江西省宜春实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

宜春实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【详解】，解得. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】略. 3. 已知是等差数列的前n项和，若，，则(    ) A. 44 B. 52 C. 68 D. 84 【答案】D  【解答】 解：因为是等差数列的前n项和， 所以，，成等差数列， 所以， 因为，， 则， 解得 4. 等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，则， 又，则， 则 因此，故取最大值时的n值为7 5. 已知是数列的前n项和，，则（    ） A．2575 B．3435 C．4345 D．5135 【答案】B 【详解】由题知 . 6. 已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且等号仅在 时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 7. 曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】解：设曲线上的一点是， 则过P的切线必与直线平行． 由，所以切线的斜率 解得， 即到直线的最短距离是 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（    ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 【答案】CD 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故B错误 对于C：，故C正确； 对于D：，解得，故D正确； 10. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（   ） A．是单调递增数列 B．是单调递减数列 C．中的项为整数的只有2个 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，则A错误，B正确． 因为，，，，， 又，所以当时，不为整数，所以C正确． 因为，且，所以最大，D正确． 11. 已知函数，则下列不正确的是（   ） A．若，则 B．若在区间上单调递增，则 C．当时，函数的递减区间为 D．若方程有三个实数解，则 【答案】ABD 【详解】对于A，，得，即； 对于B，由于，若在区间上单调递增， 则，由于， 则当时，，即，故B错误； 对于C，当时，函数求导得：， 由，解得， 所以函数的递减区间为，故C正确； 对于D，由当时，函数求导得：， 当或时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 可得函数的极小值点为1，且， 函数的极大值点为，且， 由于当时，，当时，，作函数的图象如下： 所以要使方程有三个实数解，则，故D错误； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 【答案】 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 13. 已知函数，则          . 【答案】  【解析】解：由函数，求导可得， 所以 14. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________. 答案： 解析：依题意，，消去，得 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知曲线， 求函数的单调区间； 求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】 解：函数定义域为（1分） 由函数，可得（2分） 令，得或（3分） 令，得（4分） 所以函数的单调递增区间为：, （5分） 递减区间为： （6分） 因为点不在曲线上， 设切点为，所以，（7分） 所以切线方程为，（8分） 又因为在切线上，所以，（9分） 即，解得或 （11分） 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或 （13分） 16. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 【答案】(1)分 (2)0.352= 【详解】（1）由频率分布直方图可得每组的频率依次为， 则，解得，（3分） 设平均成绩的估计值为， 则（分），（6分） 所以这100名学生的平均成绩估计值为74分. （2）每个学生成绩不低于80分的概率为0.4. （8分） 3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率；（11分） 3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率；（14分） 3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.（15分） 17. 已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由，两边同时除以：（2分） 得，所以（3分） 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （4分） （2）由（1）可知：，故；（6分） （3）， ，（9分） 两式相减，得 ，（11分） （13分） 故.（15分） 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的标准方程为；（4分） （2）因为直线倾斜角为45°，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，，（5分） 联立，消去并整理得：，（7分） 所以，（8分）所以，（9分） 又，所以， 因为，所以， 所以，（11分） 所以， ， ， ，（13分）即， 解得或，（14分） 当时，直线的方程为，所以直线经过点，（15分） 此时或与点重合，不满足题意；（16分） 所以直线的方程为，即，（17分） 19. 已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）若，函数，（1分） 所以，（2分） 所以切点为，切线斜率为，（3分） 所以函数在处的切线方程为，即.（4分） （2）由题可得函数定义域为，（5分），（7分） 令或， （1）当 时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减；（9分） （2）当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减；（11分） （3）当时，在上恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增；（13分） （4）当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减；（15分） 综上：当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （17分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 命题人：彭嘉林 审题人：赵乔、黄棋 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 3. 已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．44 B．52 C．68 D．84 4. 等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（    ） A． B． C． D． 5. 已知是数列的前n项和，，则（    ） A．2575 B．3435 C．4345 D．5135 6. 已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7. 曲线上的点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（    ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 10. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（    ） A．是单调递增数列 B．是单调递减数列 C．中的项为整数的只有2个 D．的最大值为 11. 已知函数，则下列不正确的是（    ） A．若，则 B．若在区间上单调递增，则 C．当时，函数的递减区间为 D．若方程有三个实数解，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 13. 已知函数，则 __________. 14. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. （本小题13分）已知曲线， 求函数的单调区间； 求过点且与曲线相切的直线方程. 16. （本小题15分）某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 17. （本小题15分）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 18. （本小题17分）已知椭圆的右焦点为，右顶点为， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求直线方程. 19. （本小题17分）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $