课时作业12 两直线的交点坐标同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“两直线的交点坐标”同步练，通过基础辨析、中档运算到综合应用的三层设计，覆盖平行垂直判定、交点求解及几何应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行判定、交点坐标代入|选择题1-2直接应用概念，填空题9强化基础运算| |中档层|垂直关系、对称点应用|选择题3-6结合垂足条件推理，填空题10-11深化方程求解| |提升层|直线位置关系、几何综合|解答题14-15以平行四边形为情境，融合交点坐标与图形性质，发展几何直观|

课时作业12 两直线的交点坐标 一、选择题 1．(多选题)下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是(　　) A．2ax－ay＋6＝0(a≠0，a≠－2) B．y＝2x C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0 2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为(　　) A.12 B.10 C.-8 D.-6 3．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 4．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(3,1) D．(3，－1) 5．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　) A．(1，－1) B．(－1,1) C. D．(－2,2) 6.若直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是 (　　) A.　　　B.-　　　C.2　　　D.-2 7.若直线l1:x+my-6=0与直线l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,则 (　　) A.m≠-1,且m≠3 B.m≠-1,且m≠-3 C.m≠1,且m≠3 D.m≠1,且m≠-1 8.直线3x-2y+a=0与直线(a2-1)x+3y+2-3a=0的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.相交或平行 二、填空题 9．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________． 10．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________． 11．已知直线l1:2x-y+1=0与l2:x-2y+5=0相交于点P,则点P的坐标为 ,经过点P且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为 . 12.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,这个定点的坐标是 . 三、解答题 13．若直线l: y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,求直线l的倾斜角α. 14．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 15.已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若直线l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2. (1)求直线l1和l2的交点坐标; (2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程. 课时作业12 两直线的交点坐标 （答案） 一、选择题 1．(多选题)下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是(　　) A．2ax－ay＋6＝0(a≠0，a≠－2) B．y＝2x C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0 解析：选ABC　直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D项错误．其余的A、B、C均满足斜率相等且截距不相等，故选A、B、C. 2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为(　　) A.12 B.10 C.-8 D.-6 解析：将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.故选B. 3．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 解析：选B　∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20. 4．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(3,1) D．(3，－1) 解析：选D　直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选D. 5．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　) A．(1，－1) B．(－1,1) C. D．(－2,2) 解析：选C　点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组并解得所以点P. 6.若直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是 (　　) A.　　　B.-　　　C.2　　　D.-2 解析:依题意,联立方程,得解得所以直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2).因为直线x+ky=0, 2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,所以-1-2k=0,解得k=-. 答案:B 7.若直线l1:x+my-6=0与直线l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,则 (　　) A.m≠-1,且m≠3 B.m≠-1,且m≠-3 C.m≠1,且m≠3 D.m≠1,且m≠-1 解析:因为直线l1:x+my-6=0与直线l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,所以两条直线既不平行也不重合, 所以m(m-2)≠3,解得m≠-1,且m≠3, 所以m的取值范围是m≠-1,且m≠3,故选A. 答案:A 8.直线3x-2y+a=0与直线(a2-1)x+3y+2-3a=0的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.相交或平行 解析:令=-,得2a2=-7,无解,故两条直线不可能平行或重合,必相交. 答案:A 二、填空题 9．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________． 解析：法一：联立得 所以两直线的交点坐标为(14,10)． 由题意可得所求直线的斜率为1或－1， 所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)， 即x－y－4＝0或x＋y－24＝0. 法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0. 答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0 10．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________． 解析：由方程组得 又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝， ∴直线方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0. 答案：5x－15y－18＝0 11．已知直线l1:2x-y+1=0与l2:x-2y+5=0相交于点P,则点P的坐标为 ,经过点P且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为 . 解析:解方程组得 所以点P的坐标为(1,3). 设垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+c=0.因为该直线过点(1,3),所以4×1-3×3+c=0,解得c=5.所以经过点P且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+5=0. 答案：(1,3),4x-3y+5=0. 12.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,这个定点的坐标是 . 解析:将直线方程变形为(x+3y-11)-k(2x-y-1)=0,它表示过直线x+3y-11=0和2x-y-1=0的交点的直线系,解方程组得所以上述直线恒过定点(2,3). 答案：(2,3). 三、解答题 13．若直线l: y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,求直线l的倾斜角α. 解析:如图,直线2x+3y-6=0过点A(3,0),B(0,2),直线l: y=kx-必过点(0,-).当直线l过点A时,两直线的交点在x轴上;当直线l绕点C按逆时针方向旋转时(由位置AC到位置BC,边界不能取到),交点在第一象限.根据kAC==,得到直线l的斜率k>.所以倾斜角α的范围为30°<α<90°. 14．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 解：(1)设点C的坐标为(x，y)， 因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等， 则解得即C(10,6)． 又点M是边AB的中点， 所以M(4,1)， 所以直线CM的方程为＝，即5x－6y－14＝0. (2)因为B(7,1)，D(4,6)， 所以直线BD的方程为＝， 即5x＋3y－38＝0. 由解得即点P的坐标为. 15.已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若直线l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2. (1)求直线l1和l2的交点坐标; (2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程. 解:(1)由已知得直线l1的斜率为-. 因为l1⊥l2,所以==2. 所以直线l2的方程为y-0=2,整理,得2x-y-3=0. 解方程组得 所以直线l1和l2的交点坐标为(2,1). (2)当直线l3经过原点时,可得方程为y=x,即x-2y=0. 当直线l3不经过原点时,设在x轴上的截距为a(a≠0),则在y轴上的截距为2a,则其方程为+=1. 因为该直线过点(2,1),所以+=1,解得a=. 可得直线方程为2x+y-5=0. 综上可得,直线l3的方程为x-2y=0或2x+y-5=0. 学科网（北京）股份有限公司 $