26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）吉林专版

(3)圆形喷水池的半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流 不落在水池外 7.解：由题意，得点M(c,d). 当x=0时，y=2(0-c)2+d=2c2+d, .点N(0,2c2+d) 经过点M,N的直线l上存在无数个“厚德点”， .直线1的函数解析式为y=x, ∴.c=d,且2c2+d=0,解得c=- 1 1 2d=-2, 二次函数的函数解析式为y=2(+宁厂-分 点M(-7,) 当m-1≤m时，数y=2(+-有最小值识。 .x=- 2不可能在x=m-1和x=m之间. 若m<-之，则当x=m时，函数取得最小值。 即2(m+安月 1-15 -2=2 解得m子m=(合去： 5 若m-1>分，则当x=m-1时，函数取得最小值， 即2(-1+， 115 解得网子=（合去） 综上所述，m的值为±子 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【基酬巩固练】 1.B2.y=-3(x+3)2+33.C4.D5.B 6x<17, -8.1200 9解：(1)y=2--3=(x-22-4, 所以函数图象的顶点为(2，-4)，对称轴为直线x=2,开口 向上 (2)画出函数图象如答图. 4 2 4 2 、 9题答图 参考答案及解析 10.D11.y=x2+5x+2 【能力提升练】 1.C2.B3.-4.4 5.解：(1)令y=0,则22-2x-6=0, 所以x1=-2,x2=6,所以A(-2,0),B(6,0) 令x=0,则y=-6,所以C(0,-6). 设直线BC的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 将B6,0),C0,-6代入，得6+6-0解得=l, b=-6, 1b=-6, 所以直线BC的函数解析式为y=x-6. (2)设P(m,0)(0<m<6), 则(ma-6).n(m,子-2m-6） 所以0E=m-6-(分2-2m-6）-2+3m, PE=0-(m-6)=-m+6. 当DB=2PE时，-之m2+3m=2(-m+6), 解得m1=4,m2=6(不合题意，舍去)， 所以DB=-7x4+3×4=4 6.解：(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5, 得1-a+5=0,解得a=6. (2)由(1)知y=x2-6x+5, 对称轴为直线=2片=3 点A(0,t)在y轴上，过点A(0,)与x轴平行的直线交抛 物线于B,C两点， ∴.B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t 又，B为线段AC的中点，.xc=2xg, 2=3=2 2 把x=2代人y=x2-6x+5,得y=22-6×2+5=-3, ∴.t=-3. (3)y=x2-6x+5=(x-3)2-4, .抛物线的顶点坐标(3，-4). :抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与 x轴平行的直线l1,2之间时，且m<3<n, .下方的平行线不能在顶点(3，-4)上方， ∴.要使n-m最大，则m,n为一条直线与抛物线的交点的 横坐标，且x=m和x=n关于抛物线的对称轴对称. 又：直线1,2之间的距离为16， ∴.当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)， 即y=-4时，另一条直线的函数解析式为y=16-4=12, 如答图，此时n-m最大 令x2-6x+5=12,解得x1=7,x2=-1, 即n=7,m=-1, ·13· 同步练测·九年级数学（上册） ∴.n-m的最大值为7-(-1)=8. 2 9 54 2 432-1,102B45678910x 6题答图 微专题3同一平面直角坐标系中的一次函数与 二次函数图象 1.A2.B3.C4.C 微专题4抛物线对称性的运用 1.D2.C3.04.1 5.y=x2+4x+3或y=x2-4x+3 专题4求二次函数解析式的方法（拓展） 1.A 2.解：(1)此二次函数的解析式为y=-x2+2x-1. (2)点A(-2,-1)不在这个二次函数的图象上. 3.B4.B 5.解：A(-1,0),B(4,0), .∴.A0=1,0B=4, .∴.AB=A0+0B=1+4=5. .AB=0C,.OC=5, ∴.点C的坐标为(0,5) 设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-4), 将点C(0,5)的坐标代人，得-4a=5,解得a=-子 二次函数的解析式为y=-子(+1)(：-4)=-子2+ 只+5 6.y=3x2-2 7.解：(1)由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x -3),将点C(0,-3)的坐标代人得a=1, ∴.抛物线的函数解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3 =(x-1)2-4, .顶点P的坐标为(1，-4) (2)设旋转后抛物线的顶点坐标为Q(m,n), (4,0)为顶点P(1,-4)和Q(m,n)的中点， m+1=4,,4=0,解得m=7,n=4, 2 2 ·14. .点Q的坐标为(7,4) “,·旋转前后图形的形状不变，开口方向相反， ∴.易得旋转后的抛物线的函数解析式为y=-(x-7)2+4. 26.3二次函数与一元二次方程 课时1二次函数与一元二次方程 【基础巩固练】 1.A2.C3.D4.B5.(5,0),(-3,0) 6.A7.B8.m>19.四 10.(1)证明：当y=0时，2(x-1)(x-m-3)=0, 解得名1=1，x2=m+3. 当m+3=1,即m=-2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不等的实数根， 所以不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点. (2)解：当m>-3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴 的上方 【能力提升练】 1.D2.A 3.D[解析]易知二次函数y=ax2+2ax-3的图象的对称轴 是直线x=-1.由x1与x2对应的点关于对称轴对称，结合 图象可得1.3-（-1)=-1-2，解得2=-3.3.故选D. 4.D5.m≥-2 6.解：(1)把A(3,0),B(4,4)代入y=ax2+bx,得 a+360:解得1， 116a+4b=4, b=-3, ∴.抛物线的函数解析式为y=x2-3x (2)设直线OB的函数解析式为y=x(k≠0)， 把B(4,4)代入，得4k=4,解得k=1, ∴.直线OB的函数解析式为y=x, ∴.直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的函数解 析式为y=x-m 直线y=x-m与抛物线y=x2-3x只有一个公共点D, .x2-3x=x-m有两个相等的实数根， 整理，得x2-4x+m=0, .4=(-4)2-4m=0, 解得m=4,即m的值为4. ra+b+c=O, ra=1, 7.解：(1)由题意，得9a+3b+c=0,解得b=-4, Lc=3, lc=3, ∴.翻折前抛物线的函数解析式为y=x2-4x+3. (2)当m=0,且直线y=x+n与图象W有三个交点时，存 在两种情况： ①当直线y=x+n过点A时，与图象W有三个交点，此时n =-1； ②当直线y=x+n与图象W位于线段AB正上方的部分仅 有一个交点时，x+n=-x2+4x-3,即x2-3x+n+3=0, 则4=(-3)2-4×1×(n+3)=0,n=-子 综上，的值是-1或-子同步练测·九年级数学（上册） 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 《基础巩固练一 [答案P13] 知银点（① 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x- 8新考向已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 h)2+k的关系 自变量x与函数值y之间满足的数量关系如下 1将二次函数y=x2+12x+37化为y=a(x-h)2+ 表，则(9a-3b+c)(a-b+c)的值为 k的形式为 3 5 A.y=(x+6)2-1 B.y=(x+6)2+1 12 12 100 C.y=(x-6)2+1 D.y=(x-6)2-1 9已知二次函数y= --3 2把二次函数y=-3-2x化为y=a(x-h)2+k (1)用配方法求函数图象的顶点、对称轴，并写 的形式为 出图象的开口方向； 知跟点②二次函数y=ax+bx+c的图象和性质 (2)在所给平面直角坐标系中直接画出此函数 3(湖北鄂州期中)二次函数y=2x2+8x+7的图象 的图象 是 -20 -1% 4(攀枝花中考)关于抛物线y=-x2+6x-7,下 9题图 列说法正确的是 A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C.与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 5已知二次函数y=2x2-4x+5,当y随x的增大 知跟点③二次函数y=ax2+bx+c图象的平移 而增大时，x的取值范围是 ( 10将抛物线y=x2-6x+5先向上平移2个单位长 A.x<1 B.x>1 度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的 C.x<2 D.x>2 函数解析式是 6(天津河北区期中)已知函数y=x2-2x-3,当 A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3 函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是 C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2 11将抛物线y=x2+3x+1先向左平移1个单位长 7(徐州中考)二次函数y=x2+x+1的最小值为 度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的 函数解析式为 40 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第二十六章 二次函数 《能力提升练> [答案P13] 1①（上海浦东新区期中）已知抛物线y=ax2+bx+ (2)若DE=2PE,求线段DE的长. c(a≠0)上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应 值如下表： 0 1 3 4 5 -5 > > 15 -5 5题图 根据表格，下列判断正确的是 A.该抛物线开口向上 B.在对称轴左侧，y随x的增大而减小 C该抛物线一定经过点(-1，-) D.该抛物线的对称轴是直线x=1 6[核心素养]（浙江中考）已知抛物线y=x2-ax+ 2二次函数y=ax2+2x+1和一次函数y=ax-a 5(a为常数)经过点(1,0) (a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中 (1)求a的值； 的图象可能是 (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于 来 B,C两点，且B为线段AC的中点，求t的值； (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m ≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1,2 3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 之间.若直线11，l2之间的距离为16，求n- 则点P(ab+c,abc)在第 象限 m的最大值 3题图 4若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三 个点到x轴的距离等于m,则m的值为 日如图，抛物线y=乃-2x-6与轴交于A,B 两点，与y轴交于点C,P是线段OB上的一个动 点（不与点O,B重合），过点P作直线PD⊥x轴 交抛物线于点D,交直线BC于点E. (1)求A,B两点的坐标及直线BC的函数解析式； 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 41