3.2.2 奇偶性 题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理奇函数和偶函数的定义、定义域关于原点对称的特征、运算性质及定义法、图象法等判断方法，构建从概念理解到应用的学习支架，衔接函数单调性等前期知识，为后续综合应用奠定基础。 该资料知识体系严谨且题型分层训练，通过定义辨析、图象观察等培养数学思维与眼光。如分段函数奇偶性判断强调定义域与表达式对应，提升逻辑推理能力。课中辅助教师系统授课，课后详解助力学生查漏补缺，强化知识应用。

3.2.2奇偶性 ●知识梳理 一.奇函数和偶函数的定义 偶函数 奇函数 一般地，如果对于函数fx的定 一般地，如果对于函数fx的定 义域内任意一个x都有 义域内任意一个x,都有 定义 f引-x=fx,那么函数fx f-x=-fx,那么函数fx就 就叫做偶函数 叫做奇函数. 定义域特征 关于原点对称 1.奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之，若所给函数 的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性 例如，函数y=x2在区间上是-o∞，+∞偶函数，但在区间【-3,5上却不具有奇偶 性. 2.若奇函数fx在x=0处有定义，则根据定义可得f0=0 3.若f-x=-fx,且f-x=fx,则fx既是奇函数又是偶函数.这样的函数有且 只有一类，即fx=O,x∈D,D是关于原点对称的非空数集， 二、奇偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 flx) gx刘 fx+g x f(x]-g(x] fx gx f(g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 三、函数奇偶性的判断方法 1.定义法 定义域关于 否 原点对称？ 非奇非偶函数 f-x)=-f) 奇函数 是 f八-x)与) -x)=f) 偶函数 的关系 f代-x)与fx无 非奇非 上述关系 偶函数 2.图象法 关于原点对称 )为奇函数 x的图象 关于y轴对称 f)为偶函数 3.性质法 若fx,gx在相同定义域上具有奇偶性，则奇±奇=奇；奇×奇=偶；偶±偶=偶；偶 ×偶=偶：奇×偶=奇. 4.分段函数奇偶性的判断 先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断-x与x的关系.首先要特别注 意x与-x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，fx与f-x对应不同的 表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较 ● 题型训练 题型一根据奇偶性画图 1.已知定义在R上的函数fx)关于原点对称，它在(0，+)上的图象如图所示，则不 等式fx)>0的解集为？ 2.已知函数fx)是定义在-2,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函 数的值域是？ 3.设偶函数f(x)的定义域为[-5,5]，若当x∈[0,5]时，fx)的图象如图所示，则不 等式f(x)<0的解集是？ y=f(x） 4函数f(x)=4x x2+1的图象大致为() .。， 5已知函数x-的大致图象是（) 21 21 123 A B 6.已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x=x+3x+2,则当x∈[1,3]时，fx)的最 小值是() A.2 B. C.-2 D.4 题型二定义法判断奇偶性 1.下列函数中是奇函数的是() A.y=x-1 B.y=x2 C.y=x D.y=-x x2+1 2.下列函数中，是偶函数的是() A.y=-x B.y=3-x C.y=x3 D.y=|x-1|-|x+1 3函数f(x)=3-x 的图象关于（) A.x轴对称B.原点对称C.y轴对称D.直线y=x对称 4.若函数f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函数，则gx)=2ax+bx+9x是() A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数 5.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是() A.增函数 B.减函数C.有增有减D.增减性不确定 6.已知函数fx)=(m-1)x2+(m-2)x+(m-7m+12)为偶函数，则m的值是？ 题型三奇偶函数定义域 1判断下列函数的奇偶性： (1)f(x=x3+3x,x∈[-4,4)： (2)f(x)=x-2+V2-x: (3)fx)=1-x2+x2-1: (4)f(x)=0,x∈[-6，-2]U[2,6]: 同W产 2.已知函数fx)具有奇偶性，且其定义域为[6a-1,a],则a=? 3.已知函数f(x)=3ax+bx-5a+b是偶函数，且其定义域为[6a-1,a],则a+b=? 题型四方程组 1.已知f(x)+gx)=2x3+x2-x+3,f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，求f(x)和9(x) 的解析式 2.已知f(x+gxFx,fx)是偶函数，gx是奇函数，求fx)和g1x的解析 式. 题型五奇函数在x=0处有定义 1.若函数f(x)=x-2-a 4-x是奇函数，则实数a的值为？ 2已知函数f(x)-是定义在R上的奇函数，则常数m的值为？ 题型六抽象函数奇偶性 1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论中一定正确的是() A.函数f(x)+x是奇函数 B.函数f(x)+|x是偶函数 C.函数xfx)是奇函数 D.函数fx 是奇函数 2.已知f(x)在R上为奇函数，gx)在R上为偶函数，则正确的选项是() A.f(x)-gx川为奇函数 B.f(x川g(x)为奇函数 c.f(x)gx)为奇函数 D.Ifx)-g(x川为奇函数 3.已知f(x),g(x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且fx)-g(x)=x+x2+1, 则f(1)+g(1)=? 题型七构造奇偶函数 1.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数，若f(-2)=2,则f(2的值等于？ 题型八分段函数奇偶性 1.已知y=fx)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x+1,则f(-1)=? 2.已知f(x)是定义在R上奇函数，x≥0时，f（x)=x-2x,则在x<0上f(x的表达式 是？ 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+3x-1,求f(x)的解析式. 4.己知y=fx)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解 析式为. 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x,求f(x)的解析式. 题型九奇偶性与单调性 1.定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1,x2∈0，+oo),x1≠x时， f-<0,且21-0，则不等式<0的解续是？ X2-X1 2.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(2)=0,则满足对(x)≥0的x的 取值范围是？ 3.已知偶函数x在区间0，+∞)单调递减，则满足f2x-1>f)的x取值范围是？ 4.设函数fx)是定义在R上的奇函数，且f(2=0,f(x)在(0,1)上单调递增，在 (1,+∞)上单调递减，则不等式f(x)≥0的解集为？ 答案 ●题型训练 题型一根据奇偶性画图 1.已知定义在R上的函数f(x)关于原点对称，它在(0，+∞)上的图象如图所示，则不 等式f(x)>0的解集为？ 答案：（-2,0)U(2,+∞ 详解：奇函数图象关于原点对称，(0，+∞)上f(x)>0的区间是2，+∞)：则 (-∞，0)上，对称区间-2,0)满足f(x)>0,故解集为-2,0)U(2,+∞) 2.已知函数fx)是定义在[-2,2]上的奇函数，当x>0时，fx)的图象如图所示，则函 数的值域是？ 2 答案：[-3，-2)U[0]U2,3] 详解：奇函数图象关于原点对称，x>0时值域为2,3]，则x<0时值域为 [-3,-2),又f(0)=0,故整体值域为[-3，-2)U[0]U2,3]。 3.设偶函数fx)的定域为-5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不 等式f(x)<0的解集是？ y=f(x》 答案：（-5，-2)U(2,5] 详解：偶函数图象关于y轴对称，x∈[0,5]时f(x)<0的区间是(2,5]：则 x∈[-5,0)时，对称区间-5，-2)满足f(x)<0,故解集为(-5，-2)U(2,5]。 4.函数fx)=4x 2+的图象大致为() 答案：A 详解：f-x=4X=-f(x),是奇函数，排除C、D选项；且x=1时f1)=2, x2+1 故A为正确选项。 5已函数x:的大致图案是() -2-10123 123 A 答案：A 详解，定义拔为R关于愿点对称，f1-X=446:46=fx,是偶函 2-x4 2x4 数，图象关于y轴对称；且x=1时f(1)=1,故A为正确选项。 6.已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+3x+2,则当x∈[1,3]时，f(x)的最 小值是() A.2 B.4 C.-2 D.4 答案：C 详解：设x>0,则-x<0, f(-x)=(-x}+3(-x)+2=x2-3x+2: 因f(x)是奇函数，f(-x)=x2-3x+2=-f(x),则f(x)=-x2+3x-2 x∈1,3引时，f(x刘=-2+3x-2是开口向下的抛物线，对称轴x=是∈[1,31，最 小值为f(3)=-32+9-2=-2,故最小值为-2，选C。 题型二定义法判断奇偶性 1.下列函数中是奇函数的是() A.y=x-1 B.y=x2 C.y=x 答案：D 详解：A.f(-x)=-x-1≠-fx),非奇非偶： B为y=x2,是偶函数： C.f(-x)=x=f(x),偶函数： D-X齐fx,奇数，故选D 2.下列函数中，是偶函数的是() A.y=-x B.y=3-xC.y=x3 D.y=|x-1|-|x+1 答案：A 详解：A.f(-x)=-|-x=-|x=f(x,偶函数：B.f(-x)=3+x≠f(x,非奇非 偶： C.y=-x3=-x3=-f(x),是奇函数； D.f(-x)=|-x-1-|-x+1=x+1-x-1=-f(x),奇函数， 故选A。 3.函数f(x)= 3-x 的图象关于（) X A.X轴对称B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y=X对称 答案：B 详解：f-x-3--3-文.-x,是奇函数： -X 关于原点对称，选B。 4.若函数f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函数，则gx)=2ax3+bx2+9x是() A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案：A 详解：f(x)是偶函数→f(-x)=ax2-bx+8=ax2+bx+8→b=0。 则g(x)=2ax+9x,g(-x)=-2ax-9x=-g(x),是奇函数，故选A。 5.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间2,5)上是() A.增函数 B.减函数C.有增有减D.增减性不确定 答案：B 详解：f(x)是偶函数→一次项系数为0→2m=0→m=0。则f(x)=-x2+3,开口向 下，增区间为-∞，0)，减区间为0，+o,，故(2,5)上是减函数，选B。 6.已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m-7m+12)为偶函数，则m的值是？ 答案：2 详解：偶函数不含奇次项→一次项系数为0→m-2=0→m=2,代入验证， fx)=x2+(4-14+12)=x+2,是偶函数 题型三奇偶函数定义域 1判断下列函数的奇偶性： (1)fx)=x3+3x,x∈[-4,4)： 答案：非奇非偶 详解：定义域[-4,4)不关于原点对称（缺少x=4)，故非奇非偶。 (2)f(x)=x-2+V2-x: 答案：非奇非偶 详解：定义域为2}，不关于原点对称，故非奇非偶。 (3)fx)=/1-x2+Vx2-1: 答案：既是奇函数也是偶函数 详解：定义域为-1,1}，关于原点对称，f(-1)=f(1)=0,满足f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x),故既是奇函数也是偶函数。 (4)f(x=0,x∈[-6，-2]U[2,6]: 答案：既是奇函数也是偶函数 详解：定义域关于原点对称，f(-x)=0=f(x)=-f(x),故既是奇函数也是偶函 数。 X 间fxFx1 答案：奇函数 详解定义城为X1,关于原点对称，f-x产-fx,故是奇画 数。 2.已知函数fx)具有奇偶性，且其定义域为[6a-1,a],则a=? 答案：月 详解：奇偶函数定义域关于原点对称→6a-1+a=0→7a=1→a= 7。 3.已知函数f(x)=3ax2+bx-5a+b是偶函数，且其定义域为[6a-1,a],则a+b=? 答案：习 详解：定义域关于原点对称→6a-1+a=0→a=7； 偶函数不含奇次项→b=0, 故a+b=号+0=号 题型四方程组 1.已知f(x)+g(x)=2x3+x2-6x+3,f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，求f(x)和g(x) 的解析式 答案：f(x)=2x3-6x,g(x)=x2+3 f(x)+gx)=2x3+x2-6x+3 详解：由题意得 f-x)+g-x)=-2x2+X2+6x+3' 因f(-x)=-f(x), g(-x)=gx), f(x)+gx)=2x3+x2-6x+3 故-fx)+gx)=-2x2+X+6x+3” 两式相加得 2gx)=2x2+6→g(x)=x2+3,两式相减得2f(x)=4x3-12x→f(x)=2x-6x。 2.已知f(x)+g(x)=1 ， f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，求f(x)和gx的解析 式 答案：x-,9gx1 f(x)+g(x)=1 +1 详解：由题意得 因f-x)=f(x),g(-x)=-g(x),故 f(-x)+g(-x)=1 -x+1 1 f(x)+g(x)=- +1 1 两武花如高文 f(x)-g(x)= 1-x2,两 -X 1 式相减得2gx= -2x x+11-x1-x2 →g(x)= 1-x2 题型五奇函数在x=0处有定义 1.若函数fx)=x-2- 4-x 是奇函数，则实数a的值为？ 答案：a=2 详解：定义域为(-2,2)，关于原点对称，且f(0)有定义，故f(0)=0。 f0=0-20=2,9=0→a=2,故如=2. V4-02 2已知函数x是定义在银上的奇函数，则常数m的值为？ 答案：m=0 详解：fx是R上的奇函数，故f0)=0,f0)-8=m=0:故m=0。 题型六抽象函数奇偶性 1.设函数fx)是定义在R上的奇函数，则下列结论中一定正确的是() A.函数f(x)+x是奇函数 B.函数f(x)+|x是偶函数 C.函数xf(x)是奇函数 D.函数fx 是奇函数 答案：C 详解：A.F(x)=f(x)+x2,F(-x)=f(-x)+x=-f(x)+x2≠-F(x),非奇： B.F(x=f(x)+|x,F(-x)=-f(x)+|x≠F(x),非偶： CF(x)=xf(x,F(-x)=xf(-x)=-x2f(x)=-F(x,奇函数： D.假设D为fX(x0),F-x)=:fW-fy=Fx,是偶函数， 选C。 2.已知f(x)在R上为奇函数，g(x)在R上为偶函数，则正确的选项是() A.fx)-|gx1为奇函数 B.If(x川g(x)为奇函数 c.f(x)g(x)为奇函数 D.Ifx)-gx川为奇函数 答案：C 详解：A.F(x)=f(x)-lg(x儿，F(-x)=-f(x)-|g(x川≠-F(x),非奇：B. F(x)=|f(x)川g(x),F(-x)=|-f(x川g(x)=|f(x川g(x)=F(x),偶函数： C.Fx=fx)g(x),F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),奇函数： D.F(x)=|fx)-g(x儿，F(-x)=|-f(x)-g(x川=|f(x)+g(x川≠-F(x),非奇， 故选C。 3.已知fx),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x+x2+1, 则f(1)+g(1)=? 答案：1 详解：令X=-x,得 f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1 f(x)+g(x)=-x3+x2+1 f1)+g(1)=-1+1+1=1: 题型七构造奇偶函数 1.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数，若f(-2)=2,则f(2)的值等于？ 答案：-10 详解：构造g(x)=f(x)+4=ax+bx,则gx)是奇函数。 g(-2)=f(-2)+4=2+4=6,故g(2)=-g(-2)=-6,则 f2)=g2)-4=-6-4=-10。 题型八分段函数奇偶性 1.已知y=fx)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2+1,则f(-1)=? 答案：-2 详解：f-1)=-f1)=-(1+1)=-2。 2.已知f(x)是定义在R上奇函数，x≥0时，f(x)=x2-2x,则在x<0上f(x)的表达式 是？ 答案：f(x)=-x2-2x 详解：设x<0,则-x>0, 将-x代入fx=x2-2x得f(-x)=(-x2-2(-x)=x2+2x: 因f(x)是奇函数，f-x)=x2+2x=-f(x,则f(x)=-x2-2x 故在x<0上，f(x)=-x2-2x 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+3x-1,求f(x)的解析式. x+3x-1,x>0 答案：f(x 0,x=0 x2+3x+1,x<0 详解：x=0时，f(0)=0: 设x<0,则-x>0, 将-x代入f(x)=x2+3x-1可得f(-x)=x2-3x-1, 因f(x)是奇函数，f(-x)=x2-3x-1=-f(x),则f(x)=-x2+3x+1 故在x<0上，f(x)=-x+3x+1 x2+3x-1,x>0 所以f(x) 0, X=0 -x2+3x+1,x<0 4.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解 析式为. 答案：f(x) x2-2x,x≥0 -x2-2x,x<0 详解：x<0时，-x>0,f(-x)=x2+2x,故f(x)=-f(-x)=-x2-2x,结合x≥0 时的解析式，得上述分段函数。 5.已知fx)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x,求f(x)的解析式. 答案：f(x= x2+2x,x≥0 x2-2x,x<0 详解：设x<0,则-x>0, 将-x代入f(x)=x2+2x得f(-x)=x2-2x, 因f(x)是偶函数，f(-x)=x2-2x=f(x),则f(x)=x2-2x 所以f(x)= x2+2x,x≥0 x2-2x,x<0 题型九奇偶性与单调性 1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0，+∞，x1≠xz时， x<0,F2=0,则不等式fXc0的解集是？ X2-X1 答案：（-2,0)U(2,+0) 详解，由。<0，fX在0，+w上单调逆减： X2-X1 因为是偶函数，故在(-∞，0]上单调递增，f(2)=f(-2)=0。 <0等价于fx0或fx>0” x>0 X<0 X x>0时，f(x)<0=f(2),因单调递减，故x>2: x<0时，f(x>0=f(-2),因单调递增，故-2<x<0, 解集为(-2,0)U(2,+∞)。 (可画图进行判断) 2.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(2)=0,则满足f(x)≥0的x的 取值范围是？ 答案：[-2,2] 详解：f(x)是奇函数，在(-∞，0)单调递减，则在(0，+∞)也单调递减， f(2)=f(-2)=0,f(0)=0。 x≥0x≤0 f(x≥0等价于fx)≥0或if(x)s0· x≥0时，f(x)≥0，即0≤x≤2； x=0时，0×f(-1)=0≥0，成立： x≤0时，f(x)≤0，即-2≤x≤0， 综上取值范围是[-2,2]。 3.已偶函数f(x)在区间[0，+0)单调递减，则满足f2x-1>f(兮)的x取值范围是？ 答案：号 详解：偶函数f(x)在[0，+o∞)单调递减，故f(x)在(-oo,0)单调递增： 4.设函数fx)是定义在R上的奇函数，且f(2=0,x)在(0,1)上单调递增，在 (1,+∞)上单调递减，则不等式f(x)≥0的解集为？ 答案：（-∞，-2]U[0,2] 详解：f(x)是奇函数，f(-2)=0,f0)=0;在(0,1)递增，(1，+o)递减，故在 (0,2]上fx)≥0，(2，+∞)上f(x)<0:在-∞，-2]上f(x)20,(-2,0)上f(x)<0 ,故解集为-oo,-2]U[0,2]。