26.3 二次函数与一元二次方程（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦“二次函数与一元二次方程”，以分层设计实现从基础巩固到中考衔接，通过图象分析与代数运算结合，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|二次函数与坐标轴交点、函数值计算、方程根的图象确定|基础题型为主，如填空题、选择题，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|方程近似根估算、二次函数与几何图形结合|综合题提升推理能力，如结合平移求交点距离，培养数学思维| |C组思维拔高|含参数二次函数综合应用、多知识点交叉问题|开放探究题发展创新意识，如含参数方程根的讨论| |拓展链接中考|中考真题题型，如二次函数与不等式解集、动态几何问题|对接中考考点，提升应用意识与应试能力|

分层作业 26.3 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01二次函数与x轴交点问题 题型02 二次函数与y轴交点 题型03已知自变量的值求函数值 题型04据函数的图象确定方程的根 题型05一元二次方程的近似根的估算 题型06根据图象解一元二次不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数与x轴交点问题题型01 1．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 3．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 5．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 二次函数与y轴交点题型02 6．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 8．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 已知自变量的值求函数值题型03 10．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 11．（25-26九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为______． 12．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 据函数的图象确定方程的根题型04 15．（25-26九年级上·山东青岛·期中）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 17．（25-26九年级上·重庆·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 19．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 一元二次方程的近似根的估算题型05 20．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 22．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 根据图象解一元二次不等式题型06 23．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 24．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 25．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 26．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 27．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 28．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 30．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 31．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 32．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 33．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为_____ 34．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 35．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 36．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 37．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 38．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 39．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 40．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 41．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知函数的图象如图所示，根据图象可得： (1)抛物线顶点坐标为______． (2)对称轴为______． (3)当______时，y有最大值是______． (4)当______时，随着的增大而增大． (5)当______时，． (6)关于的方程的解为______． 42．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 44．（2025·河北·模拟预测）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 45．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 46．（2026·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 47．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 48．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 49．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 50．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 51．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.3 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01二次函数与x轴交点问题 题型02 二次函数与y轴交点 题型03已知自变量的值求函数值 题型04据函数的图象确定方程的根 题型05一元二次方程的近似根的估算 题型06根据图象解一元二次不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数与x轴交点问题题型01 1．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 3．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，关于直线的对称点为，因此一元二次方程的根为1与； 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， ∴关于直线的对称点为， 一元二次方程的根为与； 即，． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 5．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 二次函数与y轴交点题型02 6．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 7．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 8．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 已知自变量的值求函数值题型03 10．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 11．（25-26九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 12．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法是解题的关键． （1）依据题意，将点坐标代入即可得到的值； （2）依据题意，将点坐标代入即可得到的值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为， 点在这个图象上， ，即， 则， 解得或． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【答案】(1) ，顶点坐标为 (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，包括待定系数法求解析式、顶点坐标的求解，以及函数值的运算，解决本题的关键在于利用抛物线所过的已知点求出参数，再根据抛物线上点的坐标关系建立方程并求解． （1）将点代入抛物线方程，即可解得的值；再将解析式化为顶点式或直接利用顶点坐标公式，即可求出抛物线的顶点坐标． （2）将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到 ​和​关于的表达式，根据已知条件 列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：， 解得， 将代入抛物线方程，得到． ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：已知点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴． 因为点在抛物线上，且， 所以将代入抛物线方程可得：， 即整理得，则有， 则或， 解得或． 据函数的图象确定方程的根题型04 15．（25-26九年级上·山东青岛·期中）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 16．（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 17．（25-26九年级上·重庆·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．通过观察抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征，来判断各项结论的正确性． 【详解】解：A、根据二次函数的性质，由抛物线开口向下，可得； ∵抛物线对称轴为， ∴根据对称轴公式，得到， 又∵抛物线与y轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故A选项不符合题意； B、∵从图象可以看到抛物线与轴有两个不同的交点， ∴在一元二次方程()中，判别式， 故：，(这里不能取等号，因为是两个不同交点)，故B选项不符合题意； C、∵观察图象可知，当时，， 即：，故C选项符合题意； D、由图可知：对称轴公式，得到，移项可得，而不是，故D选项不符合题意； 故选：C． 18．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 19．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 一元二次方程的近似根的估算题型05 20．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 21．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 22．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 根据图象解一元二次不等式题型06 23．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 24．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 25．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 27．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 29．（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 30．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 31．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 32．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据交点确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设二次函数的解析式，再代入，得，解得，即可作答． （2）根据对称轴为直线以及与x轴的一个交点坐标为，进行列式计算，得方程的两个根为，，即可作答． （3）结合（2）的结论以及二次函数的图象性质，得出不等式的解集为，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，得最大值为， 把代入，得；把代入，得，可得出当时，y的取值范围为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，函数的顶点C的坐标为， ∴设二次函数的解析式， ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴ 即二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为 ∴方程的两个根为，； （3）解：∵ ∴二次函数的开口方向向上， 由（2）得方程的两个根为，； ∴不等式的解集为； （4）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，且开口方向向上， ∴最大值为， 把代入，得； 把代入，得； 当时，则y的取值范围为． 33．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 34．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 35．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 【详解】（1）解：由图象看， ∵二次函数与x轴交于点， ∴方程的两个根是，； （2）解：从图象看， 当时，y随x的增大而增大； （3）解：从图象看， ∵当或时，二次函数的图象在x轴 ∴不等式的解集是：或． 36．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，   方程的负数解的取值范围是， 故选：B． 37．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 38．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 39．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 40．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 41．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知函数的图象如图所示，根据图象可得： (1)抛物线顶点坐标为______． (2)对称轴为______． (3)当______时，y有最大值是______． (4)当______时，随着的增大而增大． (5)当______时，． (6)关于的方程的解为______． 【答案】(1)； (2)直线； (3)，； (4)； (5)； (6)，． 【分析】本题考查了二次函数图象性质的基础应用，熟练掌握二次函数的顶点、对称轴、单调性、函数与方程的关系是解题的关键． 从图象中可直接观察到顶点的横、纵坐标； 二次函数的对称轴是过顶点且垂直于轴的直线，其方程为的顶点的横坐标，所以由顶点横坐标可直接得到对称轴； 因为抛物线开口向下图象从顶点向两侧下降，所以顶点是最高点． 抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，即可得出随增大而增大的区间； 根据图象即可求解； 方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交点的坐标分别是和， 对称轴是：直线， 抛物线的顶点是图象的最高点，从图中可直接看出顶点坐标为； 故答案为：； （2）解：抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线； （3）解：抛物线开口向下图象从顶点向两侧下降， 顶点是最高点，即当时，有最大值； 故答案为：，； （4）解：抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随着的增大而增大； 故答案为：； （5）解：当时，即抛物线在轴上方的部分， 由图可知当时，， 故答案为：； （6）解：方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标， 即，； 故答案为：，． 42．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 43．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 44．（2025·河北·模拟预测）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程有解，可得，当时，当时，，解不等式组即可解答． 本题考查抛物线与x轴的交点，根的判别式，不等式组的应用，函数性质的应用，关键是函数性质的应用． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， ∴或， 解得， 故选：C． 45．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 的取值范围是且． 【分析】（）先将点横坐标代入抛物线解析式，化简求出用表示的式子；再把含的点坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出与的关系式； （），先分别把横坐标代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出的取值范围，最后综合得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． 46．（2026·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入A、B的横坐标表达式，得到两点具体坐标，根据x轴上两点距离公式计算长度； （2）先求抛物线与y轴交点D的坐标，再结合点B坐标，用待定系数法得到直线的表达式，根据点E的横坐标t，分别代入抛物线和直线解析式得到M、N的纵坐标，作差得到关于t的函数表达式，结合点B的坐标，确定当长度逐渐增大时t的取值范围，关于t的函数为二次函数，进而求解a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，， 令，， 解得，， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）抛物线与轴交点， 且由（1）得，，， ∴解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴， ①当时，即， 此时点在左侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向右侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴当时，随的增大而增大，不合题意，舍去； ②当时，即， 此时点在右侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向左侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴对称轴为， ∵随的增大先变小后增大， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是． 47．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称轴，交点坐标 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 48．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②抛物线与轴交点坐标为和 ． (2)①；②或或． 【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可； （2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可． 【详解】（1）①略； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 49．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 50．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 51．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $