第02讲 平面向量基本定理及坐标表示（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以平面向量基本定理与坐标表示为核心，通过基础辨析、几何应用到综合创新的梯度设计，系统覆盖基底概念、坐标运算及跨情境应用，培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|7题型31题|聚焦基底判断、向量表示、参数求解及坐标运算，以三角形、平行四边形为载体|从基底概念生成到坐标化应用，构建"概念-表示-运算"逻辑链| |重难创新|15题|动态几何（扇形、梯形）、跨考点综合（基本不等式）、多解辨析（平行四边形存在性）|深化基底法与坐标法融合，训练数学思维的灵活性| |真题演练|5题|高考高频考点（模长范围、三点共线参数）|对接命题趋势，强化用数学语言表达几何关系的能力|

第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 基底的概念及辨析 2 题型02 用基底表示向量 4 题型03 利用平面向量基本定理求参数 6 题型04 平面向量线性运算的坐标表示 8 题型05 向量共线的坐标表示及应用 10 题型06 利用坐标求向量模的问题 11 题型07 平面向量线性运算的综合应用 12 重难·创新演练 15 真题·实战演练 24 模拟·基础演练 考查重点：绕基底判断、用基底表示图形向量、结合三点共线求参数、向量坐标运算、坐标判定三点共线、向量模长计算展开，以三角形、平行四边形为载体，考查平面向量基础定理与坐标运算。 题型01 基底的概念及辨析 1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基底的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基底，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基底，D选项，与共线，则不可以作为一组基底. 故选：D 2.下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线. 【详解】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 3．（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【详解】对于：由可得和不共线，所以和能作为基底，故正确； 对于：由可得和不共线，所以和能作为基底，故正确； 对于：由，可得，所以和共线，故不能作为基底，故错误；对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确. 故选：. 4．（多选）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【分析】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解. 【详解】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD 5.（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 题型02 用基底表示向量 6．在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据平面向量共线基本定理和向量的加减运算法则求解. 【详解】如下图所示， . 故选：D 7．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 故选：C. 8．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，进而可得，利用三点共线可求得，进而利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为，所以，又因为三点共线， 所以设，又，所以， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 9．（2026·山西太原·模拟检测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示. 【详解】 因为，所以为中点，即， 又因为点E为边上的中点，所以， 由， 因为，，所以， 故选：D. 10．如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可求解. 【详解】设，则， 又，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：D 题型03 利用平面向量基本定理求参数 11.如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案. 【详解】因为点是线段的中点，则，则， 因为三点共线，所以. 故选：A. 12.平行四边形中，E为中点，与交于O，记，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由题意得，所以，，． 故选：B． 13.如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答. 【详解】在中，，即，又，即， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得. 故答案为： 14．在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则 【答案】8 【详解】因为，所以，则， 所以，， 因为为的中点，故． 又因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以， 所以，，故． 故答案为：8. 题型04 平面向量线性运算的坐标表示 15.已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以，则． 故选：A 16．（2026·湖南·模拟预测）已知向量，，则（     ） A．1 B．8 C． D．2 【答案】C 【详解】，所以. 17．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知平面向量，则向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，所以，，则. 18．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知，则____________． 【答案】 【详解】设为坐标原点， 因为， 所以，， 所以. 19．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】因为，，设，所以 ， ， 而 ，所以，，解得，， 因此. 20．在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量，向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： 题型05 向量共线的坐标表示及应用 21.已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（     ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足，可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 22.已知向量，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】向量， 若，则，即，解得或， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 23．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知向量，若．则____________． 【答案】/ 【详解】因为，，所以，解得，. 24．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 题型06 利用坐标求向量模的问题 25．（25-26高三上·浙江杭州·期阶段检测）已知点与点，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以， 所以. 26．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知向量满足，，，若，则实数的值为________． 【答案】或/或 【详解】由可得， 则，解得或 27．（25-26高三上·湖北孝感·期中）已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 【答案】或 【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解. 【详解】由得，因为点P在直线上，且， 所以或． 因为可设，所以，可得， 或，可得，则点P的坐标是或． 故答案为：或． 28．（25-26高三上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点，，，． (1)若，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先，写出相应向量的坐标形式，然后，根据共线的条件进行求解. （2）写出相应向量的坐标形式，结合向量的模的计算公式转化为求二次函数最小值. 【详解】（1）因为，， ，则，， 由，可得，解得. （2）因为，，则， 所以， 则， 所以当时，. 题型07 平面向量线性运算的综合应用 29．（多选）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ） A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 【答案】AC 【分析】对于选项A和选项B，直接将选项中的条件代入，结合向量的加法法则判断，对于选项C和选项D，建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点，依次分析点在四条边上的情况即可判断. 【详解】选项A：已知，，即， 若，则， 故点与点重合，选项A正确； 选项B：若点与点重合，则， 故，，选项B错误； 选项C：以为原点，为轴建立平面直角坐标系， ，，，若，则，， ，当在上时，，解得，为点， 当在上时，，解得，，为点， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 综上，满足的点有2个，一个是点，一个是，选项C正确； 选项D：若，则，， ，当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，，综 上，满足的点有2个，一个是，一个是，选项D错误. 故选：AC. 30．（25-26高三上·山西晋中·阶段测试）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，，即，，， 所以由，所以， 解得，因此. 31．（25-26高三上·山西阳泉·阶段测试）设向量，，. (1)求，与夹角的余弦值； (2)若， ，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】(1) ， (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）先求出的坐标，再根据模的坐标表示求解即可，根据向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （2）根据列方程组求解即可； （3）先求出，可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，，得， 则， 而与夹角的余弦值为. （2）由，， 得， 因为，， 所以，解得，则. （3）证明：由，，， 则，所以， 而有公共点，则A，，三点共线. 重难·创新演练 设题创新: 依托正方形、扇形、直角梯形等多样几何图形搭配动点设置动态试题，将三点共线结论与基本不等式结合实现跨考点综合命题，融入复平面、平行四边形多解存在性等新颖情境，采用多选题型辨析易混淆向量概念设置答题陷阱，部分题目提供基底法、坐标法两种解题路径实现一题多解考查。 1．已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点不能构成三角形，故共线，故，解得. 故选：A 2．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知， 又因为为的中点，所以， 故， 故选：A 3．（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，点满足，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】 已知且，所以，则，故A正确. 故选：A 4．【新考法】设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】联立由平面向量基本定理所得关系与条件即可求解k的值. 【详解】由是平面内一组基底可知，与不共线， 则有 ，联立，故,解得． 故选：B 5．【新思维】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（   ） A．65 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】方法一：坐标法：以为坐标原点，分别为轴、轴，利用坐标求解即可； 方法二：基底法：令，，取为一个基底，由向量的线性运算求解即可. 【详解】方法一（坐标法）建立如图所示的平面直角坐标系， 则．不妨设，则，所以，，，， 所以，，，因为，所以， 所以，解得，故． 方法二（基底法）：令，，取为一个基底， 由题意得，． 由于，所以，解得，所以． 故选：B 6．【新融合】已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先确定点是的重心，再根据线性运算，用基底表示，利用三点共线，表示，再根据基本不等式求最值. 【详解】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则，当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 8．【创新题】如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出的坐标，用三角函数表示出参数，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果. 【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系： 设，则根据三角函数定义，，且， 同时，由可得： ，也即，， 则，， 则，， 则，，故， 也即的最大值为. 故选：A. 9．（多选）已知分别为的边中点，且，，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由是边的中点，得，A错误； 对于B，由是边的中点，得，B正确； 对于C，由是边的中点，得，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10.（多选）下列说法正确的是（   ） A．与向量方向相同的单位向量的坐标为 B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C．为非零向量，且相互不共线，则 D．若与共线，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误. 【详解】对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B错误； 对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误； 对于D，由与共线，则，解得，故D正确. 故选：AD. 11．（多选）已知点，，，若点G与点A，B，C四点构成平行四边形，则点G的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用平行四边形对角线中点重合的性质，结合中点坐标公式求解点坐标，进一步判断即可. 【详解】设点坐标为，平行四边形对角线的中点坐标相同， ①若，为对角线，中点为，中点为 则，，解得，，即，故A满足. ②若，为对角线，中点为，中点为， 则，，解得，，即，故C满足. ③若，为对角线，中点为，中点为， 则，，解得，，即，故D满足. 故选：ACD 12.如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 【答案】 【详解】在中，由是的中点，，得， 所以 13．（2026·陕西咸阳·三模）在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解的表达式，通过对比系数求得正确答案. 【详解】由，得.，故. 设()，则. . 代入的表达式，得. 与对比系数，得，. 因此，. 14．已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 【答案】 【详解】解法一：由三点共线，可设，则， 又因为，由，共线，得，解得， 所以，所以点的坐标为． 解法二：设点，则，因为，且与共线， 所以，即． 又因为，，且，共线，所以，解得，所以点的坐标为． 15．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值； (2)若点为线段的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形用表示，再用表示，由三点共线即可求解. （2）用表示，再由三点共线的等式关系，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 设，即，，所以，又因为，， 所以，，所以， 即，又因为三点共线，则，解得， 所以，所以. （2）由（1）可知，，而，， 所以，又因为点为线段的中点， 所以,即， 又由三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 真题·实战演练 高频考点：判断向量是否可作基底、利用基底表示向量并求参数、向量坐标运算、坐标判定向量与三点共线、向量模长计算与最值、几何图形结合的向量综合题型。 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 2.（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【详解】因为，所以， 故答案为： 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则，则，解得. 则，则. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 5.（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到，即，则； 空2：因为，则，可得， 得到，即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号，则时，有最大值. 故答案为：；.    3 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 基底的概念及辨析 2 题型02 用基底表示向量 2 题型03 利用平面向量基本定理求参数 3 题型04 平面向量线性运算的坐标表示 4 题型05 向量共线的坐标表示及应用 4 题型06 利用坐标求向量模的问题 4 题型07 平面向量线性运算的综合应用 5 重难·创新演练 5 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：绕基底判断、用基底表示图形向量、结合三点共线求参数、向量坐标运算、坐标判定三点共线、向量模长计算展开，以三角形、平行四边形为载体，考查平面向量基础定理与坐标运算。 题型01 基底的概念及辨析 1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 3．（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（多选）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5.（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型02 用基底表示向量 6．在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西太原·模拟检测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 10．如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 题型03 利用平面向量基本定理求参数 11.如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 12.平行四边形中，E为中点，与交于O，记，，，则（    ） A．2 B． C． D． 13.如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 14．在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则 题型04 平面向量线性运算的坐标表示 15.已知点，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·湖南·模拟预测）已知向量，，则（     ） A．1 B．8 C． D．2 17．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知平面向量，则向量等于（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知，则____________． 19．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，，则点的坐标为________． 20．在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 题型05 向量共线的坐标表示及应用 21.已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（     ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 22.已知向量，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（25-26高三上·天津宝坻·期中）已知向量，若．则____________． 24．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 题型06 利用坐标求向量模的问题 25．（25-26高三上·浙江杭州·期阶段检测）已知点与点，则（   ） A． B． C． D．5 26．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知向量满足，，，若，则实数的值为________． 27．（25-26高三上·湖北孝感·期中）已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 28．（25-26高三上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点，，，． (1)若，，求的值； (2)求的最小值． 题型07 平面向量线性运算的综合应用 29．（多选）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ） A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 30．（25-26高三上·山西晋中·阶段测试）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 31．（25-26高三上·山西阳泉·阶段测试）设向量，，. (1)求，与夹角的余弦值； (2)若， ，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 重难·创新演练 设题创新: 依托正方形、扇形、直角梯形等多样几何图形搭配动点设置动态试题，将三点共线结论与基本不等式结合实现跨考点综合命题，融入复平面、平行四边形多解存在性等新颖情境，采用多选题型辨析易混淆向量概念设置答题陷阱，部分题目提供基底法、坐标法两种解题路径实现一题多解考查。 1．已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，点满足，点满足，则（     ） A． B． C． D． 4．【新考法】设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 5．【新思维】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（   ） A．65 B． C．2 D． 6．【新融合】已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．【创新题】如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 9．（多选）已知分别为的边中点，且，，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D． 10.（多选）下列说法正确的是（   ） A．与向量方向相同的单位向量的坐标为 B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C．为非零向量，且相互不共线，则 D．若与共线，则 11．（多选）已知点，，，若点G与点A，B，C四点构成平行四边形，则点G的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 12.如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 13．（2026·陕西咸阳·三模）在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 14．已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 15．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值； (2)若点为线段的中点，求的最小值． 真题·实战演练 高频考点：判断向量是否可作基底、利用基底表示向量并求参数、向量坐标运算、坐标判定向量与三点共线、向量模长计算与最值、几何图形结合的向量综合题型。 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 5.（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $