27.3 实际问题与反比例函数同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，分层设计从基础表达式构建到综合模型应用，梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一情境列反比例函数|选择1杠杆原理、填空7氧气密度等直接考查表达式构建，强化概念理解| |提升层|图像分析与性质应用|选择4密度计图像判断、填空11汽车功率图像计算，培养几何直观与推理意识| |综合层|跨情境综合建模|解答18砗磲生长模型选择与计算，融合数据处理与模型观念，提升应用能力|

答案和解析 1.【答案】  【解析】解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和， 动力单位：关于动力臂单位：的函数解析式为：， 则， 2.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 与的函数关系式为， 故选：． 3.【答案】  解：由表格数据可得：此函数是反比例函数， 设解析式为：， 则， 故与之间的关系的式子是， 故选A． 4.【答案】  解：浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数， 可设， 由图象可知，当时，， ， ． 对于选项：当时，随的增大而减小，说法正确，不符合题意； 对于选项：令，则， 结合函数图象可知，当时，，即该说法正确，不符合题意； 对于选项：当时，，即该说法正确，不符合题意； 对于选项：令，则， 解得：， 结合函数图象可知，当时，， 该说法不正确，符合题意． 5.【答案】  【解析】A.如图所示， 频率相同，均为时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，符合题意 B.对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，故原选项错误，不符合题意 C.如图所示， 长度相同，均为时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，故原选项错误，不符合题意 D.对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越小，故原选项错误，不符合题意故选A． 6.【答案】  【解析】由条件可知的值即为二氧化氯质量， 描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两瓶二氧化氯质量相等， 乙瓶的的值最大，即二氧化氯质量最多，丙瓶的的值最小，即二氧化氯质量最少故选C． 7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】【小题】 【小题】   10.【答案】  【解析】设反比例函数的解析式为． 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，， 反比例函数的解析式为． 当时，． 故当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 11.【答案】  解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率瓦为一定值，可得， 当它所受牵引力为牛时， 汽车的速度为米秒． 12.【答案】  【解析】，，，， 根据题意，得与的积恒为，即与的关系用式子表示为， ．， 当时，，他镜片度数是度． 13.【答案】【小题】    【小题】   14.【答案】【小题】 设，由题意，得， 这个反比例函数的解析式为． 【小题】 当电阻为时，，此时的电流为．   15.【答案】【小题】 ， 只有第五组，显然错误． 根据乘积为定值知，是关于的反比例函数． 故关于的函数的解析式为． 【小题】 受力面积至少为． 当时， 故受力面积至少为． 16.【答案】【小题】 解：图略． 【小题】 由图象猜测与之间是反比例函数关系，设将代入，得，解得．将其余各点代入验证均适合，与的函数关系式为． 【小题】 当时，，解得．当砝码质量为时，拖盘与点的距离是．   17.【答案】【小题】 当时，设与之间的函数表达式为． 把点，分别代入， 得解得 所以． 在中，令，得， 所以， 所以当时，． 当时，设与之间的函数表达式为． 把点代入，得，解得， 所以． 综上所述，这天与之间的函数表达式为 【小题】 由，得恒温系统设定的恒定温度为． 【小题】 在中，令，得，解得，则． 故恒温系统最多可以关闭．   18.【答案】【小题】 【小题】 当时，．反比例函数的解析式为． 【小题】 由模型可知，当时，随的增大而增大，不符合砗磲的生长规律又由模型可知，当时，随的增大而减小，符合砗磲的生长规律．选择模型当时，答：该砗磲样本岁时的平均日生长速率为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $27.3实际问题与反比例函数同步练习 一、选择题： 1.古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力 ×动力臂”.建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1000N 和0.4m,则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数表达式正确的是() A.F=1000 B.F=4000 C.F=1000 41 D.F=400 1 2.为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函 数关系式为() A.y=5000x B.y=5000 C.y=5000 D.y=x+5000 3.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积 V(mL)和气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa),如下表所示，则可大致反映p与V之间关系的图象是() 体积V 120 100 80 60 40 压强p 50 60 75 100 150 B 4.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的 高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(p>0).下列说法不正确的是() h/cm 20 p(g/cm) A.h随p的增大而减小 B.当p≥2时，0<h≤10 C.当p=1.25时，h=16 D.当0<h≤5时，0<p≤1.25 第1页，共7页 5.用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器.根据物理学知识，同一材质 的吸管内部空气振动的频率f(单位：kHz)可近似地看成吸管长度（单位：c)的反比例函数.甲、乙两种材质 的吸管乐器频率∫关于吸管长度的函数图象如图所示根据图象，下列结论正确的是() f/kHz 甲 0 1/cm A.频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B.对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C.长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D.对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 6.实验室将高浓度二氧化氯母液稀释配制消毒液，现有甲、乙、丙、丁四瓶不同稀释后的二氧化氯消毒液， 在平面直角坐标系中，x轴表示稀释后消毒液的总质量，y轴表示二氧化氯的质量分数（二氧化氯的质量与消 毒液总质量的比值)，其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶消毒液中含二氧 化氯质量最少的是() 丙· 0 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 二、填空题： 7.一定质量的氧气，密度p是体积V的反比例函数，当V=8m3时，p=1.5kg/m3,则p与V的函数关系式 为 8.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好需要8天时间.轮船到达目的地后开始卸货， 平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间的函数关系式为 9.某种消毒药喷洒释放完毕开始计时，药物浓度y(mg/m3)与持续时间x(min)之间的几组对应值如下： 第2页，共7页 持续时间x/min 2412 药物浓度y/(mg/ 1893 m3) (1)y关于x的函数关系式为； (2)当持续时间为6min时，药物浓度为mg/m3 10.如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量 m(kg)的反比例函数.己知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s,当其载重后 总质量m=90kg时，它的最快移动速度v=m/s. 11.汽车的功率P(瓦)与行驶速度v(米/秒)和汽车所受的牵引力F(牛)之间的关系为P=Fv.某汽车的功率 P(瓦)为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.当它所受牵 引力为1000牛时，汽车的速度为_米/秒. v(米/秒)》 50 40 30- 20 10 10002000300040005000F/牛 12.为做好儿童青少年近视的防治工作，国家印发了近视防治指南(2024年版)》，其中根据近视度数分为 三类：低度近视(50度至300度)、中度近视(300度至600度)和高度近视（超过600度）.小明到眼镜店调查 到的近视眼镜的镜片度数和镜片焦距的关系如表： 镜片度数y/度1002004001000 镜片焦距x/m10.50.250.1 根据表中体现出来的规律，若小明所戴眼镜镜片的焦距为20cm,则他镜片度数是度. 第3页，共7页 三、解答题： 13.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y(单位：cm)是物距（小孔到蜡烛的距离）x(单位：cm)的反比例函数，且当x=6时，y=2. 小孔 蜡烛 (1)求y关于x的函数解析式： (2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离 14.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻（单位：2）是反比例函数关系，它的 图象如图所示 1/A 0 9 R/Ω (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当电阻R为32时，求此时的电流1， 第4页，共7页 15.阅读与思考 下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务， 今天是2025年3月28日（星期五），在下午的实践活动课上，我们小组的同学参加了一次“探索压力 一定时，压强p与受力面积S之间的函数关系”的数学活动. 第一步：如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相应的桌面所受的 压强p(Pa)与受力面积S(m2). 第二步：数据整理收集记录的数据如下表， 第一组第二组第三组第四组第五组第六组 受力面积S/m2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强p/Pa 300 200 150 120 80 75 第三步：在数据分析中，我们发现一组数据可能有明显错误，我们对此重新进行了实验，并证明了我 们的猜想是正确的，于是对数据进行了修改实验结束后，大家有很多收获，每个人都撰写了数学日记. 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？请写出是哪组，并求出p关于S的函数解析式， (2)如果要求压强不超过60Pα，那么长方体A的受力面积至少为多少m2?请直接写出答案. 16.如图，在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，可使得 仪器左右平衡改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到下表： 托盘B与点O的距离x/cm 1015202530 托盘B中的砝码质量y/g 3020151210 第5页，共7页 35 v/g 3 2 15 B O5101520253035x/cm (1①)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲 线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数解析式； (3)当砝码质量为24g时，求托盘B与点0的距离. 17.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒 温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(°C与时间x()之间的函数关系图像，其中线段AB,BC表示恒温系 统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题： 4y/℃ 14 10 02510 24x/h (1)求这天y与x(0≤x≤24④之间的函数表达式： (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若当大棚内的温度低于10°C时，蔬菜会受到伤害，则这天内，为避免蔬菜受到伤害，恒温系统最多可以 关闭多少小时？ 第6页，共7页 18.综合与实践：生物生长规律的模型研究. 如图1，砗磲(chēq①)是地球上最大的双壳类动物.某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样 本年龄x(岁)与平均日生长速率y(um)的数据如下表： x0510152025 y2619149.575.5 y/m 30 251 20 15 10 5 0510152025x/岁 图1 图2 (1)【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图2中点的分 布情况，猜想其函数图象是过点(0,26)的抛物线，设解析式为y=ax2+bx+26.选取两个点(10,14)，(20,7)， 则抛物线的解析式为； (2)【模型构建2】数学小组B观察表格中的数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1=140,k2=142.5, k3=140,k4=137.5,猜想当x≥10时，y与x符合反比例函数关系，设解析式为y=冬为减少偏差，取k= 1+2+k3+k4,求反比例函数的解析式： (3)【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄的增长持续降低.为求该砗磲样 本35岁时的平均日生长速率，请从上述两个模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算. 第7页，共7页 27.3 实际问题与反比例函数 同步练习 一、选择题： 1.古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力单位：关于动力臂单位：的函数表达式正确的是(    ) A. B. C. D. 2.为丰富学生课余活动，某校用元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元个，则与的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 3.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表所示，则可大致反映与之间关系的图象是(    ) 体积 压强 A. B. C. D. 4.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示下列说法不正确的是(    ) A. 随的增大而减小 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5.用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率单位：可近似地看成吸管长度单位：的反比例函数甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示根据图象，下列结论正确的是    ． A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 6.实验室将高浓度二氧化氯母液稀释配制消毒液，现有甲、乙、丙、丁四瓶不同稀释后的二氧化氯消毒液，在平面直角坐标系中，轴表示稀释后消毒液的总质量，轴表示二氧化氯的质量分数二氧化氯的质量与消毒液总质量的比值，其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶消毒液中含二氧化氯质量最少的是    ． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题： 7.一定质量的氧气，密度是体积的反比例函数，当时，，则与的函数关系式为          ． 8.码头工人每天往一艘轮船上装载吨货物，装载完毕恰好需要天时间轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度单位：吨天与卸货天数之间的函数关系式为          ． 9.某种消毒药喷洒释放完毕开始计时，药物浓度与持续时间之间的几组对应值如下： 持续时间 药物浓度 关于的函数关系式为           当持续时间为时，药物浓度为          ． 10.如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度          ． 11.汽车的功率瓦与行驶速度米秒和汽车所受的牵引力牛之间的关系为某汽车的功率瓦为一定值，汽车行驶时的速度米秒与它所受的牵引力牛之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为          米秒． 12.为做好儿童青少年近视的防治工作，国家印发了近视防治指南年版，其中根据近视度数分为三类：低度近视度至度、中度近视度至度和高度近视超过度小明到眼镜店调查到的近视眼镜的镜片度数和镜片焦距的关系如表： 镜片度数度 镜片焦距 根据表中体现出来的规律，若小明所戴眼镜镜片的焦距为，则他镜片度数是          度 3、 解答题： 13.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，且当时，． 求关于的函数解析式； 若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 14.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． 求这个反比例函数的解析式不要求写出自变量的取值范围 当电阻为时，求此时的电流． 15.阅读与思考 下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是年月日星期五，在下午的实践活动课上，我们小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系”的数学活动． 第一步：如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相应的桌面所受的压强与受力面积 第二步：数据整理收集记录的数据如下表． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 桌面所受的压强 第三步：在数据分析中，我们发现一组数据可能有明显错误，我们对此重新进行了实验，并证明了我们的猜想是正确的，于是对数据进行了修改实验结束后，大家有很多收获，每个人都撰写了数学日记． 任务： 你认为表中哪组数据是明显错误的请写出是哪组，并求出关于的函数解析式． 如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少请直接写出答案． 16.如图，在左边托盘固定中放置一个重物，在右边托盘可左右移动中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来 观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数解析式 当砝码质量为时，求托盘与点的距离． 17.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系图像，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： 求这天与之间的函数表达式； 求恒温系统设定的恒定温度； 若当大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，则这天内，为避免蔬菜受到伤害，恒温系统最多可以关闭多少小时？ 18.综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄岁与平均日生长速率的数据如下表： 【模型构建】如图，数学小组在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图中点的分布情况，猜想其函数图象是过点的抛物线，设解析式为．选取两个点，，则抛物线的解析式为           【模型构建】数学小组观察表格中的数据，发现后四组数据中与的乘积分别为，，，，猜想当时，与符合反比例函数关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数的解析式 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄的增长持续降低．为求该砗磲样本岁时的平均日生长速率，请从上述两个模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $