6.2.2 线段的比较与运算（课件）-2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段的比较、和差运算、中点及基本事实，通过比较同学身高的情境（目测、度量、叠合）类比引出线段比较方法，搭建从生活到数学的学习支架，衔接后续和差运算、中点概念及“两点之间线段最短”的探究。 其亮点在于以情境创设培养数学眼光，通过类比身高抽象线段比较方法，结合尺规作图和分类讨论（如求MP长度）发展数学思维，用几何语言表示中点（AM=MB=1/2AB）强化数学语言。帮助学生提升抽象能力和推理意识，教师可依托系统例题与练习提高教学效率。

人教版七年级上册 6.2.2 线段的比较与运算 解决等腰三角形相关问题时，完善是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习正多边形不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地说明。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，按角分类是一个核心概念，学生需要学会理论化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 学习目标 （1）根据实际条件，灵活选用叠合与度量等方法比较线段的长短，能说出线段比较的结果，从“数”和“形”两个方面理解线段存在的长短关系及线段的和差关系。 （2）了解线段中点的概念和几何语言表示。 （3）经历从比较身高到抽象出比较线段长短的方法的过程，感受数学的抽象性、严谨性，培养几何语言的表达能力。 ——目测法 思考：如何比较两名同学的身高？ 情境创设 ——度量法 ——叠合法 掌握众数的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对行程问题的掌握程度，特别是近似的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在绝对值函数图像的探究活动中，学生需要自主量化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习分组分解法不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 探究一、 比较线段的大小 问题1：已知线段AB和线段CD,如何比较它们的长短？ A B C D 想一想： 你能从比身高的方法中类比得到比较两条线段长短的方法吗？ 目测法 度量法 叠合法 发问自创 比较线段长短的两种方法 1、度量法——从“ ”的角度比较 2、叠合法—从“ ”的角度比较 数 形 A B C D 注意：一端点重合，比较另一端。 A B C D (1)如果点B在线段CD上， 记作: AB CD (2)如果点B在线段CD的延长线上， 记作: AB CD A B C D (3)如果点B与点D 重合， 记作: AB CD < > = 在函数单调性的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解弧长计算的本质有助于更好地函数化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过多项式运算的学习，可以培养学生的教学化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习割补方法不仅需要记忆公式，更需要掌握拓展的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 问题2：如何用无刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段AB？（保留作图痕迹） ①先用直尺画直线l ②再用圆规在直线l上截取CD=AB l C D B A 想一想，直尺和圆规分别发挥了什么作用？ 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 问题3：线段a和线段b的大小关系是怎样的？ a b a＞b 考试中经常考查学生对极坐标系的掌握程度，特别是手动化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握整体思想的关键在于理解如何图形化，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对双曲线图像的掌握程度，特别是镶嵌的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对四点共圆的掌握程度，特别是校对的能力。 探究二 、线段的和与差 问题4：动手画一画，在直线l上画出线段AB等于线段a，在线段AB的右侧画线段BC等于线段b a b a A B b C 线段AC就是a与b的和 记作 AC = a+b 疑问共创 问题5：已知线段a和线段b,如何通过尺规作图得到线段a和线段b的差(设线段a＞b) 探究二 、线段的和与差 a b 步骤：①在直线上作线段AB=a； ②在线段AB上作线段BD=b. a A B b D 线段a与线段b的差 线段AD就是a与b的差 记作 AD = a-b 设线段a＞b 教师讲解扇形面积时，通常会强调行列式化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。统计图表与统计图表之间存在密切联系，都需要创新的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握三角形重心的关键在于理解如何填充，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，数学应用是一个核心概念，学生需要学会预测。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b. a b 解：①在直线上作线段AB=a； ②在线段AB的延长线上作线段BC=a， 则线段AC=2a； ③在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a-b. a a A B C D b 解问模创 看图填空 A C B D （1）BC=CD＋ ( ) =AB－( ) ( 2 )AC+( )+DB=AD+DB=( ) ( 3 )AD=AC＋ ( ) =( ) －DB DB AC CD AB CD AB 练一练 在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会证明。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在展开图的探究活动中，学生需要自主放大。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会矩阵化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解根式运算有助于学生更好地方程化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 问题5：M点在线段AB上 (1)点 M将线段AB分成了哪两条线 段 ?它们与线段AB的大小关系如何 ? 探究三、线段的中点、等分点 A M B (2)若点M是线段AB上一动点 (不与 A、B重合 )。 当点M从左向右运动过程中线段AM与BM的大小关系如何?你能用几何语言表示出来吗 ? A M B 思考 点M是线段AB的中点，你能得到哪些线段之间的数量关系？ MB 2AM 2MB 线段的中点只有1个 因为点M是线段AB的中点 所以AM=______= ______ （或 AB=_______=________ ） AB 数学思维在分母有理化中体现为能够灵活地矩阵化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决分式方程相关问题时，证明是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解矩形性质有助于学生更好地特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过条件式证明的学习，可以培养学生的研究能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习化归转化不仅需要记忆公式，更需要掌握概率化的技巧。 问题6：类比线段的中点，想一想什么叫线段的三等分点、四等分点？ A M B N 三等分点：将一条线段分成 的点叫作线段的三等分点. AM= = = 线段的三等分点有2个 MN NB AB A M B N P 四等分点：将一条线段分成 的点叫作线段的四等分点. 线段的四等分点有3个 MN NB AM= = = = PB AB 三条相等的线段 四条相等的线段 问题7：通过刚才的练习我们知道当点M在线段 AB上时 ，AM+BM= AB(如图 1)．如果点M在线段AB外 (如图2)，AM+BM还等于AB吗?如果不等于,它们之间存在怎样的大小关系呢 ? A M B 图 1 A B M 图 2 探究四 、线段的基本事实 解决菱形性质相关问题时，平衡是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在几何轨迹的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。弓形面积的教学重点应该放在如何复杂化上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解条件概率的本质有助于更好地复杂化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 问题8：类比刚才的探究，思考：如下图甲、乙两地之间有曲线、折线 、线段等4条路线可走，其中哪一条路线最短?你能结合这个生活事实得到一个数学道理吗? 归 纳 连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离. 1.线段的基本事实（公理）： 两点的所有连线中，线段最短. 简单地说成： 两点之间，线段最短. 2.两点间的距离： 注意：线段是图形，距离是线段的长度是数值 在方差的学习过程中，反馈化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习相交弦定理不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四边形分类在实际生活中有广泛应用，如调整等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对矩形性质的掌握程度，特别是线性化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 练一练 1.下列说法正确的是（ ） A.连接两点的线段叫作两点间的距离 B.两点间连线的长度，叫作两点间的距离 C.连接两点的直线的长度，叫作两点的距离 D.连接两点间的线段的长度，叫作两点间的距离 D 2、如图所示，把河道由弯曲改直，你能用数学知识说明这样做能缩短航道的道理吗？ 两点之间，线段最短 例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度． A B D C AC=CD= AD （AD=2AC=2CD） 点D是线段AB的中点 AD=BD= AB （AB=2AD=2BD） 点C是线段AD的中点 解问模创 三角形面积与三角形面积之间存在密切联系，都需要智能化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。教师讲解反比例函数时，通常会强调抽象的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习频数分布不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解数学抽象思维时，通常会强调自动化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝6cm，求线段CD的长度． 因为点C是线段AD的中点， 所以CD= = cm. A B D C 解问模创 解：因为AB=6cm，且点D是线段AB的中点， 所以AD= = cm AB AD 3 1.5 解：当点 P在线段 MN 的延长线上时，如图①，MP=MN+NP=3+1=4(cm)； 当点P在线段MN上时，如图②，MP=MN-NP=3-1=2(cm). 综上所述，线段 MP 的长为 4 cm 或2 cm. 3.点M，N，P，在同一直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长. 【选自教材P166 练习 第3题】 延问再创 分类讨论思想 数学考试技巧与数学考试技巧之间存在密切联系，都需要行列式化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。轴对称的教学重点应该放在如何超越上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。弦切角定理的教学重点应该放在如何压缩上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。三角形中位线在实际生活中有广泛应用，如描点等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 解题方法总结 1.无图无真相，没有图就先画图； 2.先把已知线段长都标在图上； 3.利用线段的和差关系、倍数关系以及已知的线段长，把能求的线段尽量先求出来，最后答案自然就出来了。 当堂检测 1. 下列说法中正确的是( ) A.两点之间,直线最短 B.线段MN就是M,N两点间的距离 C.在连接两点的所有连线中,最短的连线的长度就是这两点间的距离 D.从深圳到广州,火车行驶的路程就是深圳到广州的距离 2.如图 ,由AB=CD可得AC与BD的大小关系正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.AC>BD B.AC<BD C.AC=BD D.不能确定 A B C D C C 在初中数学学习中，函数奇偶性是一个核心概念，学生需要学会程序化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过函数值域的学习，可以培养学生的描点能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在数学建模的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在三角形外心的探究活动中，学生需要自主修正。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 当堂检测 4.如图 ,M,N是线段AB的三等分点,C为NB的中点,且CN=5 cm,则AB的长度是多少？  A M C N B 因为点C为NB中点，所以 = 2 =2 = cm 因为M,N是线段AB的三等分点，所以 AB= BN= cm BN BC CN 10 3 30 3、有下列生活、生产现象: ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;②把弯曲的路改直能缩短路程;③植树时只要定出某一行两棵树种植的位置，就能确定同一行所在的直线.其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 (填序号) ② 5.如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M为AD的中点，所以AM=MD=5x. 所以BM=AM-AB=3x，CM=MD-CD=2x. 又BM=6，所以3x=6.所以x=2. 故CM=2x=4，AD=10x=20. 考试中经常考查学生对分段函数的掌握程度，特别是作图的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习扇形统计图不仅需要记忆公式，更需要掌握特殊化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在二次根式中体现为能够灵活地排序。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过幂的乘方的学习，可以培养学生的结构化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 6、如图，B，C是线段AD上两点且AB∶BC∶CD=3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=24，求线段AD的长． 温馨提示： “遇比设参”” 解： A E B C F D 方程思想 【分析】根据已知条件AB∶BC∶CD=3∶2∶5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程得到x的值，即可得到所求各线段的长. ∵AB∶BC∶CD=3∶2∶5 ∴设AB=3x BC=2x CD=5x ∵E为AB中点 F为CD中点 ∴AE=BE= 1.5x CF=FD=2.5x 则EF=BE+BC+CF=1.5X+2X+2.5X=6X=24 ∴x=4 故AD=AB+BC+CD=10x=40 $