内蒙古赤峰市林西县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

林西一中2024-2025学年下学期期中测试卷（1） 高一数学 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（ ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 3．用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为2，则其直观图的面积是 A．1 B． C．2 D． 4．如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 5．一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是（ ） A．8 B．24 C． D． 6．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A．3 B． C． D． 8．已知向量，，若，与的夹角为60°；若与的夹角为钝角，则t取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，以下说法正确的是（ ） A．z的实部是5 B． C． D．z在复平面内对应的点在第一象限 10．下列命题中的真命题是（ ） A．若直线a不在平面内，则 B．若直线l上有无数个点不在平面内，则 C．若，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D．平行于同一平面的两直线可以相交 11．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点M、B、C三点共线 C．若点M是的重心，则 D．若所在平面内一动点P满足：，，则P的轨迹一定通过的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则______． 13．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的体积为______． 14．已知矩形ABCD的边长分别为1，，沿对角线AC折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求： （1）截去的三棱锥的表面积； （2）除去三棱锥剩余几何体的体积． 16．（本小题满分15分） 已知，，且． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）设，，记与的夹角为，求的值． 17．（本小题满分15分） 在中，，． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）求周长的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （Ⅰ）求的单调递减区间； （Ⅱ）若在区间上恒成立，求m的最小值； （Ⅲ）若，，求的值． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且，E为PD中点． （1）证明：平面AEC； （2）在棱PC上是否存在一点G，使得平面AEC？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 林西一中2024-2025学年下学期期中测试卷（1） 高一数学202305（答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．【答案】A 【解析】因为，所以，， 2．【答案】B 【分析】画出图形观察即可． 【解析】如图所示， 截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，所以该几何体为三棱锥．故选：B． 3．答案：B 4．【答案】C 5．答案．C 解析：底面积：，侧面积：，∴表面积：． 6．答案：A 7．【答案】B 【解析】因，，且， 所以，化为． 所以，解得． 所以． 8．【答案】C 根据与的数量积小于0，且不共线可得． 【解析】与的夹角为钝角， ∴，又，与的夹角为60°， 所以，即，解得， 又与不共线，所以，所以t取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ABC 【解析】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确；对于C，，C正确； 对于D，z在复平面内对应的点在第四象限，D错误． 10．【答案】CD 【解析】根据直线与平面的位置关系，结合题目，进行分析和判断即可． 【解析】A中，直线a也可能与平面相交，故A是假命题； B中，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题； C中，时，与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题； D中，平行于同一个平面的直线，可以平行也可以相交，也可以是异面直线，故D是真命题． 故选：CD． 11．【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A，根据共线定理的推论即可判断B，根据重心的性质即可判断C，根据向量加法的平行四边形法则即可判断D． 【解析】对于A，∵，为等边三角形，故A正确； 对于B，∵，∴，∴M、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，则， ，， ∴，即，故C正确； 对于D，∵，，∴，∴P在的角平分线上，∴P的轨迹一定通过的内心，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】0 【解析】首先求出､的坐标，而后可求． 【解析】解：，，．故答案为：0． 13．【答案】 【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高．再根据棱台的体积公式求解即可． 【解析】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点P在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据相似关系可知，三棱台的高也是． 所以棱台的体积为． 14．【答案】 【分析】取AC中点O，则，从而可得球的半径为，由此能求出该球的表面积． 【解析】将长方形ABCD沿对角线AC折起，使顶点A，B，C，D落在同一个球面上， 取AC中点O，则，∴该球的半径为， 该球的表面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（1）由正方体的特点可知在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，都是直角边为2的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥的表面积． （2）正方体的体积为， 三棱锥的体积为， 所以剩余几何体的体积为． 16．解：（Ⅰ）因为，所以， 即．所以． （Ⅱ）因为，所以，． 所以，．所以， ，． 所以． 17．解：（Ⅰ）因为，所以． 因为，所以．所以． 又，所以． （Ⅱ）由正弦定理可得， 所以，．所以． 因为，所以． 因为 ． 所以． 因为，所以．所以． 所以，即．所以， 即周长的取值范围为． 18．解：（Ⅰ）因为， 令，所以． 所以的单调递减区间为． （Ⅱ）因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 因为，所以． 所以，即． 所以m的最小值为． （Ⅲ）因为，所以． 因为，所以．所以． 所以 ． 19．【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在点G，使得平面AEC． 【详解】（1）证明：连BD交AC于O， 因为底面ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，而E为PD的中点，所以， 又平面AEC，平面AEC；所以平面AEC； （2）在棱PC上存在点G，且，使得平面AEC， 证明：PA上取点H，且，因为F为AB上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC， 又在中，，所以， 因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC， 因为，平面HFG，所以平面平面AEC 因为平面HFG，所以平面AEC 学科网（北京）股份有限公司 $