2.3.1 两条直线的交点坐标（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“两条直线的交点坐标”，通过8类题型构建从基础运算到综合应用的梯度，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学运算、逻辑推理和几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|求交点坐标、直线过定点|直接应用方程求解，如题型01交点计算| |提升|由交点求参数、垂直求方程|结合参数分析与位置关系，如题型02参数范围| |综合|三线围成三角形、斜率范围动态分析|多直线关系与动态问题，如题型08线段相交斜率范围|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.1两条直线的交点坐标 目录 ● A组 巩固过关 .2 题型01求直线交点坐标 .2 题型02由直线的交点坐标求参数 .3 题型03直线过定点问题 .4 题型04直线交点系方程及应用.. .6 题型05三线能围成三角形（不能围成） .8 题型06由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标. 10 题型07求点关于直线的对称点… .12 题型08直线与线段的相交关系求斜率范围。.14 B组 能力进阶 .17 C组 思维拔高 .17 拓展 链接高考 .18 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01求直线交点坐标 43x+4y-2=0132x+y+2=0 1.(25-26高三全国·一轮复习)直线： 与： 相交，则交点是() A.(2,-2) B.（-2,2) c.（2,1) D.（1,2) 2.(25-26高三全国一轮复习)直线： 3x+4y-2=0与.2x+y+2=0 相交，则交点是() A.(2,-2) B.(2,2) c.（-2,) D.（1,2) 3.(25-26高二下河南平顶山期中)若直线x-my+7=0与直线x-y-1=0垂直，则这两条直线的交点坐 标为() A （-3,4) B.(3,-4) c.(3-2) D.(32) 颗型02 题型02由直线的交点坐标求参数 4.(25-26高二下河南新乡阶段检测)若直线2x+y-1=0与x+4y-2=0的交点在第二象限，则实数a的 取值范围是() A.（-00,2) B.(-00,8) C.(-0,2] D.(2,8) x+my-6=0 5x-2y+n=0 (6,1) 5.(26-27高三全国一轮复习)已知直线 与直线 垂直，垂足为，则”的值 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() A.7 B.9 C.11 D.-7 6(2026高三全司专题练习)直线4x+6y=2和，x+6y=2交于点P23),则过点 A(a,b)B(a2,b2) 交于点 的直线方程是() A.2x+3y-2=0 B.3x+2y-2=0 C.3x+2y+2=0 D.2x+3y+2=0 颗型03 题型03直线过定点问题 7.(25-26高二上广东期中)已知直线： 1x+my-2m=0 12mx-y+m-3=0 与直线： 交于点P,则() A,点P为定点 B.直线可能同时经过第三、四象限 PO C.直线2可能不经过第三象限 D.存在定点P,使得P9 为定值 8(2526高二上河北唐山期中)直线4+22)x+1+2y-2-4=0(2为任意实数)过定点《） A.(0,2) B.(2,0) c(2,) D.(,2) 9.(25-26高二上·河北邢台期中)以下四个命题是真命题的是() A.直线m+lx-2my-3=0(m∈R) (3,6) 恒过定点 B.若直线：mx+y-1=0与4：3x-(m-y+3=0互相垂直，则m= 2 C.已知直线：ax+y-2=0与5：m-(a-2y+1= 平行，则a=1 A3,1) D.过点 的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为-y-2=0或-3y=0 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 题型04直线交点系方程及应用 10.(24-25高=上江苏阶段检测)若P2.3)慨是1aB(a,）的中点，又是直线5：a+y-5=0与 2:a2x+b2y-m=0 直线 的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是() A,3x-2y=0B.3x-2y-12=0C.2x-3y-13=0D.2x-3y+5=0 1.(23-24商二下上海阶段检测)已知直线的方程是6a-1)x-(a-2)y-1=0 则对任意的实数“，直 线一定经过(）· A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 x+(m+1)y-2m-2=0 12:(m+1)x-y-2m-2=0 12.(23-24高二上河南三门峡·阶段检测)直线 与直线 相交于点卫，对任意实数m直线人，分别恒过定点4，B,则P4+P8 的最大值为() A.4 B.8 c 2v2 D.4V2 颗型05 题型05三线能围成三角形（不能围成） :y=x+112:y=-2x+443:mx+y+1=0 13.(24-25高二上陕西宝鸡·期中)己知三条直线 不能围成 三角形，则实数m的取值集合为() A.红-2} B.红-23y c.{12,-3y D.l2} :ax+y+1=012:x+y+1=0 14.(2425高二上湖北期中)设a为实数，若直线 4/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :(a2+a-5)x+3ay-3=0 两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，？，有() A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 15.(23-24高二上全国课后作业)使三条直线4x+y-4=0,x+y=0,2x-3my-4=0不能围成三角形的 实数的值最多有几个() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 题型06 题型06由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 16.(25-26高二上安徽滁州阶段检测)直线1经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且与 直线+2y+1=0垂直，则1的方程是() A.2x+y-5=0B.2x-y-7=0C.2x+y+7=0D.2.x-y+5=0 17.(25-26高二上安徽滁州阶段检测)直线1经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且与 直线x+2y+1=0垂直，则'的方程是() A.2x+y-5=0B.2x-y-7=0 C.2x+y+7=0D.2x-y+5=0 :x+3y-2=0,12:x-y+2=0 18.(25-26高二上·江苏常州阶段检测)经过 与 的交点且垂直于的直线方程 是() A.3x+y-4=0 B.3x-y+4=0 C.x-3y+6=0 D.3x-y-6=0 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 题型07求点关于直线的对称点 19.(25-26高二上·广东深圳期中)原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为() 2525 (86 c.(6,4) D.(4,3) 20.(25-26高二上·广东深圳期中)原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为() 2525 B.(86 c.(3,4) D.(4,3) 21.(25-26高二上·内蒙古通辽·期中)（多选题）下列说法中正确的有（) A.直线+(k-1+2=0t宽(2,0) 过定点 B.点关于直线-y+1= 的对称点为(0,2) C.直线1：x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D.方程mx+y-2=0(m∈R)能表示平行于x轴的直线 题型08 题型08直线与线段的相交关系求斜率范围 A(-1,5),B(0,0) 22.(23-24高二上·重庆长寿·期末)已知两点 1:k+1x-(2k-2y+2k-6=0与 若直 线段AB有公共点，则直线斜率的取值范围为() A B.（-o,-[,+o) c.（∞，-[0，] D.[-1,o[l,+o) 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(25-26高二上重庆·阶段检测)（多选题）下列说法正确的是() 2 A.若直线的一个方向向量为(2,3)，则该直线的斜率为k= 3 B.a=-l”是“直线 2x-y+1= 与直线x-y-2=0 互相垂直”的充分不必要条件 C.已知直线'过定点P0且与以42-3)B(-3-2 为端点的线段有交点，则直线的斜率《的取值 D.不经过原点的直线都可以用方智后若-口生06：0)表示 24.(25-26高二下·辽宁鞍山阶段检测)（多选题）下列说法正确的是() A.直线的一个方向向量为 =(1,2),则直线1的斜率等于-2 B.a=-1”是“直 与直线-aw-2=0 ax-y+1=0, 互相垂直”的充要条件 点P6,2）到直线：m-y+-2m=0的距离最大时，m的值为 C.当 D.已知直线1过定点P,0)且与y4(2-3),B(3,-2 为端点的线段有交点，则直线【的斜率k的取 范国是(-小[+ B组 能力进阶 1.(24-25高二上浙江绍兴期中)若直线x+y+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点， 则a=() A.2 B.4 C.6 D.8 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高三上河北张家口期末)己知直线上：x-2y+4=0的倾斜角为Q,直线1与y轴的交点为点A, /绕点顺时针方向旋转5得到直线.与销的交点为店。则点的坐标是（) B.(8,0) C.(4,0) D.(6,0) 3.(24-25高二上辽宁葫芦岛期末)直线2x-y+3=0与x+y-1=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标 为() A.(,5) B.（1-) c.（1,) D.（2-) 4(25-26高二上湖北襄阳期中)过直线：V3x+3y-5-6=0与5：y=V6+2-V6x 的交点，且与直线 x+2y-3=0 垂直的直线的方程为() A.2x+y=4B.2x-y=4 C.2x+y=0 D.2x-y=0 5(C23,4高二上安徽宿州阶段检测)者=-的图象与直线=a+a< 有两个不同的交点，则 的取值范围是() A.-1<a<0 B.a<-1 C.a<0 D.a=-1 6.(25-26高二上山西期中)在△ABC中，点A的坐标为(2,3)，AC边的中线所在的直线方程为 2x-y+5=0AB +y-3=0 边的高线所在的直线方程为 ,则点C的坐标为() n. 8/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.(25-26高二上山西期中)在△ABC中，点A的坐标为(2,3)，AC边的中线所在的直线方程为 2x-y+5=0AB x+y-3=0 边的高线所在的直线方程为 ,则点C的坐标为() (817 B D.3’3 2.(24-25高二上广东东莞阶段检测)若直线： x+2y-4=0 12c-y+2k+1=0 与直线： 的交点位于第 一象限，则实数k的取值范围是() 金〔 e（传 p（(石+ 3.(25-26高二上北京平谷期末)a=1”是“直线 +ay+1=0,(a+1)x+2y-2=0 和 平行”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4(25-26高三上河北石家庄阶段检测)己知△ABC的顶点A(3,2),AB边上的中线CM所在直线方程为 3x-y-4=0 BC 2x+y-5=0,AC BH ，直线的方程为 ，则边上的高所在直线方程为() A.x+2y-8=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+6=0 D.2x+y-5=0 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 :x-y=042:x+y-2=04:5x-y-15=0 1.(2026广东模拟预测)已知直线 能构成三角形，设满足 条件的k值构成集合A,则的子集个数为() A.8 B.16 C.2 D.1 2.(25-26高二上·山东临沂·期中)已知两直线 :ax-2y+1=0☑2：x-ay-2=0 与 ,则下列说法正确的是( ) A.当% 时，a=V2 B.当-时，1 C.当a=2时，直线L与坐标轴围成的三角形的面积为1 D.当a=一2时，直线1，l与y轴围成的三角形的面积为2 10/10 分层作业 2.3.1 两条直线的交点坐标 目 录 2 题型01 求直线交点坐标 2 题型02由直线的交点坐标求参数 3 题型03直线过定点问题 4 题型04直线交点系方程及应用 6 题型05三线能围成三角形（不能围成） 8 题型06由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 10 题型07求点关于直线的对称点 12 题型08直线与线段的相交关系求斜率范围 14 17 17 18 题型01 求直线交点坐标题型01 1.（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 3.（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 题型02由直线的交点坐标求参数题型02 4.（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 5.（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程、由直线的交点坐标求参数 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 6.（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的方程的概念、由直线的交点坐标求参数 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 题型03直线过定点问题题型03 7.（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 【答案】D 【知识点】直线过定点问题 【分析】由的取值不确定，则点的位置不确定，判断A；根据直线过定点的位置，判断BC；由两直线垂直得，可得存在定点，使得为定值，判断D. 【详解】联立，可得，显然点随的变化而变动，故A错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上，不可能同时经过第三、四象限，故B错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限，直线经过第三象限，故C错误； 当时，；当时，，则，所以， 则，取的中点，则为定值，故D正确. 故选：D. 8.（25-26高二上·河北唐山·期中）直线（为任意实数）过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线过定点问题 【分析】含参数的项合并，让参数的系数为0,看成两直线的交点. 【详解】由题意整理得:,令，解得. 所以直线（为任意实数）过定点 故选：B. 9.（25-26高二上·河北邢台·期中）以下四个命题是真命题的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则 C．已知直线：与：平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 【答案】BD 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】选项A：分离参数求定点，得.选项B：用一般式垂直的条件算得.选项C：用一般式平行条件，并且检验直线重合的情况.选项 D：分截距为0和不为0两种情况推导. 【详解】对于A，可化为， 令 ，解得定点为， 直线恒过定点，所以A错误． 对于B，若，则，解得，所以B正确． 对于C，若，则，解得或， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，所以C错误． 对于D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：BD 题型04直线交点系方程及应用题型04 10.（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线交点系方程及应用 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 11.（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 12.（23-24高二上·河南三门峡·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】条件等式求最值、由一般式方程判断直线的垂直、直线交点系方程及应用 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 题型05三线能围成三角形（不能围成）题型05 13.（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 14.（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【知识点】已知直线垂直求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 15.（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 题型06由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标题型06 16.（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 17.（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 18.（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为， 由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得. 故选：B. 题型07求点关于直线的对称点题型07 19.（25-26高二上·广东深圳·期中）原点关于直线的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设出原点关于已知直线的对称点的坐标，然后根据已知直线是线段的垂直平分线，得到斜率乘积为且的中点在已知直线上分别列出两个关于与的方程，联立两个方程即可求出与的值，从而可得的坐标. 【详解】设原点关于直线的对称点坐标为， 直线的斜率， 因为直线与已知直线垂直，，即，① 且线段的中点在已知直线上 将代入直线得：，② 联立①②解得： 的坐标为. 故选：D. 20.（25-26高二上·广东深圳·期中）原点关于直线的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设出原点关于已知直线的对称点的坐标，然后根据已知直线是线段的垂直平分线，得到斜率乘积为且的中点在已知直线上分别列出两个关于与的方程，联立两个方程即可求出与的值，从而可得的坐标. 【详解】设原点关于直线的对称点坐标为， 直线的斜率， 因为直线与已知直线垂直，，即，① 且线段的中点在已知直线上 将代入直线得：，② 联立①②解得： 的坐标为. 故选：D. 21.（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）(多选题）下列说法中正确的有（    ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．直线l：与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．方程（）能表示平行于x轴的直线 【答案】BCD 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求点关于直线的对称点 【分析】求得定点坐标判断A；求得对称点坐标判断B；求得三角形面积判断C；举特例即可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 则直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点，故A错误； 对于B，点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令，则，令，则， 所以直线与两坐标轴的交点为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确； 对于D，当时，直线平行于轴，故D正确. 故选：BCD. 题型08直线与线段的相交关系求斜率范围题型08 22.（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 又点，由题意如图所示： 则， 因为直线与线段有公共点，由图象可得直线斜率的取值范围为， 故选：A. 23.（25-26高二上·重庆·阶段检测）(多选题）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【答案】BC 【知识点】已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围、点方向式方程 【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围；D注意不过原点且垂直于坐标轴的直线； 【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，故A错； B：直线与直线互相垂直的充要条件为， 即或， 故已知条件间关系为充分不必要条件，故B对； C：由，， 由图知斜率的取值范围是，故C对； D：对于不过原点且垂直坐标轴的直线，不能用表示，故D错. 故选：BC 24.（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）(多选题）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 1.（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 2.（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】先根据直线方程求出倾斜角的正切值，再利用两角差的正切公式求出直线的斜率，然后根据直线过点，求出其方程，最后令求出点的坐标即可. 【详解】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点， 所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，令，可得，所以. 故选：D 3.（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 4.（25-26高二上·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】先求直线与的交点，再利用垂直直线的斜率关系求得斜率，代入点斜式方程求解即可. 【详解】联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线的斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即. 故选：D 5.（23-24高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 6.（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 1.（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 2.（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 3.（25-26高二上·北京平谷·期末）“”是“直线和平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行求出，利用充分条件和必要条件即可求解. 【详解】由直线和平行，所以或， 所以直线和平行，但直线和平行， 所以是直线和平行的充分不必要条件， 故选：A. 4.（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】根据的直线方程，与的直线方程联立求点的坐标，根据题意求得点的坐标，再求出直线的斜率，再利用点斜式方程求解即可． 【详解】联立与的方程， 得，解得：； 设，则， 即， 将代入得， ， 联立①②，解得：，即， 直线的斜率为， 高的斜率为：， 所以直线的方程为：， ， 故选：D． 1.（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、三线能围成三角形的问题 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 2.（25-26高二上·山东临沂·期中）已知两直线与，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为1 D．当时，直线与轴围成的三角形的面积为 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【分析】利用平行、垂直的充要条件求出参数值判断AB；求出面积判断C；求出两直线交点坐标，进而求出面积判断D. 【详解】对于A，当时，显然，所以，解得，A错误； 对于B，当时，两直线分别为与， 此时不成立，B错误； 对于C，当时，直线交轴于点，交轴于点， 因此直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 对于D，当时，直线交轴于点， 直线交轴于点， 由，解得，则直线将于点， 因此直线与轴围成的三角形的面积为，D正确. 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $