25.2.3 因式分解法 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，课堂导入通过填空回顾乘法公式，复习提公因式法和公式法，再经多项式因式分解练习及公式法解方程，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以物理上抛问题创设情境，引导观察方程结构培养数学眼光，通过配方法、公式法与因式分解法对比，发展转化降次的数学思维，步骤归纳为“一移二分三化四解”并表格对比各解法特点，助力学生规范数学语言表达。学生能提升解题效率与思维能力，教师可依托清晰流程实施教学。

第25章 一元二次方程 25.2.3因式分解法 人教版 （2024）九年级上册 01 02 03 理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个 因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解 技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方 程特征灵活选择最优解法。 经历“观察方程结构一因式分解一降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力。 在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维。 教学目标 1. 填空： (1)a²-b²= ； (2)a²+2ab+b²= . (3)a²-2ab+b²= . 2. 说一说：我们学过哪些因式分解的方法？ (a+b)(a-b) (a-b)² (a+b)² 提公因式法：把公因式提到括号外，各项中不同因式的和放到括号内. 公式法：利用平方差公式、完全平方公式因式分解. 新知导入 3.在横线上写出下面多项式因式分解的结果： (1)4x²+6x= ； (2)x(x-2)-4x+8= ； (3)9x²-4= ； (4)4x²-(x-2)²= . 4.用公式法解下列方程： (1)x²-4x-12=0； (2)x²-8x+9=0. 2x(x+3) (x-2)(x-4) (3x+2)(3x-2) (3x-2)(x+2) （1）x1=6，x2=-2 （2）x1=9，x2=-1 新知导入 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 后离地面的高度（单位：m）约为 10x-5. 提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即10x-5=0. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？ 问题 解： 配方法 公式法 解： a = 5，b =－10，c = 0. b2－4ac= (－10)2－0=100 10x-5=0 10x-5=0 2， 0 -2x=0 -2x+1=1 2， 0 =1 =±1 你还能找到更简便的方法解这个方程吗？ 问题 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x-5=0 x（10-5x）=0 或 x=0 10-5x=0 2， 0 思考 解方程10x-5x2=0 时， 二次方程如何使降为一次的？ 解方程10x − 5x2 = 0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式； （2）把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式； （3）把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； （4）解两个一元一次方程，求出方程的根. 试一试 直接说出下列方程的根： （1）(3x+6)(2x–4) = 0； （2）(x+2)(x–3) = 0； （3）(x+5)(x–1) = 0； （4）x(x–2)= 0； （5）x2 = x. x1= –2，x2= 2. x1= –2，x2= 3. x1= –5，x2= 1. x1= 0，x2= 2. x1= 0，x2= 1. 例4 解下列方程： (1) x(x−2)+x−2=0； (2) 5x2−2x−​=x2−2x+. 解：(1)左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . (2) 移项、合并同类项，得 ， 左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 试一试 ①x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . ⑥ ② ③ ⑤ ⑨ ① ⑦ ⑧ ④ 1. 用因式分解法解方程2x (x+2)+3x+6=0，可得（ ） A. (x+2)(2x+3)=0 B. (x+2)(5x+6)=0 C. 2x²+7x+6=0 D. 6x(x+2)=0 A 2.方程 的根是( ) A. B. C.， D.， D 课堂练习 3.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时，只得出一个根 x＝1，则被漏掉的一个根是（ ） A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0 D 4.解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1 = ， x2 = . x2 + x - 2 = 0 -2 1 5.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x - 5)(x + 2) = 18. 解： 原方程化为： (x - 5)(x + 2) = 18. ① 由 x - 5 = 3，得 x = 8； ② 由 x + 2 = 6，得 x = 4； ③ 所以原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. 解: 不正确.原方程未化成一般形式就进行因式分解. 原方程化为： x2 - 3x - 28 = 0， (x - 7)(x + 4) = 0， x1 = 7，x2 = -4. 解：（1）化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. （2）因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0， 6.解方程： 解得 7．由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)； 2 4 (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0. 解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0， 则x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝4. 因式分解法 解一元二次方程 概念 将方程左边因式分解，右边=0. 依据 如果ab=0，那么a=0，或b=0. 步骤 一移，二分，三化，四解. 课堂小结 25.2.3因式分解法 因式分解法解一元二次方程： 板书设计 谢谢观看 $