5.2.3 利用移项和合并同类项解一元一次方程的实际问题 同步练习 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与能力提升并重，从单一知识点应用到综合问题解决，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|和差倍分、调配、行程等单一知识点|选择/填空为主，直接列方程，强化移项与合并同类项技能| |过能力|利润、数字、工程等综合知识点|选择/填空/解答结合，多步骤应用，培养问题转化与逻辑推理能力|

第五章 一元一次方程 5.2.3 利用移项和合并同类项解一元一次方程的实际问题 学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程； 2. 掌握利用移项和合并同类项解一元一次方程的方法； 3. 能验证方程的解是否符合实际问题的意义； 4. 培养从实际问题中抽象出数学模型的能力。 知识点一：列一元一次方程解实际问题的步骤 步骤： 1. 审题： 弄清题意，找出已知量和未知量； 2. 设未知数： 用字母（通常用 ）表示题目中的未知量； 3. 找等量关系： 分析题目中的相等关系，这是列方程的关键； 4. 列方程： 根据等量关系列出方程； 5. 解方程： 利用移项和合并同类项解方程； 6. 检验并作答： 检验解是否符合题意，写出答案。 口诀： 审题设未知数，找等量列方程；移项合并解出解，检验作答要完整。 知识点二：常见实际问题的等量关系 类型 基本等量关系 和差倍分问题 总量 = 各部分之和；甲 =  倍乙 ±  分配问题 调配前总量 = 调配后总量 行程问题 路程 = 速度 × 时间；相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 工程问题 工作量 = 工作效率 × 时间；各部分工作量之和 = 1 利润问题 利润 = 售价 − 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% 数字问题 两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字 知识点三：列方程时常见的关键词与符号转化 关键词 符号 “是……的几倍” “比……多/少几” “共”“一共”“合计” “剩余”“还剩” “几倍多几/少几” 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：和、差、倍、分问题 1. [2025·广东广州·越秀区期末]（选择题） 某数的  倍与  的和等于 ，设这个数为 ，则列出的方程是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2025·四川成都·青羊区期中]（选择题） 甲、乙两数的和为 ，甲数比乙数的  倍少 。设乙数为 ，则甲数可表示为（ ） A.   B.   C.   D.  3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 一个长方形的周长为  cm，长是宽的  倍少  cm。设宽为  cm，则列出的方程是（ ） A.   B.  C.   D.  4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 一个数的  倍比它的  倍大 ，设这个数为 ，则列出的方程为 ________，解得 。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 甲、乙两数的和为 ，甲数是乙数的  倍。设乙数为 ，则甲数为 ________，列出的方程为 ________，解得 。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 某校七年级（1）班共有  名学生，其中男生人数是女生人数的  倍少  人。求该班男生和女生各有多少人。 知识点二：调配问题 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 甲仓库有粮食  吨，乙仓库有粮食  吨。从甲仓库调  吨到乙仓库后，甲仓库的粮食是乙仓库的  倍。根据题意列出的方程是（ ） A.    B.  C.    D.  8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题） 某工厂第一车间有  人，第二车间有  人。若从第二车间调  人到第一车间，则第一车间人数是第二车间的  倍。根据题意列出的方程是（ ） A.    B.  C.    D.  9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 某中学七年级有  名学生，八年级有  名学生。现从八年级调  名学生到七年级，使得七年级人数是八年级人数的  倍还多  人。根据题意列出的方程是（ ） A.    B.  C.    D.  10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题） 甲、乙两个仓库共有粮食  吨，甲仓库的粮食是乙仓库的  倍。设乙仓库有  吨，则甲仓库有 ________ 吨，列出的方程为 ________，解得 。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 甲、乙两个班共有  人，从甲班调  人到乙班后，甲班人数是乙班人数的  倍。设甲班原有  人，则乙班原有 ________ 人，列出的方程为 ________，解得 。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 某学校七年级有  名学生，八年级有  名学生。现从八年级调  名学生到七年级，使得七年级人数是八年级人数的  倍。求  的值。 知识点三：行程问题 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 甲、乙两地相距  km，一辆汽车从甲地出发，每小时行驶  km， 小时后到达乙地。根据题意列出的方程是（ ） A.   B.   C.   D.  14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 甲、乙两人从相距  km 的两地同时相向而行，甲的速度为  km/h，乙的速度为  km/h。设  小时后两人相遇，列出的方程是（ ） A.    B.    C.    D.  15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 甲、乙两人从同一地点出发，甲的速度为  km/h，乙的速度为  km/h。若甲先出发  小时，则乙出发几小时后追上甲？设乙出发  小时后追上甲，列出的方程是（ ） A.   B.  16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 甲、乙两车从同一地点出发，甲车速度为  km/h，乙车速度为  km/h。若乙车先出发  小时，则甲车出发 ________ 小时后追上乙车。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 一艘轮船在静水中的速度为  km/h，水流速度为  km/h。轮船顺水航行  小时行驶  km，列出的方程为 ________，解得 。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 甲、乙两人从相距  km 的两地同时相向而行，甲的速度为  km/h，乙的速度为  km/h。 （1）设  小时后两人相遇，列出一元一次方程； （2）利用移项和合并同类项解方程，求出相遇时间； （3）相遇时甲走了多少千米？ 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 某班有  名学生，男生占 ，女生有  人。根据题意列出的方程是（ ） A.    B.    C.    D.  2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 某商店将进价为  元的商品按标价打  折出售，仍可获利  元。设标价为  元，列出的方程是（ ） A.    B.    C.    D.  3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 一个两位数，十位数字是个位数字的  倍，且十位数字与个位数字之和为 。设个位数字为 ，则列出的方程是（ ） A.   B.   C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 甲、乙两车从相距  km 的两地同时相向而行，甲车速度为  km/h，乙车速度为  km/h。设  小时后两车相遇，列出的方程是（ ） A.    B.    C.    D. A 和 C 都可以 5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 一个长方形操场的长是宽的  倍，周长为  m。设宽为  m，则列出的方程是（ ） A.   B.  C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 某工厂甲、乙两个车间共有  人。从甲车间调  人到乙车间后，甲车间人数是乙车间人数的  倍。设甲车间原有  人，则列出的方程是（ ） A.   B.  C.   D.  7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 小明和小红从同一地点出发，小明每分钟走  m，小红每分钟走  m。若小明先出发  分钟，小红出发  分钟后追上小明，列出的方程是（ ） A.   B.  8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 某校七年级有  名学生，八年级学生比七年级多 ，两个年级共有  名学生。根据题意列出的方程是（ ） A.    B.    C.    D.  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 一个数的  倍与  的差等于 ，设这个数为 ，列出的方程为 ________，解得 。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 甲、乙两人从相距  km 的两地同时相向而行，甲速度为  km/h，乙速度为  km/h， 小时后两人相遇。列出的方程为 ________，解得 。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 一个两位数，个位数字是十位数字的  倍，且这个两位数为 。设十位数字为 ，则列出的方程为 ________，解得 。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 某工厂有煤  吨，原计划每天烧  吨，实际每天比原计划多烧  吨，结果比原计划少烧  天。列出的方程为 ________（用  表示）。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 如图，长方形场地长为  m，宽为  m，周长为  m。列出的方程为 ________，解得 。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 某校七年级（2）班共有  人，在一次数学测验中，及格人数比不及格人数的  倍少  人。 （1）设不及格人数为 ，用含  的式子表示及格人数； （2）根据题意列出一元一次方程； （3）利用移项和合并同类项解方程，求出及格和不及格各有多少人。 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 甲、乙两车从相距  km 的两地同时相向而行，甲车速度为  km/h，乙车速度为  km/h。 （1）设  小时后两车相遇，列出一元一次方程； （2）利用移项和合并同类项解方程，求出相遇时间； （3）相遇时甲车比乙车多行驶多少千米？ 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某商店购进甲、乙两种商品共  件，甲商品进价为每件  元，乙商品进价为每件  元，共花费  元。 （1）设甲商品购进  件，用含  的式子表示乙商品的数量； （2）根据题意列出一元一次方程； （3）利用移项和合并同类项解方程，求出甲、乙两种商品各购进多少件。 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：和、差、倍、分问题 1.【答案】 B 【解析】某数的  倍为 ，与  的和为 ，等于 ，方程为 。故选 B。 【方法点睛】“ 与  的和”写作“”。 2.【答案】 A 【解析】乙数为 ，乙数的  倍为 ，甲数比  少 ，甲数为 。故选 A。 3.【答案】 A 【解析】设宽为  cm，长为  cm，周长 。故选 A。 4.【答案】 ； 【解析】。 5.【答案】 ；； 【解析】。 6.【答案及解析】 设女生有  人，则男生有  人。 全班共  人，。 移项： 系数化1：（人） 男生 （人） 答：男生  人，女生  人。 知识点二：调配问题 7.【答案】 A 【解析】调  吨后，甲仓库有  吨，乙仓库有  吨。甲是乙的  倍：。故选 A。 8.【答案】 A 【解析】调  人到第一车间后，第一车间有  人，第二车间有  人。第一车间是第二车间的  倍：。故选 A。 9.【答案】 A 【解析】调  人到七年级后，七年级有  人，八年级有  人。七年级是八年级的  倍多 ：。故选 A。 10.【答案】 ；； 【解析】乙仓库  吨，甲仓库  吨，。 11.【答案】 ；； 【解析】甲班原有  人，乙班原有  人。调  人后，甲班  人，乙班  人。。 移项：。 12.【答案及解析】 调  人到七年级后，七年级有  人，八年级有  人。 七年级人数是八年级的  倍： 去括号： 移项： 系数化1： 答：需要调  人。 知识点三：行程问题 13.【答案】 A 【解析】路程  速度  时间，。故选 A。 14.【答案】 A 【解析】甲走  km，乙走  km，两人共走  km，。故选 A。 15.【答案】 A 【解析】甲先出发  小时，甲共走  km，乙走  km，追上时路程相等：。故选 A。 16.【答案】  【解析】甲追上乙时，。 17.【答案】 ； 【解析】顺水速度  km/h，。 18.【答案及解析】 （1）； （2）（小时）； （3）甲走 （km）。 答：（1）；（2） 小时；（3） km。 二、过能力 1.【答案】 A 【解析】男生占 ，女生占 ，女生人数为 ，等于 ，方程为 。A 正确。C 中  错误；D 中  虽等价于 A，但本题为单选，A 为直接列式，故选 A。B 中  表示男生人数为 ，错误。故选 A。 2.【答案】 A 【解析】标价  元，打  折后售价为  元，进价  元，盈利  元，。故选 A。 3.【答案】 C 【解析】个位数字为 ，十位数字为 ，和为 ，，即 。故选 C。 4.【答案】 D 【解析】，等价于 。A 和 C 都正确。故选 D。 5.【答案】 A 【解析】宽为  m，长为  m，周长 。故选 A。 6.【答案】 C 【解析】甲车间原有  人，乙车间原有  人。调  人后，甲  人，乙  人。甲是乙的  倍：。故选 C。 7.【答案】 A 【解析】小红出发  分钟追上小明，小明共走  m，小红走  m，追上时路程相等：。故选 A。 8.【答案】 A 【解析】七年级  人，八年级多 ，为  人，共 ，。故选 A。 9.【答案】 ； 【解析】。 10.【答案】 ； 【解析】。 11.【答案】 ； 【解析】十位数字为 ，个位数字为 ，两位数为 。 12.【答案】  【解析】原计划烧  天，实际每天烧  吨，烧  天，少烧  天，。 13.【答案】 ； 【解析】。 14.【答案及解析】 （1）及格人数为  人； （2）； （3） 移项： 系数化1：（人） 及格 （人） 答：不及格  人，及格  人。 15.【答案及解析】 （1）； （2）（小时）； （3）甲走  km，乙走  km，甲比乙多走  km。 答：（1）；（2） 小时；（3）多  km。 16.【答案及解析】 （1）乙商品数量为  件； （2）甲商品花费  元，乙商品花费  元，共  元：； （3） 移项合并：（件） 乙 （件） 答：甲商品  件，乙商品  件。 学科网（北京）股份有限公司 $