1.2 第1课时 空间向量基本定理 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理，涵盖基底概念、正交分解及向量表示方法，通过教室墙角向量等现实情境设计探究问题，承接平面向量基本定理，构建从平面到空间的知识支架，引导学生抽象空间向量关系。 导学案设置梳理教材填空、判断正误巩固概念，典例与分层练习结合，解题感悟提炼方法，培养学生逻辑推理与空间观念，课堂达标检测学习效果，助力学生用数学语言表达空间向量，提升数学思维与应用意识。

1.2 空间向量基本定理 第1课时 空间向量基本定理 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义. 2.了解基底的意义. 3.掌握以空间中三个不共面的向量为基底表示其他向量的方法. 4.运用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题. 一、空间向量基本定理 探究1　（1）我们所在的教室是一个三维立体图形，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ （2）如图所示，空间中任意三个向量，，不共面时，能用这三个向量唯一表示吗？ 探究2　用不共面的三个向量a，b，c表示空间内任一向量p，存在有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc，这样的有序实数组是否唯一？ 探究3　空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？ ⚪梳理教材 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 . 2.基底的概念 （1）定义：如果三个向量a，b，c ，那么所有空间向量组成的集合就是{p｜p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量. （2）性质：空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. ⚪温馨提示　（1）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. （3）若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底. （　 　） （2）两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线.（　 　） （3）若，，能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面.（　 　） （4）若{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且存在实数x，y，z，使xa＋yb＋zc＝0，则x＝y＝z＝0.（　 　） 【典例1】　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底. ⚪解题感悟 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面： (1)首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面； (2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 【练习1】　（1）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是（　 　） A. B. C. D.或 （2）已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m＝a＋2b，n＝a－c构成空间另一个基底的向量是（　 　） A.2a＋2b－c B.a＋4b＋c C.b－c D.a－2b－2c 二、用基底表示空间向量 【典例2】　如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. ⚪解题感悟 用基底表示空间向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. （3）下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 【练习2】　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点. （1）用向量a，b，c表示，； （2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值. ⚪学习目标　1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义. 2.了解基底的意义. 3.掌握以空间中三个不共面的向量为基底表示其他向量的方法. 4.运用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题. 一、空间向量基本定理 探究1　（1）我们所在的教室是一个三维立体图形，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ （2）如图所示，空间中任意三个向量，，不共面时，能用这三个向量唯一表示吗？ 提示：（1）可以. （2）空间中任意三个向量不共面时，设a，b，c不共面，过点O作＝a，＝b，＝c，＝p， 过点P作直线PP'平行于OC交平面OAB于点P'， 在平面OAB内，过点P'作直线P'A'∥OB交OA于点A'，P'B'∥OA交OB于点B'，存在三个实数x，y，z，使得＝x＝xa，＝y＝yb，＝z＝zc，从而＝＋＋＝x＋y＋z＝xa＋yb＋zc， 因此，如果a，b，c是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 探究2　用不共面的三个向量a，b，c表示空间内任一向量p，存在有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc，这样的有序实数组是否唯一？ 提示：唯一. 设另有一组实数x0，y0，z0，使得p＝x0a＋y0b＋z0c， 则xa＋yb＋zc＝x0a＋y0b＋z0c ∴（x－x0）a＋（y－y0）b＋（z－z0）c＝0， ∵a，b，c不共面， ∴x－x0＝y－y0＝z－z0＝0，即x＝x0且y＝y0且z＝z0， 故实数x，y，z是唯一的. 探究3　空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？ 提示：不可以.还需满足三个向量两两垂直. ⚪梳理教材 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得　p＝xa＋yb＋zc　. 2.基底的概念 （1）定义：如果三个向量a，b，c　不共面　，那么所有空间向量组成的集合就是{p｜p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个　基底　，a，b，c都叫做基向量. （2）性质：空间任意三个　不共面　的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量　两两垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. ⚪温馨提示　（1）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. （3）若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底. （　√　） （2）两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线.（　√　） （3）若，，能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面.（　√　） （4）若{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且存在实数x，y，z，使xa＋yb＋zc＝0，则x＝y＝z＝0.（　√　） 【典例1】　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底. [解]　假设，，共面， 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ（－3e1＋e2＋2e3）＋μ（e1＋e2－e3）＝（－3λ＋μ）e1＋（λ＋μ）e2＋（2λ－μ）e3， 又e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基底. ⚪解题感悟 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面： (1)首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面； (2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 【练习1】　（1）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是（　C　） A. B. C. D.或 解析：（1）由＝（a－b）知与a，b共面，所以{a，b，}不能构成空间的一个基底，故选C. （2）已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m＝a＋2b，n＝a－c构成空间另一个基底的向量是（　C　） A.2a＋2b－c B.a＋4b＋c C.b－c D.a－2b－2c （2）因为2a＋2b－c＝a＋2b＋a－c，a＋4b＋c＝2（a＋2b）－（a－c），a－2b－2c＝2（a－c）－（a＋2b），所以向量2a＋2b－c，a＋4b＋c，a－2b－2c均与向量m，n共面.故排除A，B，D.故选C. 二、用基底表示空间向量 【典例2】　如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. [解]　＝＋＝＋ ＝＋（－） ＝＋［（＋）－］ ＝＋×（＋） ＝＋＋. ＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋. ⚪解题感悟 用基底表示空间向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. （3）下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 【练习2】　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点. （1）用向量a，b，c表示，； （2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值. 解：（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1， ＝＋＝－＋－＝a－b－c. ＝＋＝＋ ＝－（＋）＋（＋） ＝－＝a－c. （2）＝（＋）＝（－＋） ＝（－c＋a－b－c）＝a－b－c， 又＝xa＋yb＋zc， ∴x＝，y＝－，z＝－1. ⚪课堂达标 1.（多选）若a，b，c不共面，则（　BCD　） A.b＋c，b－c，a共面 B.b＋c，b－c，2b共面 C.b＋c，a，a＋b＋c共面 D.a＋c，a－2c，c共面 解析：无法得到a＝x（b＋c）＋y（b－c），x，y∈R，得b＋c，b－c，a不共面，A错误；由2b＝（b＋c）＋（b－c），得b＋c，b－c，2b共面，B正确；由a＋b＋c＝（b＋c）＋a，得b＋c，a，a＋b＋c共面，C正确；由c＝[（a＋c）－（a－2c）]，得a＋c，a－2c，c共面，D正确. 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为（　D　） A.a－b＋2c B.a－b－2c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（　A　） A.a B.a C.a D.a 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，设＝a，＝b，＝c，则＝　a＋b＋c　.（用a，b，c表示） 解析：＝＋＋ ＝＋＋ ＝（c－a）＋a＋（b－a） ＝a＋b＋c. ⚪课堂达标 1.（多选）若a，b，c不共面，则（　 　） A.b＋c，b－c，a共面 B.b＋c，b－c，2b共面 C.b＋c，a，a＋b＋c共面 D.a＋c，a－2c，c共面 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为（　 　） A.a－b＋2c B.a－b－2c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（　 　） A.a B.a C.a D.a 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，设＝a，＝b，＝c，则＝ .（用a，b，c表示） 解析版 页 学科网（北京）股份有限公司 $