精品解析：内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一创新人才班下学期5月期中数学试题

巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年第二学期5月期中 创新人才班 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 的分数指数幂表示为（　　） A. B. C. D. 都不对 4. 幂函数在上单调递减，则等于（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 5. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 10 6. 若函数的定义域为 ，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 8. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 的单调递减区间为和 10. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 存在，使得 11. 下列命题正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____ 13. 已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为________． 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）判断并证明的奇偶性. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断当时函数的单调性，并证明； （3）解不等式． 17. 已知函数. （1）当 时，求在 上的最值； （2）设函数，若存在最小值，求实数的值. 18. 我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本 万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． （1）试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 19. 已知函数 （1）当，求函数的值域 （2）解关于的不等式 （3）当时，，使得，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年第二学期5月期中 创新人才班 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 3. 的分数指数幂表示为（　　） A. B. C. D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】把根式化为分数指数幂运算即可． 【详解】原式，故选A. 【点睛】本题主要考查了指数式的化简，熟练掌握分数指数幂运算性质是解题的关键，属于基础题. 4. 幂函数在上单调递减，则等于（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得或，分别验证即可求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，在上单调递增，不符合题意， 所以. 故选：. 5. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为 的偶函数，所以. 已知，将 换为 ，可得，又因为，所以.  由和可得. 令，则 ，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以.  故选：A. 6. 若函数的定义域为 ，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得对任意 恒成立，结合指数函数单调性可得对任意 恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意 恒成立， 即，且在 内单调递增， 可得，即对任意 恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7. 若不等式对任意实数 均成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式整理为；当 时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当 ，即 时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 8. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以 或 . 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 的单调递减区间为和 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于给定的函数，结合对勾函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，因此其定义域为，A正确； 对于B，，因此的值域不为，B错误； 对于C，，有，， 函数是奇函数，C正确； 对于D，由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增， 又是奇函数，则在上单调递减，在 上单调递增， 因此的单调递减区间为和，D正确. 故选：ACD 10. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过赋值 ， ，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD； 【详解】， 令 ，可得：， 所以， 令 ，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在 上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 11. 下列命题正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】指数型函数定点的求法、具体函数定义域的计算、根式型函数值域的求解方法和抽象函数定义域的求法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A， ，恒过定点，A正确； 对于B，由可得：，显然不在定义域内，错误； 对于C，令，则 且 ，， 则当时，，的值域为，C错误； 对于D，令，解得：，的定义域为，D正确. 故选：AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而判断的单调性，注意到，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因对任意的，且，都有， 则在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则， 当时，，得，解得或, 故； 当 时，，即， 得或，解得或 ， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，且判断其单调性和奇偶性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）判断并证明的奇偶性. 【答案】（1）定义域为R，值域为 （2）为奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由定义域的定义以及分离常数法结合指数函数性质即可得解； （2）由奇函数定义证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为R.， ，，， 函数的值域为； 【小问2详解】 定义域为R，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断当时函数的单调性，并证明； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和建立等量关系即可得解； （2）利用定义法判定单调性； （3）根据奇偶性和单调性求解不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在 上的奇函数， 所以， 又所以 ，所以， 显然，是奇函数， 综上 【小问2详解】 在上单调递增； 证明：任取，且， 所以， 则 ， 所以 ，所以在上单调递增； 【小问3详解】 由题可知在上单调递增且为奇函数， 由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 17. 已知函数. （1）当 时，求在 上的最值； （2）设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】（1）最小值为，最大值为8 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 当 时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在 上的最小值为，最大值为8. 【小问2详解】 ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在 上单调递增， 则当 时，，解得，不满足题意； 当，即 时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得 或（舍去）， 综上，实数的值为6. 18. 我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产 万件机器零件，需另投入变动成本 万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． （1）试写出年利润（万元）关于年产量 （万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 【答案】（1） （2）当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和 两种情况，求出的解析式，从而得解； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解. 【小问1详解】 因为每件机器零件的批发价为元，所以 万件机器零件的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当 时，， 所以.； 【小问2详解】 当时，， 所以在上单调递增，所以； 当 时，， 当且仅当，即 时，等号成立，所以， 因为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 19. 已知函数 （1）当 ，求函数的值域 （2）解关于 的不等式 （3）当时，，使得，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）已知 ，把代入函数，将函数化为顶点式，因为完全平方项非负，所以能得出函数最小值，进而确定值域. （2）先把化简为，通过求判别式，根据取值不同分情况讨论.当，求出对应方程两根，得到不等式解集；当，不等式解集为；当，求出对应方程根，得到不等式解集. （3）先确定对称轴，结合范围得出值域，已知值域 .根据是 的子集，列出不等式组求解，再结合确定范围. 【小问1详解】 当 时， 所以 【小问2详解】 ，得，时，对应方程的两根为 当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集为 综上：当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集为 【小问3详解】 当，的对称轴方程为 ， 由图可知，的值域为； 当时，的值域为； 又因，使得，则， 所以，得，又，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $