间. （3）等价转化不等式，构造函数并用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 不等式， 依题意，，恒成立，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 25. 已知函数.若有，（）两个极值点 （1）求实数a的取值范围； （2）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数得，再设新函数，研究其图象即可； （2）等价转化得，再设新函数，研究其单调性即可； 【小问1详解】 求导可得：， 因为有，（）两个极值点， 所以有两个变号零点， 即方程在有两根， 即在有两根， 构造函数， ，易知时，，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 又， 所以实数a的取值范围是 【小问2详解】 由， 要证，即证，即，即证， 只需证 ， 即证，由于， 即证， 令，，则， 令，， 当时，，当时，， 则， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 塘沽一中2024—-2025学年度第二学期 高二年级第一次统练数学学科试题 一、选择题 1. 一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（ ） A －2 B. －1 C. 0 D. 2 2. 已知函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算中错误的是（ ） A B. C. D. 4. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 144 D. 240 7. 设，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 9. 函数图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数，且是的一个极值点，下列说法中正确的个数是（ ） ①实数的值为或 ②在上单调递增 ③若是的一个极小值点，则当时， ④若是的一个极大值点，则当时， A. B. C. D. 14. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 15. 已知函数，则__________. 16. 在的展开式中，所有项的系数之和为______，含的项的系数是______.（用数字作答） 17. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是_____________. 18. 已知，若，则___________． 19. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 20. 现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有______种摆法． 21. 已知函数，的零点为__________，若存在实数使有三个不同的解，则实数的取值范围为__________. 22. 已知函数对任意实数均有，若不等式 （其中）的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____. 三、解答题 23. 设函数. （1）求在处切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求在区间上的最大值与最小值. 24. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 25. 已知函数.若有，（）两个极值点 （1）求实数a的取值范围； （2）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$