精品解析：江西省宜春实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

宜春实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 命题人：彭嘉林 审题人：赵乔、黄棋 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 在等差数列中，已知公差，则（ ） A. 16 B. 14 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由 ，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 3. 已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A. 44 B. 52 C. 68 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 4. 等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式得出，利用等差数列的通项公式可得，进而求出其通项公式，判断出，即可得出取最大值时的值. 【详解】由题可知，则， 又，则， 则 因此，故取最大值时的n值为7 故选：A. 5. 已知是数列的前n项和，，则（ ） A. 2575 B. 3435 C. 4345 D. 5135 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，应用分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】由题知 . 故选：B 6. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且等号仅在  时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 7. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在曲线上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解． 【详解】设曲线上的一点是，，且过的切线与直线平行． 由，所以切线的斜率． 解得，． 即到直线的最短距离是． 故选：B 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B. 函数在时瞬时变化率为7 C. 定义在上的可导函数，已知，若，则 D. 定义在上的可导函数，已知，若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平均变化与与瞬时变化率定义计算可判断A、B，根据导数的定义计算可判断C、D. 【详解】对于A： ，故A错误； 对于B：因为，可知当时，瞬时变化率为 ，故B错误 对于C： ，故C正确； 对于D： ，解得，故D正确； 10. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ） A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列 C. 中的项为整数的只有2个 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意求出等比数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，则A正确，B错误． 因为，，，，， 又，所以当时，不为整数，所以C正确． 因为，且，所以最大，D正确． 11. 已知函数，则下列不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的递减区间为 D. 若方程有三个实数解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,对函数求导，代值可求解；对于B，转化成 在上恒成立，又有，则求在时恒成立.结合二次函数最值可求解；对于C,将代入函数后求导得，结合一元二次不等式的解法求解；对于D，令，转化为直线与有3个交点问题.对函数求导，分析单调性，结合图像得出的取值范围. 【详解】对于A，，得 ，即； 对于B，由于，若在区间上单调递增， 则 在时恒成立，又因为， 所以在时恒成立. 当时， ，即 ，解得，故B错误； 对于C，当时，函数求导得：， 由，解得， 所以函数的递减区间为，故C正确； 对于D，令函数，求导得：， 当或时， ，所以在上单调递增； 当时， ，所以在上单调递减； 可得函数的极小值点为1，且 ， 函数的极大值点为，且， 由于当时，，当时，，作函数的图象如下： 所以要使方程有三个实数解，则，故D错误； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 13. 已知函数 ，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由函数 ，求导可得, 所以 . 14. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，，消去，得． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知曲线， （1）求函数的单调区间； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）函数的单调递增区间为： ，递减区间为： （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，根据导函数正负得出函数单调区间即可； （2）先设切点为，再根据导函数得出切线斜率，再计算求解参数，最后带回得出切线方程. 【小问1详解】 函数定义域为， 由函数，可得 ， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递增区间为： ； 递减区间为：. 【小问2详解】 因为点不在曲线上， 设切点为，所以 ， 所以切线方程为 ， 又因为在切线上，所以 ， 即 ，解得或 则 ， 当切点为时，切线的斜率为 ，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为 ，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或 16. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 【答案】（1）分 （2）0.352 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数公式运算求解； （2）根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得每组的频率依次为， 则，解得， 设平均成绩的估计值为， 则（分）， 所以这100名学生的平均成绩估计值为74分. 【小问2详解】 每个学生成绩不低于80分的概率为0.4. 3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率； 3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率； 3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 17. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和椭圆的定义建立关于的方程并求解，即可得到椭圆标准方程； （2）由斜截式得到直线方程，联立直线方程与椭圆方程，进而结合垂直关系和韦达定理求解出直线的截距，即可得到直线方程. 【小问1详解】 由题可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为直线倾斜角为45°，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，， 联立，消去并整理得：， 所以， 所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， ， ， ，即， 解得或， 当时，直线的方程为，所以直线经过点， 此时或与点重合，不满足题意； 所以直线的方程为. 19. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出切点、由导数几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解； （2）利用导数工具分、、和四种情况分析导函数正负情况即可求解函数单调性. 【小问1详解】 若，函数， 所以， 所以切点为，切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得函数定义域为，， 令或， 所以当 时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上：当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 命题人：彭嘉林 审题人：赵乔、黄棋 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 在等差数列中，已知公差，则（ ） A. 16 B. 14 C. D. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A. 44 B. 52 C. 68 D. 84 4. 等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是数列的前n项和，，则（ ） A. 2575 B. 3435 C. 4345 D. 5135 6. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B. 函数在时瞬时变化率为7 C. 定义在上的可导函数，已知，若，则 D. 定义在上的可导函数，已知，若，，则 10. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ） A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列 C. 中的项为整数的只有2个 D. 的最大值为 11. 已知函数，则下列不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的递减区间为 D. 若方程有三个实数解，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 13. 已知函数 ，则__________. 14. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知曲线， （1）求函数的单调区间； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 17. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求直线方程. 19. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $