第01课集合的概念与表示作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念与表示，通过基础概念巩固、技能应用进阶、综合问题拓展三层设计，实现从概念记忆到逻辑推理的知识深化，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合定义、元素特性|概念填空题（如第1题）强化符号意识，判断集合（第3题）培养抽象能力| |进阶层|元素关系、表示方法|符号填空（第5题）巩固基础技能，列举/描述法（第7-8题）提升数学语言表达| |提高层|含参问题、综合理解|参数求解（第6题）与集合相等（第9题）发展推理能力，递归表示（第12题）培养创新意识|

第01课 集合的概念与表示 一、概念填空 1．（1）集合：一般地，我们把_________的某些对象的_________称为集合，通常用英文大写字母A，B，C，…表示． （2）元素：集合中的___________叫作这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． （3）规定：一个集合中的任何两个元素都_______．也就是说，集合中的元素没有_______． 2．集合相等：构成两个集合的元素是______的． 【答案】 1.（1）指定 全体 （2）对象 （3）不相同 重复 2.一样 二、集合的判断 3．下列所给对象不能组成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． （5）所有的好人； （6）平面上到原点的距离等于2的点； （7）正三角形； （8）比较小的正整数； （9）满足不等式的的取值． 【答案】（1）（3）（5）（8） 4．集合中，实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】根据集合的互异性可知，，解得. 三、元素与集合的关系 5．用符号或填空： （1）________ （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______. （7）0______， （8）______， （9）3.14______， （10）______， （11） ______， （12）______； （13）0______， （14）1______． （15）2023___________． （16）用适当符号填空：1______ 【答案】 （1） （2）（3）（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14） （15）；（16） 【解析】 （1）因为为无理数，为有理数集，所以， （2）0是自然数，； （3）是无理数，不属于有理数集，； （4）-5是整数，； （5）是实数，； （6）3.14不是正整数，. （7）是正整数集，0不是正整数，； （8）是整数集，是整数，； （9）是有理数集，3.14是有理数，； （10）是有理数集，是无理数，； （11）是整数集，不是整数，； （12）是实数集，是实数，； （13）集合中含有元素，； （14）解方程得，，则， . （15）令，解得，则. （16）当时，，故； 6．根据元素与集合的关系，求字母的值： （1）集合，，则__________． （2）集合，且，则___________ （3）集合，则__________． （4）集合，，则______. （5）集合，且，则___________． （6）集合，，则__________． （7）集合，，则________ （8）设，集合中的最大元素为3，则______． 【答案】 （1） （2） （3） （4）2或或 （5） （6） （7） （8）1 【解析】 （1）由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. （2）因为，所以. （3）已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. （4）因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； （5）由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. （6）因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． （7）若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意，综上， （8）因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 四、集合的表示 7．用描述法表示下列集合： （1）正数； （2）偶数； （3）奇数； （4）第一象限的点； （5）第四象限的点； （6）第一、三象限的点； （7）第二、四象限的点； （8）轴上的点； （9）轴上的点； （10）一次函数图像上的点； （11）二次函数图像上的点； （12）被5除余3的正整数组成的集合； （13）被3除余1的正整数组成的集合； （14）使函数有意义的实数x组成的集合 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)或 （13） （14） 8.用列举法表示下列集合： （1）由大于且小于的所有整数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）的解集组成的集合； （4）一次函数与一次函数的交点组成的集合； （5）不等式的正整数解集. （6），表示集合； （7）； （8）； （9） 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 或 （9） 五、集合相等 9．根据集合相等求参数值： （1），则______． （2）设，集合，若，则__________. （3）已知集合与相等，则实数__________． （4）已知集合，则求 ______. （5）已知集合.若，则______. 【答案】 （1）0 （2） （3）2 （4）1 （5） 【详解】 （1）因为，所以. （2）因为，则，所以. （3）因为集合与相等，则，解得． （4）解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） ，得. （5） 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 六、集合语言的理解 10.根据集合的含义判断集合是否相等 （1）两组集合： ①，，判断 （填“=”或“”）； ②，判断 （填“=”或“”）． （2）下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________. ①；②；③；④． （3），判断 （填“=”或“”） ． 【答案】（1）①，②；（2）③；（3） 【解析】 （1）两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于①，集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于②，集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. （2）由集合的含义知：， 而集合表示由方程组成的集合，故填③. （3）集合表示二次函数中的范围，所以， 集合表示二次函数中的范围，所以， 所以. 11．判断下列描述，正确的有______（填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． ⑤0与{0}表示同一个集合； ⑥集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ⑦方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ⑧集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. ⑨平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ⑩方程的解集为； ⑪集合与是不相等的． 【答案】②⑧⑨⑪ 【解析】 ①单词book中的字母o有重复，共有3个不同字母，因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3． ②因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此的三边长互不相等，故不可能是等腰三角形. ③小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的． ④集合表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合． ⑤{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故⑤错误； ⑥集合M是实数3，4的集合，而集合N是实数对(3，4)的集合，⑥不正确； ⑦不符合集合中元素的互异性，⑦错误； ⑧元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示. ⑨在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以⑨正确； ⑩方程的解为，解集为或，所以⑩不正确； ⑪集合，集合，这两个集合不相等，所以⑪正确． 12．元素的递归表示： （1）非空数集满足：任意，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. （2）已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． （3）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论： ①； ②集合不可能是单元素集； ③当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数， 其中错误结论的序号为______. 【答案】 （1）1 （2） （3）② 【解析】 （1）因为非空数集满足：任意，都有， 又集合T中含有4个元素， 则，，，， 可得，所以. （2）若，则，所以，所以. 因为方程，均无解，所以集合不可能只含有1个元素， 所以集合中含有元素的个数为3的倍数. 由，所以若集合中含有3的奇数倍个数的元素时，所有元素的积为； 当若集合中含有3的偶数倍个数的元素时，所有元素的积为. 综上可知，中所有元素之积的所有可能值为：. （3）若，则不能作为分母，故，①正确； 当时，，所以，故②错误； 当时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故③正确. 13．整除的表示： （1）用列举法表示集合______． （2）用列举法表示集合______． （3）用列举法表示集合 ______． （4）用列举法表示集合______. （5）用列举法表示集合 _____________. （6）用列举法表示集合 ________ （7）用列举法表示集合 ______. 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【解析】 （1）集合所以可以取的值为，1，2，3，所以． （2）由且，则,或，解得的值为，所以. （3），所以，即.故集合A； （4），， ，故答案为：. （5）由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时，，集合为. （6）因为, 可知， 解得，所以. 故答案为： . （7）时，；时，；时，；时，； 可得.故答案为： 14．集合中元素的运算： （1）已知，则 _______． （2）已知，，则_______________． （3）已知，，用列举法表示________． （4）已知，则_______________． （5）已知，则_______________． 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 （1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． （2）∵由题意， ∴当时，；当时，；当时，， ∴. （3）因为，， 所以. （4）表示集合独有的元素，故； （5）表示集合与共有的元素，故； 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01课 集合的概念与表示 一、概念填空 1．（1）集合：一般地，我们把_________的某些对象的_________称为集合，通常用英文大写字母A，B，C，…表示． （2）元素：集合中的___________叫作这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． （3）规定：一个集合中的任何两个元素都_______．也就是说，集合中的元素没有_______． 2．集合相等：构成两个集合的元素是______的． 二、集合的判断 3．下列所给对象不能组成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． （5）所有的好人； （6）平面上到原点的距离等于2的点； （7）正三角形； （8）比较小的正整数； （9）满足不等式的的取值． 4．集合中，实数的取值范围为______. 三、元素与集合的关系 5．用符号或填空： （1）________ （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______. （7）0______， （8）______， （9）3.14______， （10）______， （11） ______， （12）______； （13）0______， （14）1______． （15）2023___________． （16）用适当符号填空：1______ 6．根据元素与集合的关系，求字母的值： （1）集合，，则__________． （2）集合，且，则___________ （3）集合，则__________． （4）集合，，则______. （5）集合，且，则___________． （6）集合，，则__________． （7）集合，，则________ （8）设，集合中的最大元素为3，则______． 四、集合的表示 7．用描述法表示下列集合： （1）正数； （2）偶数； （3）奇数； （4）第一象限的点； （5）第四象限的点； （6）第一、三象限的点； （7）第二、四象限的点； （8）轴上的点； （9）轴上的点； （10）一次函数图像上的点； （11）二次函数图像上的点； （12）被5除余3的正整数组成的集合； （13）被3除余1的正整数组成的集合； （14）使函数有意义的实数x组成的集合 8.用列举法表示下列集合： （1）由大于且小于的所有整数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）的解集组成的集合； （4）一次函数与一次函数的交点组成的集合； （5）不等式的正整数解集. （6），表示集合； （7）； （8）； （9） 五、集合相等 9．根据集合相等求参数值： （1），则______． （2）设，集合，若，则__________. （3）已知集合与相等，则实数__________． （4）已知集合，则求 ______. （5）已知集合.若，则______. 六、集合语言的理解 10.根据集合的含义判断集合是否相等 （1）两组集合： ①，，判断 （填“=”或“”）； ②，判断 （填“=”或“”）． （2）下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________. ①；②；③；④． （3），判断 （填“=”或“”） ． 11．判断下列描述，正确的有______（填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． ⑤0与{0}表示同一个集合； ⑥集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ⑦方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ⑧集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. ⑨平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ⑩方程的解集为； ⑪集合与是不相等的． 12．元素的递归表示： （1）非空数集满足：任意，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. （2）已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． （3）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论： ①； ②集合不可能是单元素集； ③当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数， 其中错误结论的序号为______. 13．整除的表示： （1）用列举法表示集合______． （2）用列举法表示集合______． （3）用列举法表示集合 ______． （4）用列举法表示集合______. （5）用列举法表示集合 _____________. （6）用列举法表示集合 ________ （7）用列举法表示集合 ______. 14．集合中元素的运算： （1）已知，则 _______． （2）已知，，则_______________． （3）已知，，用列举法表示________． （4）已知，则_______________． （5）已知，则_______________． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $