27.3　实际问题与反比例函数同步练2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本练习通过“基础达标+能力提升”分层设计，以概念辨析→实际建模→综合应用为路径，强化反比例函数实际应用能力，体现数学建模与跨学科应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|反比例函数概念辨析、解析式建立、简单实际应用|选择填空为主，融入中考题（如盐城中考题），聚焦概念理解与基本建模| |能力提升|图象分析、综合问题解决、跨学科情境应用（物理杠杆/功、生物瞎转圈现象）|解答题占比高，结合函数图象与实际问题（如药物浓度变化），培养推理能力与应用意识|

第2课时　建立反比例函数模型 建立反比例函数模型 1.(跨学科)某数学兴趣小组根据所学函数的经验,发现:当做功一定时,功率P(单位:W)与做功的时间t(单位:s)存在反比例函数关系.下表是他们实验的几组数据: t/s 10 20 30 40 50 P/W 120 60 40 30 24 则功率P(单位:W)关于做功的时间t(单位:s)的函数解析式是 (　　) A.P= B.P=1 200t C.P= D.P= 2.(跨学科)天天同学通过学习数学和物理知识,知道了电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.已知波长λ与频率f之间存在一定的关系,下表是它们的部分对应值. 频率f/MHz 10 25 30 波长λ/m 30 12 10 (1)求波长λ关于频率f的函数解析式. (2)当f=75 MHz时,求此电磁波的波长λ. 1.某运输公司计划运输一批货物,每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示: 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (1)这批货物共有多少吨? (2)用t表示运输的天数,用a表示每天运输的吨数,用式子表示t与a的关系.t与a成什么比例关系? (3)当t=3时,求a的值. 2.(应用意识)综合与实践 如图1,在左边托盘A(固定)中放置一个重物,在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡.改变托盘B与点O间的距离,记录相应的托盘B中的砝码质量,得到下表: 托盘B与点O间的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 图1　　　　　　　　　图2 (1)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标,在如图2所示的平面直角坐标系中描出这些点,并用一条光滑曲线连接起来. (2)观察(1)中所画的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数解析式. (3)当托盘B中的砝码质量为24 g时,求托盘B与点O间的距离. (4)当托盘B向左移动6 cm时,为使得仪器在移动前后均保持左右平衡,托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍,求在移动前托盘B中的砝码质量. 【详解答案】 基础达标 1.A 2.解:(1)由题表可知,波长λ与频率f成反比例,设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=(k≠0),∵当f=10 MHz时,λ=30 m,∴=30,解得k=300,∴λ=. (2)当f=75 MHz时,λ==4(m). 答:当f=75 MHz时,此电磁波的波长λ为4 m. 能力提升 1.解:(1)500×1=500(t). 答:这批货物共有500 t. (2)t=,t与a成反比例关系. (3)当t=3时,3=, 解得a=. 2.解:(1)描点、画图如图所示. (2)由图象猜测y与x之间是反比例函数关系, ∴设y=(x>0,k≠0),将(10,30)代入,得30=, 解得k=300, ∴y关于x的函数解析式为y=(x>0). (3)将y=24代入y=,得24=, 解得x=12.5, ∴当托盘B中的砝码质量为24 g时,托盘B与点O间的距离是12.5 cm. (4)设移动前托盘B中的砝码质量为m g,托盘B与点O间的距离为a cm, 由题意得 解得m=25. ∴在移动前托盘B中的砝码质量为25 g. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3实际问题与反比例函数 第1课时　反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用 1.考试人数、及格人数和及格率三个量中,当　　　　一定时,其他两个量成反比例,横线处是 (　　)  A.考试人数 B.及格人数 C.及格率 D.无法确定 2.(2025盐城中考)博物馆到小明家的路程为8 km,小明回家所需时间t(单位:h)随平均速度v(单位:km/h)的变化而变化,则t关于v的函数解析式是 (　　) A.t=8v B.t=v C.t= D.t=8v2 3.(跨学科)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位: m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是 (　　) A.5 kg/m3 B.2 kg/m3 C.100 kg/m3 D.1 kg/m3 4.已知某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪,草坪的一边长y(单位:m)随它的邻边长x(单位:m)的变化而变化,根据题意列函数解析式为　　　　　　　.  5.(跨学科)(2025德阳中考)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”:阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m,当动力为1 200 N时,动力臂是　　　　 m.  6.将油箱注满k L油后,轿车可行驶的总路程s(单位:km)与平均耗油量a(单位:L/km)之间满足反比例函数关系:s=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为0.1 L/km的速度行驶,可行驶700 km. (1)求该轿车可行驶的总路程s关于平均耗油量a的函数解析式. (2)当平均耗油量为0.08 L/km时,该轿车可以行驶多少千米? 1.如图,某市煤气公司计划在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室,则储存室的底面积S(单位: m2)关于其深度d(单位:m)的函数图象大致是 (　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 2.验光师检测发现近视眼镜的度数y(单位:度)与镜片焦距x(单位:m)成反比例,y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距由0.25 m调整到0.5 m,则近视眼镜的度数减少了 (　　) A.150度 B.200度　 C.250度　 D.300度 3.(跨学科)(2025长春中考)在功W(单位:J)一定的条件下,功率P(单位:W)与做功时间t(单位:s)成反比例,P(单位:W)与t(单位:s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时,P的值可以为 (　　) A.24　　　　B.27　　　　C.45　　　　D.50 4.如图是台阶状的折线示意图,每级“台阶”的高和宽都是1,“台阶”的最高点为A(1,4),若反比例函数y=(x>0)的图象与该折线有公共点,则k的整数值有　　　　个.  5.1896年,挪威生理学家古德贝发现,每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点,这就导致每个人在蒙上眼睛行走时,虽然主观上沿某一方向直线前进,但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究,某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y(单位:m)是其两腿迈出的步长之差x(x>0)(单位:cm)的反比例函数,其图象如图所示.请根据图象中的信息解决下列问题: (1)求y关于x的函数解析式. (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5 cm时,他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70 m,求其两腿迈出的步长之差最多是多少. 6.(应用意识)某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物试验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y(单位:μg/mL)与服药时间x(单位:h)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例). (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y关于x的函数解析式. (2)血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为多少小时? 【详解答案】 基础达标 1.B　2.C　3.D　4.y=(x>0) 5.0.5 6.解:(1)当a=0.1时,s=700,∴700=,解得k=70, ∴s关于a的函数解析式为s=. (2)当a=0.08时,s==875. 答:该轿车可以行驶875 km. 能力提升 1.A　解析:由题意,得S=,且d>0,故S与d成反比例函数关系,且其图象位于第一象限.故选A. 2.B　解析:设y=(k≠0),∵(0.2,500)在函数图象上,∴k=500×0.2=100,∴函数解析式为y=.当x=0.25时,y==400,当x=0.5时,y==200,∴度数减少了400-200=200(度).故选B. 3.C　解析:设P(单位:W)关于t(单位:s)的函数解析式为P=(k≠0,t>0),把(60,20)代入解析式,得20=,解得k=1 200,∴P(单位:W)关于t(单位:s)的函数解析式为P=(t>0).当t=25时,P==48,当t=40时,P==30,∴当25≤t≤40时,30≤P≤48.故选C. 4.4　解析:如图,由题意得A(1,4),B(1,3),C(2,3),D(2,2),E(3,2),F(3,1),G(4,1), ∴k的最小值为反比例函数图象过B点和F点时,此时k=3,最大值为反比例函数图象过C点和E点时,此时k=6,∴3≤k≤6,∴k的整数值有4个. 5.解:(1)设y关于x的函数解析式为y=, ∵函数图象过点(2,7), ∴7=,∴k=14, ∴y关于x的函数解析式为y=(x>0). (2)当x=0.5时,y==28, ∴当某人迈出的步长之差为0.5 cm时,他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28 m. (3)由题意得y≥70,即≥70, ∴x≤0.2, ∴若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70 m,则其两腿迈出的步长之差最多是0.2 cm. 6.解:(1)由题图可知,当0≤x≤4时,y与x成正比例,所以设y=kx. 由题图可知,当x=4时,y=8,所以4k=8,解得k=2, 所以y=2x(0≤x≤4). 由题意可知,当4≤x≤10时,y与x成反比例,所以设y=,把(4,8)代入,得 8=,解得m=32, 所以y=(4≤x≤10). 所以血液中药物浓度上升和下降阶段y关于x的函数解析式分别为y=2x(0≤x<4)和y=(4≤x≤10). (2)血液中药物浓度不低于4 μg/mL,即y≥4,所以2x≥4且≥4, 解得x≥2且x≤8,即2≤x≤8. 8-2=6(h),即持续时间为6 h. 学科网（北京）股份有限公司 $