第32讲　平面向量基本定理及坐标表示专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理与坐标表示，以坐标运算、基底分解、几何应用为核心，通过分层题型系统提炼坐标法、方程思想及共线条件应用，构建“概念-运算-应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标运算|3题（1,6,8）|坐标公式直接应用、轨迹方程消参法|向量坐标与点坐标转化，体现数学抽象与运算能力| |共线与基底|6题（2,5,7,12,13,16）|共线充要条件、基底线性表示方程思想|基本定理与坐标表示衔接，培养逻辑推理与模型意识| |几何应用|8题（3,4,9,10,11,14,15,17）|重心性质、三点共线参数法、动态问题函数法|向量与三角形、四边形几何性质结合，发展几何直观与创新意识|

第32讲　平面向量基本定理及坐标表示 (时间:45分钟) 1.已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-2,2) B.(-1,0) C.(3,-1) D.(4,-1) 2.[2025·山西大同模拟] 已知向量a=(-1,x),b=(-x,2),若a与b方向相同,则x= (　 ) A.0 B.1 C. D.- 3.在△ABC中,=2,=,则= (　 ) A.- B.- C.- D.- 4.[2025·河南许昌模拟] 已知O是△ABC所在平面内一点,且2=+,若=λ+μ,则λ+μ= (　 ) A. B. C. D. 5.(多选题)已知向量a=(1,-2),若存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,则e1,e2可以是 (　 ) A.e1=(1,1),e2=(2,2) B.e1=(0,0),e2=(-2,4) C.e1=(1,1),e2=(1,2) D.e1=(-1,2),e2=(2,-4) 6.[2024·安徽淮北质检] 已知向量a=(1,2),b=(1,t),若2a+b与a+2b共线,则实数t=　　　　.  7.[2024·安徽江淮十校联考] 已知O为△ABC的重心,若=3a,=2b,则=　　　　.(用a,b表示)  8.已知A(-1,4),B(2,1),O是坐标原点,点P满足=λ+μ,且λ+μ=2,则点P的轨迹方程为 (　 ) A.x-y=1 B.x-y=2 C.x+y=3 D.x+y=6 9.[2025·哈尔滨三中月考] 在△ABC中,D为BC的中点,=λ,=+,若=+,则λ= (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是 (　 ) A.-2 B. C.1 D.-1 11.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),=m+n(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　 ) A.若∥,则m+n=0 B.若点P在直线BC上,则m+n=1 C.若++=0,则m-n=0 D.若与共线,则m+n=-1 12.如图所示,在△ABC中,M,N分别在边AB,AC上,且AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN与CM交于点E,=a,=b,则=　　　　.(用a,b表示)  13.[2024·天津河北区期中] 设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b=　　　　,+的最小值为　　　　.  14.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值; (3)如果d=(1,k)且∥d,求k的值. 15.[2024·江苏扬州调研] 如图,在△ABC中,P为线段BC上靠近点B的三等分点,O是线段AP上一点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设=λ,=μ. (1)若λ=,μ=,求的值; (2)若点O为线段AP的中点,求λ+μ的最小值. 16.(多选题)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,M为线段AD上的动点,=λ+μ,则下列结论正确的是 (　 ) A.当M为线段AD的中点时,λ+μ= B.λμ的最大值为 C.μ的取值范围为[0,1] D.λ+μ的取值范围为 17.[2025·湖南师范大学附中月考] 已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是　　　　.  参考答案 第32讲　平面向量基本定理及坐标表示 1.A　[解析] 设C(x,y),则=(x,y)-(-1,2)=(2,1),故解得所以C(1,3),又因为B(3,1),所以=(1,3)-(3,1)=(-2,2).故选A. 2.C　[解析] 向量a=(-1,x),b=(-x,2),由a与b方向相同,得两向量共线,故-2=-x2,解得x=±.当x=时,a=(-1,),b=(-,2),此时两向量方向相同;当x=-时,a=(-1,-),b=(,2),此时两向量方向相反.故x=.故选C. 3.C　[解析] 如图所示,由题意知E为AD的中点,则=(+)=-+×=-+(-)=-.故选C. 4.C　[解析] 因为2=+,所以2-2=-+-,即4=+,即=+,又=λ+μ,,不共线,所以所以λ+μ=.故选C. 5.BCD　[解析] 对于A,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(1,1)+μ(2,2),所以无解,所以不存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以A错误;对于B,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(0,0)+μ(-2,4),所以则μ=-,λ∈R,所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以B正确;对于C,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(1,1)+μ(1,2),所以解得所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以C正确;对于D,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(-1,2)+μ(2,-4),所以此方程组有无数个解,所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以D正确.故选BCD. 6.2　[解析] 由a=(1,2),b=(1,t)可得,2a+b=(3,t+4),a+2b=(3,2t+2).因为2a+b与a+2b共线,所以3(t+4)=3(2t+2),解得t=2. 7.-9a-2b　[解析] 如图,延长AO,交BC于D,∵O是△ABC的重心,∴O是△ABC各边上中线的交点,又=3a,∴=,即=a,∴=+=a,故=-a.又D为BC的中点,=2b,∴=(+),∴=2-,∴=-9a-2b. 8.D　[解析] 设P(x,y),则=(x,y),=(-1,4),=(2,1),由题意可知,(x,y)=λ(-1,4)+μ(2,1)=λ(-1,4)+(2-λ)(2,1)=(-λ,4λ)+(4-2λ,2-λ)=(4-3λ,2+3λ),所以消去λ,得点P的轨迹方程为x+y=6.故选D. 9.C　[解析] 选择{,}为平面内所有向量的一个基底.因为D为BC的中点,所以=+.又=+=(+)+=(+λ)+=[+λ(-)]+=+,所以解得λ=.故选C. 10.ABD　[解析] 由题知,=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1),假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点就能构成三角形.故选ABD. 11.AC　[解析] 由题知,=(1,2),=(1,-1),=(2,1),所以=m+n=(m+2n,2m+n).对于A,若∥,则2m+n+m+2n=0,即m+n=0,故A正确;对于B,=-=(m+2n-2,2m+n-3),若点P在直线BC上,则∥,即2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=,故B错误;对于C,=(1-m-2n,1-2m-n),=(2-m-2n,3-2m-n),=(3-m-2n,2-2m-n),若++=0,则(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即 解得所以m-n=0,故C正确;对于D,=(m+2n-1,2m+n-1),若与共线,则(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,即m+n=,故D错误.故选AC. 12.a+b　[解析] ∵M,E,C三点共线,∴设=x+(1-x)=+(1-x)(0≤x≤1).∵B,E,N三点共线,∴设=y+(1-y)=y+(1-y)(0≤y≤1),∴解得 ∴=+=a+b. 13.2　+　[解析] 由=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),可得=(-a+2,-2),=(b+2,-4),由于A,B,C三点共线,故=(-a+2,-2),=(b+2,-4)共线,所以(-a+2)×(-4)-(-2)(b+2)=0,即2a+b=2,则+=(2a+b)=≥=+,当且仅当=,即a=2-,b=2-2时取等号,故+的最小值为+. 14.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)方法一:∵a=(5,-5),mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc, ∴解得 方法二:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,又a=mb+nc,∴m=-1,n=-1. (3)∵=3c=(3,24),=-2b=(12,6),∴=-=(12,6)-(3,24) =(9,-18). ∵∥d,∴9k+18=0,解得k=-2. 15.解:(1)由点E,F,O三点共线,可设=x,则-=x(-),即=(1-x)+x, 又∵λ=,μ=,∴=(1-x)+x. ∵P为线段BC上靠近点B的三等分点,∴=+, 由点A,P,O三点共线可设=y,即+=y+y,故解得故=+=,故==. (2)由(1)可知=(1-x)+x,0<x<1,又=λ,=μ, ∴=(1-x)λ+xμ,又O为AP的中点,=+, ∴==+, 故得 ∴λ+μ=+==×(2-2x+2x)=≥=,当且仅当=, 即x=-1时,等号成立, 故λ+μ的最小值为. 16.ABC　[解析] 以B为原点,,的方向分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,设BC=2,则B(0,0),E(0,1),D(2,2).设M(t,2),则0≤t≤2,因为=λ+μ,所以(t,2)=λ(0,1)+μ(2,2)=(2μ,λ+2μ),所以2μ=t,λ+2μ=2,即λ=2-t,μ=.对于选项A,因为M为线段AD的中点,所以t=1,故λ+μ=2-=,A正确;对于选项B,λμ=(2-t)=t-t2=-(t-1)2+,0≤t≤2,所以当t=1时,λμ取得最大值,B正确;对于选项C,因为μ=,0≤t≤2,所以0≤μ≤1,即μ的取值范围为[0,1],C正确;对于选项D,λ+μ=2-,0≤t≤2,所以1≤λ+μ≤2,所以λ+μ的取值范围为[1,2],D错误.故选ABC. 17.　[解析] 以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过点O作OB的垂线,以该直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设扇形AOB的半径为1,则A,B(1,0),C(cos θ,sin θ),其中∠BOC=θ,θ∈.由=λ+μ(λ,μ∈R),得(cos θ,sin θ)=λ+μ(1,0),整理得λ+μ=cos θ,λ=sin θ,解得λ=,μ=cos θ-,则λ+μ=+cos θ-=sin θ+cos θ=sin,因为θ∈,所以θ+∈,所以sin∈,故λ+μ∈. 1 学科网（北京）股份有限公司 $