奥数培优第12讲 抽屉原理的一般表达（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 12 讲 抽屉原理的一般表达 【前言】 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 抽屉原理（鸽巢原理）是小学奥数逻辑核心专题，本讲讲解抽屉原理通用公式，区别基础入门版，覆盖极值最不利原则、环形求和、平面几何点分布、扑克牌极值、分组分配七大高频题型，是小升初填空、证明压轴必考内容。 本讲统一标准化解题模板，区分 “求至少数量”“保证达到指定数量” 两大考法，搭配分层例题、完整推导证明，掌握后可解决全部抽屉原理综合题型。 【三维教学目标】 知识与技能 熟记抽屉原理通用计算公式，分清有余数、无余数两种情况；掌握最不利原则（最倒霉思想） 解题套路，解决扑克牌、属相、分配类极值题；学会几何型抽屉：线段分区间、正方形分格、圆内点分布；掌握环形数字求和抽屉构造方法，规范文字证明书写步骤。 过程与方法 通过苹果 - 抽屉具象案例，抽象总结通用数学公式；归纳 “构造抽屉→计算物品→套用公式 / 最不利求和” 三步解题流程；分类对比代数分配、几何分布、环形求和三类题型，区分解题差异。 情感态度与价值观 建立极值逻辑思维，理解 “最坏情况” 的数学思考方式；锻炼严谨证明、分步推导能力，克服文字证明题畏难心理；感受数形结合、分类讨论的数学思想，提升逻辑推理素养。 【教学重难点】 重点 抽屉原理通用核心公式；最不利原则（最倒霉法）求最少抽取 / 分配数量；基础分配题型：属相、球类、学校分配问题。 难点 几何类抽屉：正方形分格、圆内点、线段区间证明；环形数字求和，自主拆分构造抽屉；多条件复合极值（同时满足两种花色、双重限制扑克牌题型）。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：有余数忘记 + 1，直接取商作为答案； ⚠️ 易错 2：最不利原则漏掉特殊元素（扑克牌大小王）； ⚠️ 易错 3：几何分格计算格子数量出错，正方形等分份数算错； ⚠️ 易错 4：环形求和构造抽屉重复、漏组，总和计算失误； ⚠️ 易错 5：区分两类提问：①至少有几个同类； ②保证 k 个同类最少取多少； ⚠️ 易错 6：“不能达到指定数量的最大值” 计算逻辑颠倒。 一、知识点总结 （一）抽屉原理通用核心公式 把件物品放入个抽屉中： 若 ，至少有一个抽屉放 件物品； 若 无余数，至少有一个抽屉放 件物品。 举例：5 个苹果放入 2 个抽屉 ，至少一个抽屉有 个苹果。 （二）两大核心解题思路 思路 1：基础分配（已知物品、抽屉，求至少同类数量） 计算步骤：物品总数 ÷ 抽屉数，有余商 + 1，无余取商。 适用：属相、学生分学校、拿球类、平面点分布。 思路 2：最不利原则（最倒霉法，保证出现 k 个同类，求最少物品） 解题模板： 最少数量 = 每个抽屉先放个 + 特殊额外元素（大王小王等） + 1 拓展：多条件复合，分步累加最坏情况。 适用：扑克牌、花色、颜色、物品抽取极值题。 （三）四大题型抽屉构造技巧 代数分配型：类别直接为抽屉（12 属相 = 12 抽屉，12 所小学 = 12 抽屉）； 扑克牌极值型：4 花色为 4 抽屉，大小王为独立特殊物品； 几何分布型：图形等分后的小格子 / 区间 / 圆形区域为抽屉； 环形求和型：相邻固定个数数字分为一组，每组为 1 个抽屉。 （四）标准解题三步法 1.构造抽屉：确定抽屉总数量； 2.统计物品：算出待分配物品总数； 3.套用方法：基础分配用除法公式；保证类用最不利求和，最后得出结论。 二、经典基础例题（3 道，思路 + 完整解析 + 随堂小练） 例 1 属相分配基础题 ★基础 【题目】①任意 25 人中，至少有 3 人属相相同；②要保证 5 人属相相同、但不保证 6 人相同，总人数范围？ 【解题思路】12 种属相 = 12 个抽屉，先用除法求至少人数；再用最不利算上下边界。 【完整解析】 ①抽屉数 = 12，物品 = 25 ，，因此至少 3 人属相相同； ②保证 5 人相同：每个属相先 4 人，人； 无法保证 6 人相同的最大值：每个属相最多 5 人，人； 总人数范围：49～60 人。 【方法总结】 求保证 k 个同类：；上限：。 【随堂小练 1】 87 名学生来自 12 所小学，证明至少 8 人来自同一学校。 例 2 拿球类分配题 ★基础 【题目】仓库有足球、排球、篮球，每人拿 1 或 2 个，66 名同学，求证至少 8 人拿球种类完全一致。 【完整解析】 枚举所有拿球组合，共 9 种：{足}、{排}、{篮}、{足足}、{排排}、{篮篮}、{足排}、{足篮}、{排篮}，抽屉 = 9； ，； 因此至少 8 人拿球搭配完全相同。 【随堂小练 2】 文具共 3 种，每人拿 1 或 2 件，45 人来领取文具，至少几人物品搭配完全一样？ 例 3 扑克牌单条件极值 ★提升 【题目】一副 54 张扑克，至少摸多少张，保证 5 张花色相同？ 【完整解析】 最不利情况：先摸出 2 张大王小王，4 种花色各 4 张； 总张数：；再摸 1 张必然凑 5 张同花色； 张。 答：至少摸 19 张。 【方法总结】 扑克牌优先取出大小王，再每种取张，最后 + 1。 【随堂小练 3】 54 张完整扑克牌，至少取出多少张，保证 2 张花色一样？ 三、拓展拔高例题（4 道几何 / 复合竞赛题型） 拓展 1 线段区间几何抽屉 ★★拔高 【题目】1 米线段任意放 7 个点，证明至少两点距离小于 17 厘米。 【完整证明】 1 米 = 100 厘米，平均分成 6 段，每段长度：厘米＜17 厘米； 6 个区间 = 6 个抽屉，7 个点放入 6 抽屉，，至少 2 点落在同一区间； 同区间两点距离≤区间长度＜17 厘米，得证。 【随堂小练 4】 120cm 线段放 9 个点，求证两点距离不超过 15cm。 拓展 2 正方形分格面积证明 ★★拔高 【题目】边长 3 米正方形，放入 28 个点，求证存在 4 点构成四边形面积≤1㎡。 【完整证明】 大正方形平分为 9 个边长 1m 的小正方形，9 个抽屉； ，，至少 4 点落在同一个 1m 小正方形内； 小正方形内任意四点组成四边形，面积不超过小正方形面积 1㎡。 【随堂小练 5】 边长 2 米正方形放 13 个点，证明 4 点围成图形面积≤1㎡。 拓展 3 环形数字求和抽屉 ★★★竞赛 【题目】1-10 顺次排成一圈，证明必有相邻三数之和不小于 17。 【证法一】 分组：，共 10 组抽屉； 全部总和 =； ，，至少一组和≥17。 【随堂小练 6】 数字 1、2、3、4、5、6、7、8 环形排列，取相邻两数为一组，共 8 组，求证至少一组和≥9。 拓展 4 多条件复合扑克牌极值 ★★★竞赛 【题目】54 张扑克，至少取出多少，保证 4 种花色全部出现？ 【完整解析】 最不利：先取完 3 种花色全部 13 张 + 大小王； 张，再取 1 张必为第四种花色； 张。 【随堂小练 7】 54 张完整扑克牌，至少取多少张，保证拿到 3 张红桃？ 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 有余数忘记 + 1 【题目】25 人 12 属相，至少几人同属相 错误：，答 2 人 正确：人 【避坑】只要有余数，结果必须商加 1。 易错题 2 扑克牌忽略大小王 【题目】保证 5 张同花色最少取牌 错误： 正确：，大小王要优先计入最坏情况。 易错题 3 几何等分份数算错 【题目】3 米正方形分 1㎡小正方形 错误：分成 6 格 正确：3÷1=3，个小正方形抽屉。 五、趣味挑战题 趣味 1 【题目】52 张无王扑克（4 种花色各 13 张），至少需要取多少张，保证有 2 张梅花 且 3 张黑桃？ 【解题思路】 采用最不利原则，分两种极端最坏情况计算，取数值更大的那种，再加 1 即为答案。 情况 A（梅花很少）：梅花取 1 张，其余三种花色各 13 张全取，总数 = 1 + 13×3 = 40 张，仍不满足（梅花仅 1 张）。 情况 B（黑桃很少）：黑桃取 2 张，其余三种花色各 13 张全取，总数 = 2 + 13×3 = 41 张，仍不满足（黑桃仅 2 张）。 【解】 同时满足「至少 2 张梅花、至少 3 张黑桃」，列出两种最坏极限： ①梅花仅取 1 张，其余三种花色各 13 张全取，共 1 + 13×3 = 40 张， 达不到 2 张梅花； ②黑桃仅取 2 张，其余三种花色各 13 张全取，共 2 + 13×3 = 41 张。 达不到 3 张黑桃； 41 张是无法同时满足两个条件的最大数量，再多 1 张一定补齐缺失花色： 41+1=42张。 答：至少需要取 42 张。 趣味 2 【题目】边长 1 米正方形放 10 个点，证明存在 3 点三角形面积≤㎡ 【解】同拓展题分格为 4 个 0.5m 小正方形，，至少一格≥3 点，小正方形内三角形最大面积㎡，得证。 趣味 3 【题目】1~12 环形排列，相邻 4 个数一组，证明至少一组总和≥26 【解】 共 12 组相邻四数组，每个数字出现 4 次 全部组总和 = ，无余数，平均值为 26 至少一组相邻 4 数之和≥26，得证。 六、一题多解精选（环形求和例题） 【题目】把数字 1~8 围成一圈，任意取相邻两数为一组，证明至少有一组两数之和≥9 方法 1 整体求和法（课堂主流解法） 环形 8 个数字，相邻两数组共 8 组：(1,2)、(2,3)……(8,1) 每个数字出现 2 次，全部组总和：2×(1+2+3+4+5+6+7+8)=72 平均分到 8 组：72÷8=9，无余数 结论：所有组平均值为 9，因此至少一组和≥9，得证。 方法 2 极值反证法（拓展第二种思路） 假设所有相邻两数的和都小于 9，即最大和为 8。 8 组全部相加总和最大为：8×8=64 但 1~8 环形相邻组合实际总和是 72，72＞64，假设矛盾。 因此不可能全部和＜9，必然至少一组和≥9。 【点评】 1.两种解法逻辑严谨、无漏洞，真正实现一题多解，适合五年级学生拓展； 2.方法 1 正向运用抽屉原理，考试标准作答； 3.方法 2 反证思路锻炼逆向逻辑，作为拔高拓展讲解； 4.完全替换原错误剔除数字证法，适配本讲环形求和题型体系。 七、基础必做习题（3 道） 基础 1 【题目】87 名获奖学生来自 12 所小学，证明至少 8 人来自同一所学校。 基础 2 【题目】1 米线段上任意放 7 个点，求证必有两点距离小于 17 厘米。 基础 3（无大小王 52 张扑克牌分 3 小问） ①至少取多少，保证 2 张同花色； ②至少取多少，保证 5 张同花色； ③至少取多少，四种花色全部取到。 八、拓展拔高习题（1 道） 拓展练习 【题目】边长 1 米正方形内放入 9 个点，证明必有 3 个点构成三角形面积不大于1/8平方米。 九、随堂小练完整答案 随堂小练 1 【题目】87 名学生来自 12 所小学，证明至少 8 人来自同一学校。 【解】 确定抽屉、物品：12 所小学 = 12 个抽屉，87 名学生 = 87 件物品 列式计算： 抽屉原理：有余数，商， 结论：无论怎么分配，至少有 8 名学生来自同一所学校，得证。 随堂小练 2 【题目】文具共 3 种，每人拿 1 或 2 件，45 人来领取文具，至少几人物品搭配完全一样？ 【解】 枚举所有拿取搭配（构造抽屉） 只拿 1 件文具：3 种（只文具 1、只文具 2、只文具 3）； 拿 2 件相同文具：3 种（两件 1、两件 2、两件 3）； 拿 2 种不同文具：3 种（文具1+文具2、文具1+文具3、文具2+文具3） 总搭配种类（抽屉总数）：种 物品总数 = 45 人，抽屉数 = 9 种搭配 计算：， 无余数，商即为最少人数 答：至少 5 人物品搭配完全相同。 随堂小练 3 【题目】54 张完整扑克牌，至少取出多少张，保证 2 张花色一样？ 【解】 最不利情况：先取出 2 张大小王，再 4 种花色各取 1 张 已取：张 再取任意 1 张，必然和前面某花色重复： 答：至少取 7 张。 随堂小练 4 【题目】120cm 线段上任意放 9 个点，求证必有两点距离不超过 15cm。 【解】 分段构造抽屉：，把线段平均分成 8 段，每段长 15cm，共 8 个区间抽屉 物品：9 个点， 原理：至少 2 个点落在同一段区间内，同一段最长距离 15cm 结论：一定存在两点距离≤15cm，得证。 随堂小练 5 【题目】边长 2 米正方形内放 13 个点，证明存在 4 个点围成图形面积≤1㎡。 【解】 步骤 1：构造抽屉（分割图形） 把边长 2 米的大正方形，横向、竖直各平均分成 2 等份，得到 4 个完全相同的小正方形。 每个小正方形边长：2÷2=1（米） 单个小正方形面积：1×1=1（平方米） 共 4 个抽屉（4 个 1㎡小正方形）。 步骤 2：运用抽屉原理分配点数 总点数 13 个，抽屉数 4 个 13÷4=3⋯⋯1 有余数，商+1：3+1=4 说明：无论 13 个点怎么摆放，至少有 1 个小正方形内会落下 4 个点。 步骤 3：面积结论推导 在面积为 1㎡的小正方形内部，任意 4 个顶点围成的四边形，面积一定不会超过这个小正方形本身的面积。 即这 4 个点围成图形面积≤1㎡。 步骤 4：总结得证 因此边长 2 米正方形内放入 13 个点，一定存在 4 个点围成图形面积不大于 1 平方米。 随堂小练 6 【题目】数字 1、2、3、4、5、6、7、8 环形排列，取相邻两数为一组，共 8 组，求证至少一组和≥9。 【解】 计算所有相邻组总和：每个数字出现 2 次 总和 共 8 组抽屉，，无余数 平均值为 9，因此至少一组相邻两数之和≥9，得证。 随堂小练 7 【题目】54 张完整扑克牌，至少取多少张，保证拿到 3 张红桃？ 【解】 最倒霉情况：先取尽所有非红桃的牌，此时仍无 3 张红桃，再抽取 3 张必然全为红桃，才能达成要求。 ①非红桃的另外 3 种花色各 13 张 + 大小王：张 ②再取 3 张全部是红桃，才能满足要求： 答：至少取 44 张。 十、基础习题完整解答 基础 1 【题目】87 名获奖学生来自 12 所小学，证明至少 8 人来自同一所学校。 【解】 抽屉数：12 所学校，物品总数：87 人 有余数， 说明至少有 8 名学生来自同一小学，得证。 基础 2 【题目】1 米线段上任意放 7 个点，求证必有两点距离小于 17 厘米。 【解】 1 米 = 100 厘米，平均分成 6 段，cm（小于 17cm） 6 个区间 = 6 个抽屉，7 个点： 至少两点落在同一段区间，区间长度不足 17cm，两点距离＜17cm，得证。 基础 3（无大小王 52 张扑克牌分 3 小问） ①至少取多少，保证 2 张同花色； ②至少取多少，保证 5 张同花色； ③至少取多少，四种花色全部取到。 【解】 ①无大小王，4 个花色抽屉，最坏每种 1 张：张 答：至少 5 张。 ②最坏每种花色取 4 张：张 答：至少 17 张。 ③最坏取完其中 3 种花色：，再取 1 张第四种：张 答：至少 40 张。 十一、拓展习题完整解答 拓展练习 【题目】边长 1 米正方形内放入 9 个点，证明必有 3 个点构成三角形面积不大于平方米。 【解】 构造抽屉：把大正方形横竖各平分，分成 4 个边长 0.5m 的小正方形，每个小正方形面积㎡； 分配点数：共 4 个抽屉，9 个点，，，至少一个小正方形内存在 3 个点； 几何结论：在边长 0.5m 的正方形内，任意三点组成三角形，最大面积为小正方形面积的一半：㎡； 因此一定存在三点围成三角形面积≤㎡，得证。 十二、本讲全套总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型 抽屉构造 核心计算 分配证明（属相 / 学校） 类别数为抽屉 物品 ÷ 抽屉，有余 + 1 保证 k 个同类（扑克） 花色为抽屉，大小王单独 线段几何 等分区间为抽屉 总长 ÷ 段数，点数＞段数则重合 正方形面积 均分小正方形 总点数 ÷ 格子，4 点一格面积受限 环形求和 相邻数组为抽屉 全部组总和 ÷ 组数，余数 + 1 （三）避坑清单 1.只要除法有余数，最终答案一定商加 1； 2.54 张扑克牌极值计算，优先把大王、小王计入最坏情况； 3.正方形等分小格，边长相除后平方才是总格子数； 4.两种提问区分： ①已知总数→求至少同类：除法公式； ②要求保证 k 个→求最少取出：最不利累加； 5.环形求和必须把全部组合总和相加再均分。 （四）解题记忆小口诀 抽屉原理分两类，分配极值各有规； 物品除以抽屉数，有余商后要加一； 保证同类找最坏，每种先拿少一张； 扑克别忘大小王，几何分格算清框； 环形求和全部加，均分余数得答案。 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！👍 学科网（北京）股份有限公司 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