1.6 基本不等式（全国通用）【12大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 以12大考点构建基本不等式方法体系，覆盖从代数变形到实际应用的全场景训练，突出数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-12|4-10题/考点|配凑法、常数妙用、齐次式等12种方法|从基础代数变形（配凑、消元）到进阶技巧（双换元、多次不等式），再到实际应用，形成“概念-技巧-建模”递进逻辑，培养数学眼光与理性思维|

1.6 基本不等式 12大考点汇总 考点01 配凑法 考点02 常数的妙用 考点03 齐次式 考点04 消元法 考点05 二次商式的最值问题 考点06 双换元法解基本不等式 考点07 多次使用基本不等式 考点08 柯西不等式的应用 考点09 权方和不等式 考点10 利用对勾函数求最值 考点11 基本不等式的恒成立求参问题 考点12 基本不等式的实际应用 题型专练 考点01 配凑法 1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 2．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 3．已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】将变形为，利用基本不等式求解范围得到最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 4．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为6. 故选：C. 考点02 常数的妙用 5．若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 6．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 7．已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】由题意得 ，当且仅当时成立. 8．已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 9．已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 10．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 11．若正数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意正数满足，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是， 故答案为： 12．已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 13．已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 考点03 齐次式 14．设，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】D 【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以有最小值为. 故选：D 15．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 16．已知，，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．18 D．20 【答案】C 【分析】利用常数代换，凑齐次，即可利用基本不等式先求得相关的最小值，再配凑利用基本不等式求得相关的最小值即可. 【详解】因为，，，，所以， 当且仅当，时等号成立， 所以原式， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 17．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 18．已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 19．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 20．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过的妙用凑成积为定值，再利用基本不等式求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B 考点04 消元法 21．已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 22．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 23．（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 24．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 25．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 26．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 27．若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 考点05 二次商式的最值问题 28．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 29．函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 30．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 31．求函数的最小值． 【答案】9 【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 考点06 双换元法解基本不等式 32．已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 33．已知，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】解法一：由可对称设元，化为一元函数最值求解； 解法二：变形换元得到，令，由基本不等式可得，则，由基本不等式可得最大值. 【详解】解法一：设， 则 ， 设， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为． 解法二：①． 由得，则， 代入①得原式．令， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 则原式， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最大值为． 故答案为： 34．已知，，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 35．（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为. B．的最大值为. C．的最小值为. D．的最小值为. 【答案】ABD 【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最大值为1，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且，即，即时，等号成立， 所以的最小值为1，故D正确. 故选：ABD. 36．已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 考点07 多次使用基本不等式 37．已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 38．（多选）已知均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C． 的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对于C，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，C对. 对于D，因为，，所以， 当且仅当时等号成立，与联立可得． 又因为，由不等式的性质可得 ． 又因为， 当且仅当时等号成立． 所以仅当时等号成立， 综上，的最小值为. 故选：ACD. 39．已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 40．（多选）已知正数a，b满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据题意知，代入结合基本不等式即可判断；对于C，由代入得，再令，根据分式函数最值可得，接着即可判断；对于D，由，结合的最小值为，注意两次取等条件不一致即可判断． 【详解】对于选项A，因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 令，得到，解得或（舍）， 所以，的最小值为9，故A错误； 对于B，由，则， ， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，，， 则， 令，则， ， ，当且仅当，即时取等， 则， ， 当且仅当时取等，故C正确； 对于D，因为，当且仅当取等号， 又，当且仅当,时取等号， 又，所以，故D错误． 故选：BC． 考点08 柯西不等式的应用 41．已知，求的最大值． 【答案】最大值为1 【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值；方法二：应用柯西不等式计算求解. 【详解】法一：（三角换元）令，，（，）， ， 当且仅当，或者，时等号成立，故最大值为1． 法二：（柯西不等式） ， 当且仅当，或时等号成立． 的最大值为1． 42．（多选）函数的值可以是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】AB 【分析】利用柯西不等式求出函数的最大值，结合选项，即可确定答案. 【详解】由函数可知， 故 当且仅当，即时，取等号， 则， 令， 则，而， 其中为锐角，， 结合，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，故的最小值为1， 即得， 结合选项可知，符合题意， 故选：AB 43．（多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决. 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 44．实数满足，求的最小值． 【答案】6400 【分析】，根据的符号及柯西不等式进行求解． 【详解】注意到， 若，由柯西不等式， 可得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时（如）； 若，不妨设，则 ， 等号成立时；若一正二负或一负二正时， 不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 45．设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 故答案为：. 46．设，且，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】令，则，将已知条件变形为，根据柯西不等式可得的最大值.或者由对称性设，将条件变形为，再根据柯西不等式得，进而得到的最大值． 【详解】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 故答案为：. 考点09 权方和不等式 47．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 48．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______. 【答案】 【详解】由柯西不等式得， 当且仅当，即,时,等号成立. 49．求的最大值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 50．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 51．的最小值为________. 【答案】/ 【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点10 利用对勾函数求最值 52．已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________． 【答案】 【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值. 【详解】因为，，显然， 对递推式两边取倒数得： ，即，. 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因此 ，. 又因为，时，即 由累加法得：， ，， 验证时，符合上式，故，. 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，. 所以数列在上单调递减，在上单调递增， 因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且， 因此，当时数列取得最小值. 53．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 54．已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据直线与圆的位置关系求出的范围，再利用对勾函数的单调性求最值. 【详解】因为，所以原点在圆外， 令，则， 则直线与圆存在交点， 则圆心到直线的距离为，得， 则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故的最小值是. 故选：D 55．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】由奇偶性定义进行分析即可求解判断A；通过换元法转换函数并结合复合函数的单调性即可求解判断B；结合选项B由对勾函数单调性即可求解判断C；利用函数的偶函数性质结合基本不等式即可求解判断D. 【详解】由题函数，定义域为R关于原点对称， 又， 所以是偶函数，故A正确； 当时，函数为增函数，且， 又函数为上的增函数， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的值域为，故C错误； 因为函数是偶函数，且函数在上单调递增， 所以若，且， 则且， 所以，当且仅当即时等号成立.故D正确. 故选：ABD 56．在数列中，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】运用累加法，结合等差数列前项和公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】， ， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，， 因此当，或，有最小值， 即的最小值为. 故答案为： 考点11 基本不等式的恒成立求参问题 57．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 58．若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 59．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 60．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 61．已知. (1)求的最大值； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】(1)将转化为同底，利用基本不等式即可得出的最大值； (2)利用指数式和对数式的互化即可求得关于的函数表达式； (3)转化题干条件，利用“1”的妙用结合基本不等式可求得的最小值， 由恒成立可知的最小值大于，由此可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，即， 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为2； （2）当时，，所以； （3）设，，则，， 因为， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是， 因为恒成立，所以， 解得，即的取值范围是. 考点12 基本不等式的实际应用 62．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 63．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 64．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 65．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 66．学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润（单位：百元）与销售天数满足. (1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数； (2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润） 【答案】(1) (2)天，平均每天的利润最大百元 【分析】（1）解不等式，可得结论； （2）利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出对应的值，即可得出结论. 【详解】（1）为了保证累计总利润不为负，令，即，解得， 故最多销售的天数为天. （2）平均每天的利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当销售天数为天时，能使平均每天的利润最大，且平均每天的利润最大百元. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 基本不等式 12大考点汇总 考点01 配凑法 考点02 常数的妙用 考点03 齐次式 考点04 消元法 考点05 二次商式的最值问题 考点06 双换元法解基本不等式 考点07 多次使用基本不等式 考点08 柯西不等式的应用 考点09 权方和不等式 考点10 利用对勾函数求最值 考点11 基本不等式的恒成立求参问题 考点12 基本不等式的实际应用 题型专练 考点01 配凑法 1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则函数的最小值为_____. 3．已知实数，则的最小值是__________. 4．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点02 常数的妙用 5．若均为正数，且，则的最小值为___________． 6．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 7．已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 8．已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 9．已知为正数，，则的最小值为_________. 10．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 11．若正数满足，则的最小值是__________. 12．已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．已知正实数满足，则的最小值为__________． 考点03 齐次式 14．设，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最小值为 15．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 16．已知，，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．18 D．20 17．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 19．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点04 消元法 21．已知实数，满足，则的最大值为_____. 22．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 23．（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 24．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 25．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 26．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 27．若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 考点05 二次商式的最值问题 28．设，则的最小值为_____________． 29．函数(）的最大值为______． 30．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．求函数的最小值． 考点06 双换元法解基本不等式 32．已知，，，则的最大值为____. 33．已知，则的最大值为_____． 34．已知，，，则的最大值为______． 35．（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为. B．的最大值为. C．的最小值为. D．的最小值为. 36．已知，则的最大值为___________． 考点07 多次使用基本不等式 37．已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 38．（多选）已知均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C． 的最小值为 D．若，则的最小值为 39．已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 40．（多选）已知正数a，b满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 考点08 柯西不等式的应用 41．已知，求的最大值． 42．（多选）函数的值可以是（    ） A． B． C．3 D．5 43．（多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 44．实数满足，求的最小值． 45．设，则的最小值为_____． 46．设，且，则的最大值为_____． 考点09 权方和不等式 47．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 48．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______. 49．求的最大值为______________ 50．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 51．的最小值为________. 考点10 利用对勾函数求最值 52．已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________． 53．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 54．已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 55．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．若，且，则 56．在数列中，，则的最小值为__________. 考点11 基本不等式的恒成立求参问题 57．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 58．若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 59．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 60．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 61．已知. (1)求的最大值； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)若恒成立，求的取值范围. 考点12 基本不等式的实际应用 62．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 63．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 64．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 65．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 66．学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润（单位：百元）与销售天数满足. (1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数； (2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $