第一章 空间向量与立体几何（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义以空间向量与立体几何十二大基础题型为框架，系统梳理知识脉络，从空间向量概念、线性运算到数量积、坐标表示，再到法向量及平行垂直证明、异面直线所成角，通过题型递进呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，如题型9求平面法向量、题型12向量法求异面直线所成角，融合数学思维（推理能力）与数学语言（向量表达），基础题巩固概念，综合题提升应用能力。助力学生自主复习时循序渐进，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

第一章 空间向量与立体几何全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 3．（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 4．（25-26高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为___________． 5．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 题型2 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则___________．（用，，表示）    5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型3 空间向量数量积的计算 1．（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 2．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形， ，则___________． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 题型4 空间向量基底概念及辨析 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数__________． 5．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量． 题型5 用空间基底表示向量 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）在空间四边形中，，点在上，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的四等分点．若向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）如图，是三棱锥的棱的中点，是的中点，点在线段上，且，设，，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二·上海·随堂练习）在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数___________. 5．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 题型6 空间向量运算的坐标表示 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，且，则点的坐标为___________． 5．（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 题型7 空间向量数量积运算的坐标表示 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 2．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 3．（2026·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北唐山·期中）若向量，，则__________. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 题型8 根据空间向量的坐标运算求参数 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知，，且，则实数x的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知，若四点共面，则实数____________． 5．（25-26高二上·四川凉山·期中）已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型9 求平面的法向量 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·二轮复习）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 题型10 利用空间向量证明线、面间的平行关系 1．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为____________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 5．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型11 利用空间向量证明线、面间的垂直关系 1．（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为____________． 4．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 题型12 向量法求异面直线所成的角 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西商洛·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）在正四棱柱中，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为__________. 5．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，若F是的中点， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解题思路】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【解答过程】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【解题思路】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【解答过程】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 4．（25-26高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为___________． 【答案】①② 【解题思路】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【解答过程】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 5．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【解答过程】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 题型2 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【解答过程】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，结果不一定为零向量，故C符合题意； 对于D，，故D不符合题意. 故选：C. 2．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【解答过程】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 3．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【解答过程】 . 故选：D. 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则___________．（用，，表示）    【答案】 【解题思路】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【解答过程】是的重心， ， . 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【解题思路】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【解答过程】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    题型3 空间向量数量积的计算 1．（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【解题思路】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【解答过程】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【解答过程】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【解答过程】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形， ，则___________． 【答案】2 【解题思路】利用空间向量的基底运算，即可求解. 【解答过程】设． ， ， ， . 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 题型4 空间向量基底概念及辨析 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量基本定理逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，则向量与共面，A不是； 对于B，，则向量与共面，B不是； 对于C，，则向量与共面，C不是； 对于D，若与共面，则存在实数，使得 ， 而不共面，于是，无解， 向量与不共面，可以构成空间一组基底，D是. 故选：D. 2．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【解答过程】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B. 3．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【解答过程】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）利用空间向量基底的定义，借助反证法推理得证. （2）利用空间向量基本定理列式求解. 【解答过程】（1）由是空间的一个基底，得不共面， 假设向量共面，则必存在唯一的实数对，使得， 即，则共面，与不共面矛盾，因此不共面， 所以是空间的另一个基底. （2）用基底表示向量，则， 又，因此，解得， 所以. 题型5 用空间基底表示向量 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）在空间四边形中，，点在上，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的基本定理及向量的加法表示出即可求解． 【解答过程】由， 得， 所以， 故选：B． 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的四等分点．若向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的基底，结合向量的线性运算求解. 【解答过程】依题意，， 因此. 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）如图，是三棱锥的棱的中点，是的中点，点在线段上，且，设，，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基本定理，以为基底，结合空间向量的加法与减法法则将用表示即可． 【解答过程】由，可得，又， 所以，故，，则. 故选：C． 4．（25-26高二·上海·随堂练习）在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数___________. 【答案】2 【解题思路】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【解答过程】因为 ， 又， 所以，，，所以.    故答案为：2. 5．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 【答案】(1) (2) 【解题思路】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）因为，所以， 因为，所以， 则. 题型6 空间向量运算的坐标表示 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由题意知，. 故选：C. 2．（25-26高二上·河南·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解. 【解答过程】， ， . 故选：B. 3．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，根据题意得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【解答过程】设点，因为四边形为平行四边形，故， 即，即，解得，即点. 故选：A. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，且，则点的坐标为___________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可. 【解答过程】因为，，设， 所以，， 因为，所以， 解得，得到. 故答案为：. 5．（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）. （3）. 题型7 空间向量数量积运算的坐标表示 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选： 2．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解题思路】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】因为，，， 所以，则. 故选：B. 3．（2026·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【解答过程】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C. 4．（25-26高二上·河北唐山·期中）若向量，，则__________. 【答案】46 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【解答过程】由，， 则，， 所以. 故答案为：46. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【解答过程】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 题型8 根据空间向量的坐标运算求参数 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据，，共面，所以存在，使得，列出方程组，可求的值. 【解答过程】因为，，共面，所以存在，使得， 所以 . 故选：C. 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知，，且，则实数x的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的数量积坐标运算即可. 【解答过程】由，，且， 则， 故选：C. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A. 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知，若四点共面，则实数____________． 【答案】 【解题思路】根据向量共面的性质得出向量间的线性关系，再根据向量坐标列方程组求解． 【解答过程】四点共面， 向量可由线性表示，即存在实数，使得， ，解得， ． 故答案为：． 5．（25-26高二上·四川凉山·期中）已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2； (2). 【解题思路】（1）由空间向量的坐标运算法则，列出关于的方程，从而求得的值； （2）根据向量垂直的坐标表示，求得的值. 【解答过程】（1）由， 得， 可得. （2）因为，所以. 即，解得. 题型9 求平面的法向量 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【解答过程】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A. 3．（25-26高三·全国·二轮复习）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【解答过程】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A. 4．（25-26高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】求出，由，求解即可． 【解答过程】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为：. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据平面的法向量的定义进行求解即可； （2）根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，分别进行求解即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 题型10 利用空间向量证明线、面间的平行关系 1．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【解答过程】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为____________. 【答案】 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解答过程】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 5．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【解题思路】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【解答过程】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 题型11 利用空间向量证明线、面间的垂直关系 1．（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 2．（25-26高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【解答过程】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则 . 故选：B. 3．（25-26高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为____________． 【答案】 【解题思路】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【解答过程】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 4．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【解答过程】（1） 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由，即可证明. 【解答过程】(1)取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 题型12 向量法求异面直线所成的角 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【解答过程】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则. 那么， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西商洛·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求，，利用空间向量求异面直线夹角的余弦值. 【解答过程】由题意可知：，平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）在正四棱柱中，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【解答过程】    如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则， 则，设， 则，因为， 所以，解得， 所以，则， 因此， 即直线与直线所成角的余弦值为， 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，若F是的中点， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，然后结合向量的夹角公式以及空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，、、、，，， 设异面直线与所成角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）设平面的法向量为，， 则，取，可得， 因为， 则点到平面的距离为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $