第1章 第5讲 基本不等式的应用 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，以题载法构建从概念到实际应用的完整逻辑链，突出配凑、换元等方法的系统训练，培养运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式应用|14题（含选择、填空、解答）|配凑法（如x>a时构造x-a）、换元法（如t=x-20）、常数代换（如“1”的代换）、导数法（判断单调性求最值）|从基本不等式概念出发，通过条件最值（如xy最小值）、恒成立问题（如a取值范围）到实际应用（利润、成本问题），形成“概念-变形-应用”递进逻辑，强化推理意识与应用能力。|

1．当x>a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析：选A．因为x>a，则x－a>0， 2x＋＝2(x－a)＋＋2a ≥2＋2a＝8＋2a， 当且仅当2(x－a)＝时，等号成立， 即8＋2a＝10，故a＝1. 2．若b>a>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 解析：选C．因为b>a>0，所以2b>a＋b， ab>a2，故b>>>a. 3．若a>b>1，x＝ln ，y＝(ln a＋ln b)，z＝，则(　　) A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．z<y<x 解析：选D．由x＝ln ，y＝(ln a＋ln b)＝ln ，z＝，而a>b>1，则ln a>ln b>0，所以(ln a＋ln b)>， 即y>z，由>， 则ln >ln ，即x>y. 综上，z<y<x. 4．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B．设圆柱底面圆半径为r(0＜r＜2)，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，当且仅当r2＝4－r2，即r＝时，等号成立．故该圆柱侧面积的最大值为8π. 5．(2026·延边模拟)已知正实数x，y满足x＋y－xy＝0，且不等式x＋y－a>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．{a|a<2} B．{a|a<8} C．{a|a<6} D．{a|a<4} 解析：选B．方法一：x＋y－xy＝0可变形为(x－2)(y－2)＝4.设u＝x－2，v＝y－2，x＞0，y＞0，则uv＝4，且u，v>0.此时x＋y＝u＋v＋4.根据基本不等式，u＋v≥2＝4，当且仅当u＝v＝2时取等号，所以x＋y＝u＋v＋4≥8，当且仅当x＝y＝4时取等号．为使不等式x＋y－a>0恒成立，需满足a<(x＋y)min，即a<8. 方法二：设s＝x＋y，则s＞0，由x＋y－xy＝0得xy＝2s，则xy≤()2＝()2，代入得2s≤，解得s≥8.当且仅当x＝y＝4时，s＝x＋y取得最小值8.为使不等式x＋y－a>0恒成立，需满足a<(x＋y)min，即a<8. 6．(多选)(2025·豫西北教研联盟质检)已知ab＝且a，b∈(0，1)，则(　　) A．a2＋b2≥ B．b＋a> C．＋≥4 D．a2＋b≥ 解析：选ACD．a2＋b2≥2ab＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，A正确；由ab＝，得b＝，所以b＋a＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，B错误； ＋＝＝4(a＋b)≥8＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立(或＋≥2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立)，C正确； 由ab＝，得b＝，所以a2＋b＝a2＋，令f(a)＝a2＋.因为ab＝，且a，b∈(0，1)，所以<a<1，则f′(a)＝2a－＝，令f′(a)＝0，得a＝，当<a<时，f′(a)<0；当<a<1时， f′(a)>0.所以函数f(a)在(，)上单调递减，在(，1)上单调递增，所以f(a)在(，1)上存在最小值，且最小值为f()＝，所以a2＋b≥，D正确． 7．(2026·运城月考)已知x，y，a>0，且x＋＋≥8恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：x＋＋≥x＋2＝x＋≥4，当且仅当x＝2，y＝时取等号，故4≥8，即a≥4. 答案：[4，＋∞) 8．对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为________． 解析：因为对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，所以m2＋2n2≥amn， 即a≤＝＋恒成立． 因为＋≥2＝2， 当且仅当＝，即m＝n时，取等号， 所以a≤2，故实数a的最大值为2. 答案：2 9．(13分)已知正实数x，y满足等式＋＝2. (1)求xy的最小值；(5分) (2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)由题意知2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当＝，即x＝1，y＝3时，等号成立，所以xy的最小值为3. (2)3x＋y＝(3x＋y)(＋) ＝(6＋＋) ≥(6＋2)＝6，当且仅当＝，即x＝1，y＝3时，等号成立． 即3x＋y的最小值为6. 所以m2－m≤6，解得－2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是[－2，3]. 10．(2026·北京段考)据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y(单位：百件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝＋2，其中20<x<50.已知该商品的成本为10元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为(　　) A．800元 B．8 000元 C．900元 D．9 000元 解析：选B．设该超市每月销售该商品所获得利润为L，因为每件利润为(x－10)元，每月的销售量为100y件，所以L＝100y(x－10)＝100(＋2)·(x－20＋10)，20<x<50，令t＝x－20，则0<t<30，所以L＝100(＋2)(t＋10)＝200(＋t＋20)≥200(2＋20)＝200×40＝8 000，当且仅当＝t，即t＝10，即x＝30时取等号，所以该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为8 000元．　 11．(2025·重庆一调 )已知a>0，b>0，则使＋ ≥4成立的一个必要不充分条件是(　　) A．a2＋b2＝1 B．a＋b ≥4ab C．a＋b＝1 D．＋≥8 解析：选D．令a＝，b＝，显然有＋≥4，但a2＋b2≠1，故A错误；当a>0，b>0时，a＋b≥4ab⇔＋≥4，故B错误；令a＝，b＝，显然有＋≥4，但a＋b≠1，故C错误；当＋≥4时，≥()2 ≥4，则＋≥8，当且仅当a＝b＝时，等号成立，反过来，令a＝，b＝2，不等式＋ ≥8成立，但＋＝<4，故D正确． 12．已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：选C．由题得＋＝＋，设＝t(t>0)，令f(t)＝t＋＝t＋2＋－2≥2－2＝8－2＝6，当且仅当t＋2＝，即t＝2，y＝2x时取等号．所以＋的最小值为6. 13．(13分)甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h.已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成．可变成本是速度平方的，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(5分) (2)为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？(8分) 解：(1)由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为h，所以y＝(v2＋a)＝1 000(v＋)，定义域为(0，80]. (2)y＝1 000(v＋)≥1 000×2＝1 000元，当且仅当v＝，即v＝2时，取等号．因为0<v≤80，所以当0<a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低；当a＞1 600时，函数y＝1 000(v＋)在(0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低． 14．(15分)(2026·上海市期中)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，当取得最大值时，求＋－的最大值． 解：由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均为正实数，所以＝＝，而＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2y时，取等号，得到＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号．所以当取得最大值1时，x＝2y，则z＝2y2，进而＋－＝－＝－(－1)2＋1≤1，当且仅当y＝1，x＝2，z＝2时取等号．因此当取得最大值时，＋－的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $