第26章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，覆盖定义、图像性质、综合应用等核心知识点，通过基础辨析与情境问题结合，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|二次函数定义（1-2题）、图像性质（3-4、8题）|基础概念辨析，图像分析能力| |填空题|6|交点与距离（9、12题）、实际应用（13-14题）|结合标杆测量、小球运动情境，培养模型意识| |解答题|6|综合计算（15题）、存在性问题（16题）|几何与函数结合，如平行四边形存在性，提升推理能力|

二次函数专题测试卷 一、单选题 1．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 二、填空题 9．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 10．抛物线的顶点坐标为_______． 11．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 12．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 13．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 三、解答题 15．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 16．如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长度； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 18．已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 19．如图，抛物线交轴于、两点．交轴于点． (1)求点、坐标； (2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 20．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为___________，___________； (2)当时，直接写出的取值范围为___________； (3)当时，直接写出的取值范围是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数专题测试卷 一、单选题 1．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 4．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 7．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算点A和点B在二次函数上的函数值，比较和的大小关系． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 8．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 二、填空题 9．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 10．抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【详解】解：抛物线的解析式是二次函数的顶点式，二次函数顶点式的一般形式为（），其顶点坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为． 11．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 12．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 13．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，求二次函数的解析式是解题的关键．以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，，设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，把代入，求出，再求出抛物线的顶点纵坐标即可． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由二次函数的关系式得到图象开口向下，顶点坐标为，即可得到小球运动中的最大高度． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，为， ∴小球运动中的最大高度是12米． 故答案为：12． 三、解答题 15．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 16．如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法先确定函数解析式，再代入相应坐标即可求解； （2）先求出P点到x轴的距离，再将坐标代入解析式即可求解； （3）先设出M点与N点坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，设出对角线的交点，利用中点坐标关系即可求解． 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与平行四边形的判定或性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，正确确定点的坐标关系，本题涉及了分类讨论的思想方法． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长度； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)，或 (2)6 (3)满足题意的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求解抛物线解析式，根据抛物线对称性质求解，两点之间的距离等知识． （1）利用待定系数法求解抛物线解析式即可． （2）根据二次函数的对称性质得出点坐标为，再根据两点之间的距离公式求解即可． （3）作关于直线对称的轴对称图形，根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为，点与点重合，点与点重合，，故点为抛物线上满足题意的点，坐标为． 取点关于轴的对称点，坐标为，求出解析式，再联立抛物线解析式则进一步即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意，点在抛物线上， 代入得， 解得， 抛物线解析式为： ，或 （2）解：抛物线对称轴为直线，点、点关于对称轴对称， ，， ∴点坐标为， ∴． （3）解：抛物线为轴对称图形，对称轴为直线； 令，得，点坐标为； 点、点、点在抛物线上，作关于直线对称的轴对称图形， 根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为， 点与点重合，点与点重合，， 故点为抛物线上满足题意的点，坐标为． 取点关于轴的对称点，坐标为， 则， 设解析式为， 则 解得： 则直线解析式为， 与抛物线联立： 得， 解得，（与重合，舍去） 令，得， 点也是符合题意的点； 综上，满足题意的点的坐标为或． 18．已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为； 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及轴对称中最短路线问题， （1）分别求出当时及当时，y值及x值，即可得出交点坐标； （2）根据点A、B关于对称轴直线对称，得出点P为与对称轴的交点，进而求出最小值，再求出直线表达式从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点， ∴当时，， ； ∴当时，， 解得：， ； （2）解：∵抛物线， ∴此抛物线对称轴为直线，点A、B关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点P，此时， 此时的值最小，最小值为， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴所在直线表达式为， 当时，， ． 19．如图，抛物线交轴于、两点．交轴于点． (1)求点、坐标； (2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． （1）令，解一元二次方程，得出的坐标； （2）根据的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， 点坐标为，点坐标为； （2）解：由图象可得，时，抛物线在直线上方， 的解集为． 20．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为___________，___________； (2)当时，直接写出的取值范围为___________； (3)当时，直接写出的取值范围是___________． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $