第1章 第5讲 基本不等式的应用 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

1．当x>a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　)

A．1    B．  

C．2    D．4

解析：选A．因为x>a，则x－a>0，

2x＋＝2(x－a)＋＋2a

≥2＋2a＝8＋2a，

当且仅当2(x－a)＝时，等号成立，

即8＋2a＝10，故a＝1.

2．若b>a>0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．b>>a>

B．b>>>a

C．b>>>a

D．b>a>>

解析：选C．因为b>a>0，所以2b>a＋b，

ab>a2，故b>>>a.

3．若a>b>1，x＝ln ，y＝(ln a＋ln b)，z＝，则(　　)

A．x<z<y     B．y<z<x

C．z<x<y    D．z<y<x

解析：选D．由x＝ln ，y＝(ln a＋ln b)＝ln ，z＝，而a>b>1，则ln a>ln b>0，所以(ln a＋ln b)>，

即y>z，由>，

则ln >ln ，即x>y.

综上，z<y<x.

4．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　)

A．4π    B．8π  

C．12π    D．16π

解析：选B．设圆柱底面圆半径为r(0＜r＜2)，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，当且仅当r2＝4－r2，即r＝时，等号成立．故该圆柱侧面积的最大值为8π.

5．(2026·延边模拟)已知正实数x，y满足x＋y－xy＝0，且不等式x＋y－a>0恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．{a|a<2}    B．{a|a<8}

C．{a|a<6}    D．{a|a<4}

解析：选B．方法一：x＋y－xy＝0可变形为(x－2)(y－2)＝4.设u＝x－2，v＝y－2，x＞0，y＞0，则uv＝4，且u，v>0.此时x＋y＝u＋v＋4.根据基本不等式，u＋v≥2＝4，当且仅当u＝v＝2时取等号，所以x＋y＝u＋v＋4≥8，当且仅当x＝y＝4时取等号．为使不等式x＋y－a>0恒成立，需满足a<(x＋y)min，即a<8.

方法二：设s＝x＋y，则s＞0，由x＋y－xy＝0得xy＝2s，则xy≤()2＝()2，

代入得2s≤，解得s≥8.当且仅当x＝y＝4时，s＝x＋y取得最小值8.为使不等式x＋y－a>0恒成立，需满足a<(x＋y)min，即a<8.

6．(多选)(2025·豫西北教研联盟质检)已知ab＝且a，b∈(0，1)，则(　　)

A．a2＋b2≥    B．b＋a>

C．＋≥4    D．a2＋b≥

解析：选ACD．a2＋b2≥2ab＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，A正确；由ab＝，得b＝，所以b＋a＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，B错误；

＋＝＝4(a＋b)≥8＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立(或＋≥2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立)，C正确；

由ab＝，得b＝，所以a2＋b＝a2＋，令f(a)＝a2＋.因为ab＝，且a，b∈(0，1)，所以<a<1，则f′(a)＝2a－＝，令f′(a)＝0，得a＝，当<a<时，f′(a)<0；当<a<1时，

f′(a)>0.所以函数f(a)在(，)上单调递减，在(，1)上单调递增，所以f(a)在(，1)上存在最小值，且最小值为f()＝，所以a2＋b≥，D正确．

7．(2026·运城月考)已知x，y，a>0，且x＋＋≥8恒成立，则实数a的取值范围是________．