基本不等式专题训练-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式的系统性应用，通过25道题构建“条件变形-方法选择-最值求解”逻辑链条，提炼凑配、“1”的代换等核心技巧，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5|凑配法、直接应用|从基本不等式定义到简单条件下的最值计算| |综合应用|单选6-9、多选10-15|“1”的代换、消元法、恒成立转化|条件等式变形与多变量最值问题的推理链条| |拓展创新|填空16-25|换元法、配凑法、跨模块结合|从数学模型构建到实际情境中的最值应用|

基本不等式专题训练 一、单选题 1．已知正数满足，则的最小值是（ 　） A．17 B．16 C．15 D．14 2．若正数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知 ，则的最小值为（ 　） A． B． C．1 D．4 5．设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 6．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 7．已知，，且，则的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．已知，若，则的最小值为（     ） A．2 B． C． D． 9．已知且，则下列选项不正确的是（     ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 二、多选题 10．已知实数满足且，则下列说法正确的有（        ） A．若，则 B． C．的最小值是 D．的最小值是1 11．设正实数满足，则（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 12．已知为正实数，且，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B． C．的最大值为4 D．的最小值是 13．已知正实数满足，则（　 　） A． B． C． D． 14．已知函数，若，则（     ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C． D．的最大值为 15．已知函数，实数，满足，则（     ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 三、填空题 16．已知，则的最小值为 ． 17．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ． 18．已知的最小值为 ． 19．已知实数，满足，则的最小值为 ． 20．已知，，且，则的最小值为 ． 21．若正实数a，b满足，则的最小值是 ． 22．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是 ． 23．已知，则的最小值为 ． 24．设，若，则实数的最大值为 ． 25．已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 . 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C C D C C C ABC 题号 11 12 13 14 15 答案 ABD ABD ABD BCD ACD 1．A 【分析】先凑配，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，取得最小值，故取得最小值. 故选：A. 2．D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 3．C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 4．C 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 5．C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 6．D 【分析】由题意，根据基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可． 【详解】因为两个正实数满足， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 不等式恒成立等价于， 即，解得. 故选：D 7．C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 8．C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 9．C 【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基本不等式，可解决D. 【详解】对于A：因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A正确； 对于B：因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C错误； 对于D：令，则 所以， 又因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 因此，则， ，故D正确. 故选：C. 10．ABC 【详解】对于A，由，则，即，故A正确； 对于B， ，因为，，即，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由，则，故， 当时，取得最小值，故D错误. 11．ABD 【分析】利用已知条件，结合基本不等式，通过配凑变形、平方转化、消元后1的代换技巧逐一计算每个选项的最值，判断对错. 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为， 当且仅当时等号成立， 即最小值为，故B正确； 对于C：设，平方得： ， 因为，因此，即， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即时等号成立，此时有最小值为，故D正确. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，核心是掌握基本不等式及其推论，常用配凑变形、平方转化、1的代换技巧，使用时必须验证等号成立条件是否满足给定范围. 12．ABD 【分析】利用基本不等式判断A，B，依题意可得，从而将转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质判断C，将原式变化为，进而化简，然后设，，而后用进行代换，最后用基本不等式判断D. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A正确； 对于B：因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以，则，解得， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以无最值，故C错误； 对于D： ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，故D正确. 故选：ABD 13．ABD 【分析】利用基本不等式判断AB；特殊值法计算判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 14．BCD 【分析】由题意计算可得，再借助对勾函数的性质可得A、C；借助基本的不等式可得B；借助二次函数性质可得D. 【详解】由题意可得，又，则， 即，即有，且，； 对A：由，则，则， 由在上单调递增，则，故A错误； 对B：，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故B正确； 对C：， 取，由A知，，则在上单调递增， 故，故C正确； 对D：， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 15．ACD 【分析】根据绝对值的性质、对数函数的图象与可得，，；结合不等式的性质与基本不等式即可判断. 【详解】 依题意，当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为实数，且，所以；所以，故A正确； 由，得，即， 即，即，所以；同理； 所以，故D正确； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，但此时不满足，所以等号不成立，故B错误； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，故C正确. 故选：ACD. 16． 【分析】利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得，从而可求解. 【详解】，当且仅当的时候取“”， 又，当且仅当的时候取“. 综上，当的时候，不等式取“”条件成立，此时最小值为12. 故答案为：12. 17． 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可得范围. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 18． 【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 19．3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 20． 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 21．/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 22．9 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 23．/ 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 24．6 【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 25． 【分析】由及和角正切公式得，再结合，将问题化为在有解，即可求范围. 【详解】由知，故， 于是，由，知. 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $