奥数培优·第7讲 列方程解应用题（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 7 讲 列方程解应用题 【前言】 华罗庚名言：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 四年级我们初步接触简易方程，五年级奥数里列方程解应用题是万能解题工具。算术法需要逆向思维，方程依靠等量关系正向列式，盈亏、和差倍、比例、配套、分数复杂应用题都能轻松解决。本讲系统梳理设元技巧、等量寻找方法、七大经典题型，是小升初必考核心板块。 【三维教学目标】 知识与技能 熟记列方程解应用题标准五步解题流程； 掌握直接设元、间接设元两种设未知数方法； 熟练从文字、倍数、配套、盈亏条件中提取等量关系； 能独立解决分数、比例、配套、多变量复合型方程应用题。 过程与方法 通过对比算术法与方程法，体会正向列式优势； 分类归纳七大题型等量模板，形成标准化解题思路； 规范解方程、检验、作答完整书写格式，减少步骤失分。 情感态度与价值观 克服复杂应用题逆向思考难点，降低做题畏难情绪； 培养审题标注、等量划线、规范演算的良好解题习惯； 感受代数思想的通用性，建立数学建模思维。 【教学重难点】 重点 列方程标准五步完整流程；快速寻找题目隐藏等量关系； 直接设元、间接设元的选择技巧；盈亏、和差倍、分数基础方程题型。 难点 多变量配套问题间接设中间量；比例类应用题建立比例等式； 含分数、除法等量关系列式不颠倒；复杂多条件多层等量拆分。 【 高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：等量关系写反（A 比 B 多 x 写成 A-x=B，极易颠倒左右） ⚠️ 易错 2：分数列式混淆，“某数的 1/2” 忘记乘未知数 ⚠️ 易错 3：配套问题人数、零件换算比例颠倒，计算人数时分母分子写反 ⚠️ 易错 4：解方程移项不变号，常数、未知数混淆移动 ⚠️ 易错 5：忘记检验步骤，出现负数、不符合题意答案不察觉 ⚠️ 易错 6：间接设元后，最后只求中间量，忘记还原题目所求量 一、 知识点总结 （一）核心概念 1. 方程：含有未知数的等式； 2. 列方程核心：找到不变量 / 相等量建立左右等式； 3. 两种设元法： 直接设元：问什么设什么（基础简单题） 间接设元：设中间等量（配套、多变量、比例难题） （二）标准五步解题步骤 ① 审题：圈出已知量、未知量，标出关键词（如"共""比…多""比…少""几倍""几分之几""剩""差""原来""现在"等），找出不变条件和等量关系； ② 设元：合理设未知数 x（直接 / 间接）； ③ 列式：依据等量关系写出完整方程； ④ 解方程：移项变号，合并同类项，算出 x； ⑤ 检验作答：代入原题验证，求出题目最终问题。 （三）7 大类等量关系提取模板 1. 和差型：甲 ± 差 = 乙；甲 + 乙 = 总和 2. 倍数型：几倍数 = 一倍数 × 倍数 3. 盈亏型：总量不变→第一种分配总量 = 第二种分配总量 4. 分数占比型：前后不变量相等（如文艺书本数不变） 5. 比例型：长：宽 = 定值，交叉相乘解方程 6. 配套型：甲零件总数：乙零件总数 = 配套固定比例 7. 多变量相等型：调整后四个量全部相同，统一设中间等量 （四）解方程通用规则 1. 移项：跨过等号，加号变减号、减号变加号； 2. 含未知数项放左边，纯数字放右边； 3. 两边同时除以未知数系数，得到 x 的值； 4. 检验：左边计算结果 = 右边，解成立。 二、 经典例题 3 道 例 1 纯分数文字方程 ★基础 题目：减去一个数，所得差与 1.35 加的和相等，求这个数。 【解题思路】直接设所求数为 x，依据 “差 = 和” 建立等量等式。 【完整解析】 【解】设这个数为 x。 统一分数： 移项： 通分计算得： 检验：左边，右边，左右相等。 答：这个数是。 【方法总结】 文字题直接设问题为 x，抓关键词 “相等” 搭建等式。 【随堂小练 1】 某数的比它的少 5，求这个数。 例 2 和差平均数应用题 ★基础 题目：篮球、足球、排球平均每个 36 元，篮球比排球贵 10 元，足球比排球贵 8 元，求足球单价。 【解题思路】三个量都和排球比较，间接设排球为 x，总价不变列方程。 【完整解析】 【解】设排球单价 x 元，篮球元，足球元。 三种球总价 = 平均价 ×3 足球：（元） 答：每个足球 38 元。 【方法总结】 多个量有统一参照量，优先设参照量为 x，简化列式。 【随堂小练 2】 钢笔、中性笔、铅笔平均 5 元，钢笔比铅笔贵 2 元，中性笔比铅笔贵 1 元，钢笔多少钱？ 例 3 盈亏问题（总量不变）★提升 题目：计划吃若干天，每天吃 4 个，还剩 48 个；每天吃 6 个，还差 8 个，求苹果总数与计划天数。 【解题思路】苹果总个数固定，两种吃法总量相等，两种设元思路。 解法 1（设天数 x）： 苹果：（个） 解法 2（设苹果 x 个）： 交叉相乘： 天数：（天） 答：苹果 160 个，计划吃 28 天。 【方法总结】 盈亏核心：物品总数不变，可设天数或物品总量两种未知数。 【随堂小练 3】 每人分 5 块糖剩 20 块；每人分 8 块缺 10 块，多少人、多少糖？ 三、拓展例题 拓展 1 多变量等量转换（间接设元）★★拔高 题目：甲乙丙丁共做 270 个零件，甲多做 10、乙少做 10、丙 ×2、丁 ÷2 后四人数量相等，求丙实际产量。 【解题思路】设调整后相等数量为 x，反向表示四人原数量，总和为 270。 【完整解析】 设调整后每人 x 个，则： 甲：，乙：，丙：，丁： 丙：（个） 答：丙实际做 30 个。 【方法总结】 多个变量调整后数值相同，统一设中间等量 x，反向还原各量。 【随堂小练 4】 四个数总和为 160，甲加 5、乙减 5、丙乘 3、丁除以 3后，四个数相等，求丙原来的数。 拓展 2 不变量分数应用题 ★★拔高 题目：原有图书 630 本（文艺 + 科技），文艺占 80%；购进一批科技书后，文艺占总数 70%，求购进科技书本数。 【解题思路】文艺书本数全程不变，以不变量搭建等式。 【完整解析】 【解】设购进科技书 x 本。 原有文艺：（本） 现总本数 ×70% = 文艺书 答：购进科技书 90 本。 【方法总结】 分数增减题型，优先锁定全程不变的量作为等量。 【随堂小练 5】 班级 40 人，女生 60%，转来几名男生后女生占 50%，转来男生多少人？ 拓展 3 配套比例复合型方程 ★★★竞赛 某车间共有 69 名工人，每人每天可加工甲零件 5 个、乙零件 4 个或丙零件 3 个。现需要将甲、乙、丙三种零件按 3∶4∶9 的比例配成一套产品。问：生产甲、乙、丙的工人各应安排多少人？ 【解题思路】配套比例固定，设成套数量为中间未知数，用产量反推所需工人数。 【完整解析】 设一共生产了 x 套产品，则： 需甲零件 3x 个，乙零件 4x 个，丙零件 9x 个； 生产甲所需工人数：人； 生产乙所需工人数：人； 生产丙所需工人数： 人。 总人数为 69，列方程： 所以： ⇒ x=15 成套数 x=15，代入求各工种人数： 甲： 9（人） 乙：15（人） 丙： 45（人） 检验 总人数： 9+15+45=69，符合； 甲产量： 9×5=45，可配成的套数 45÷3=15； 乙产量： 15×4=60，可配成的套数 60÷4=15； 丙产量： 45×3=135，可配成的套数 135÷9=15。 三种零件均刚好配成 15 套，完全配套。 答：生产甲、乙、丙的工人分别安排 9 人、15 人、45 人。 【方法总结】 配套问题必须设成套数量为中间元，用产量 ÷ 单人效率得到所需工人。 【随堂小练 6】 某车间共有 60 名工人，每人每天可生产 A 零件 4 个或 B 零件 2 个。已知每 2 个 A 零件与 3 个 B 零件配成一套。问：生产 A、B 零件的工人各有多少人？ 四、易错题专区 易错题 1 等量左右颠倒 题目：甲数比乙数大 12，两数和 60，求乙数。 常见错误思路：设乙为 x，错误地认为"甲比乙大12“就是"甲”，极易踩坑，得到：，解得x=36，代入检验发现甲=24、乙=36，实际上乙比甲大12，与题意矛盾。 正确做法： “甲比乙大12” 意味着 甲 = 乙 + 12，不是乙 = 甲 + 12 正确：设乙为 x，甲，，解得 【避坑】“A 比 B 多”→A=B + 差；“A 比 B 少”→A=B - 差。 易错题 2 分数乘法漏乘未知数 题目：一个数的是 18，求这个数 错误： 正确： 【避坑】“某数的几分之几”= 分数 × 未知数。 易错题 3 配套人数换算分子分母颠倒 题目：每人每天生产 2 个 A，一套需要 3 个 A，求生产一套需要人数 错误： 正确：一套需 3 个，单人日产 2，人数 = 【避坑】需要总量 ÷ 单人每日产量 = 所需工人。 五、 趣味挑战题 1.年龄谜题：爸爸今年年龄是儿子 4 倍，20 年后儿子年龄是爸爸，求今年父子年龄； 2.天平魔术：左边 3 个苹果 + 10克 砝码 = 右边 5 个苹果，求单个苹果重量； 3.古题鸡兔改编：鸡兔共 40 只，脚 112 只，列方程求解。 六、 一题多解精选 经典盈亏题：每天吃 4 个多 48，每天吃 6 个少 8 方法 1（直接设天数 x）：以苹果总数为等量，列式最简，计算最快； 方法 2（直接设苹果 x）：以计划天数为等量，适合熟练分数方程学生； 【点评】优先设较小变量（天数），方程无分数，计算不易出错。 七、基本练习 5道（基础必做） 1. 买 2 米布剩 1.8 元，买 4 米差 2.4 元，带了多少钱？ 2. 一车间人数是二车间 3 倍，调 20 人后两车间相等，原各多少人？ 3. 两池共蓄水 40 吨，甲进 4 吨、乙放 8 吨后水量相等，原各蓄水多少吨？ 4. 甲堆 4.5 吨，乙 6 吨，甲每天用 0.36 吨，乙每天 0.51 吨，几天后剩余相等？ 5. 四人共 45 球，小龙 + 2、小虎 - 2、小方 ÷2、小圆 ×2 后数量相同，原各多少？ 八、拓展拔高练习 3道（竞赛选做） 拓展 1 题目：3辆甲车和5辆乙车共同运5趟的总载客量，等于5辆甲车和4辆乙车共同运4趟的总载客量，比较甲乙单车载客量。 拓展 2 题目：长方形长宽比 7:2，长比宽多 45 米，求面积。 拓展 3 题目：30 名工人，日产 A6 个 / B10 个，A:B=2:5 配套，求生产 A、B 人数。 九、随堂小练答案 随堂小练 1 题目：某数的比它的少 5，求这个数。 【解】设这个数为 等量关系： 通分，分母 12： 检验：，符合题意。 答：这个数是 60。 随堂小练 2 题目：钢笔、中性笔、铅笔平均 5 元，钢笔比铅笔贵 2 元，中性笔比铅笔贵 1 元，钢笔多少钱？ 【解】设铅笔单价元，钢笔元，中性笔元 三件总价： 钢笔价格：（元） 答：钢笔 6 元。 随堂小练 3 题目：每人分 5 块糖剩 20 块；每人分 8 块缺 10 块，多少人、多少糖？ 【解】设一共有人，糖果总数不变 糖果数量：（块） 检验：，数量一致。 答：共 10 人，70 块糖。 随堂小练 4 题目：四个数总和为 160，甲加 5、乙减 5、丙乘 3、丁除以 3后，四个数相等，求丙原来的数。 【解】设调整后相等的数为 甲：，乙：，丙：，丁： 丙： 检验： 甲：30−5=25，乙：30+5=35，丙：10，丁：3×30=90 总和：25+35+10+90=160。 答：丙原数为。 随堂小练 5 题目：班级 40 人，女生 60%，转来几名男生后女生占 50%，转来男生多少人？ 【解】原有女生：（人） 设转来男生人，女生人数不变 答：转来 8 名男生。 随堂小练 6 题目：车间 60 人，每人日产 A 零件 4 个、B 零件 2 个，2 个 A 配 3 个 B 成套，求生产 A、B 各多少人？ 【分析】 设生产 A 的工人数为x，则生产 B 的为60-x。根据配套比例（A∶B = 2∶3）建立等式。 【解】 设生产 A 的工人有 x 人，则生产 B 的有  (60−x) 人。 A 日产量：4x 个； B 日产量：2(60−x) 个。 配套要求：A 总量与 B 总量之比为 2:3，即： 交叉相乘： 3⋅4x=2⋅2(60−x) 12x=4(60−x)=240−4x 16x=240⇒ x=15 所以生产 A 的工人为 15 人，生产 B 的为 60−15=45 人。 【检验】 A 产量： 15×4=60 个； B 产量： 45×2=90 个； 比例 60:90=2:3，正好配套。 答：生产 A 零件的工人 15 人，生产 B 零件的工人 45 人。 十、基本练习完整解答 1.答案：一共带 6 元。 【解】设布每米元，总钱数不变 总钱数：（元）， 答：一共带 6 元。 2. 答案：一车间 60 人。 【解】设二车间原有人，一车间人 一车间人数：（人） 答：二车间原有 20 人，一车间原有 60 人。 3. 答案：甲14吨，乙26吨。 【解】设甲原有x吨，则乙原有(40-x)吨， 甲进4吨后：x+4， 乙放8吨后：(40−x)−8。 两池相等：x+4=(40−x)−8 解得x=14，乙=26吨。 4.答案：10 天后剩余重量相等。 【解】设天后剩余重量相等 答：10 天后剩余重量相等。 5. 答案：小龙8个，小虎12个，小方20个，小圆5个。 【解】设调整后相等数量为 x，则 小龙原来：x−2=8 小虎原来：x+2=12 小方原来：2x=20 小圆原来： 列方程： 解得x=10 答：小龙8个，小虎12个，小方20个，小圆5个。 十一、拓展练习完整解答 拓展 1 题目：3辆甲车和5辆乙车共同运5趟的总载客量，等于5辆甲车和4辆乙车共同运4趟的总载客量，比较甲乙单车载客量。 【解】设甲车每趟载客人，乙车每趟载客人，两种方案总载客量相等，列方程如下： 答：甲车每趟载客量是乙车的 1.8 倍，甲车单次载客更多。 拓展 2 题目：长方形长宽比 7:2，长比宽多 45 米，求面积。 【解】设长米，宽米 长：米，宽：米 面积：（平方米） 答：长方形面积 1134 平方米。 拓展 3 题目：30 名工人，日产 A6 个 / B10 个，A:B=2:5 配套，求生产 A、B 人数。 【解】设成套数量 每套需 A：个，B：个 生产 A 人数： 生产 B 人数： 总人数： 通分： 生产 A 人数：（人） 生产 B 人数：（人） 检验：A 产量，B 产量，，配套比例符合。 答：生产 A 零件 12 人，生产 B 零件 18 人。 十二、 本讲总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型 核心等量模板 推荐设元方式 文字分数题 差 / 和 / 倍数相等 直接设问题 和差平均数 多量均参照同一数 设参照量 盈亏问题 物品总数不变 优先设天数 分数增减 不变量 = 前后对应分率总量 设所求量，用不变量列等式 配套零件 零件配比换算工人数 设成套份数 多变量相等 调整后数值统一 设中间等量 比例型 长:宽 = 定值，交叉相乘 设每份为x （三）避坑清单 1. “A 比 B 多” 不要写成 B + 差 = A 颠倒等式； 2. “一个数的几分之几” 必须用分数 ×x； 3. 配套计算：需求总量 ÷ 单人产量 = 所需人数； 4. 移项跨等号，加减符号必须反转； 5. 间接设元，算出 x 后务必还原题目所求； 6. 答案负数、人数小数要重新检查列式。 （四）解题记忆小口诀 方程解题分五步，审题先把等量抓； 直接间接巧设元，不变总量架等式； 移项变号仔细算，分数乘法别漏它； 配套比例看份数，算出记得再作答。 祝贺你完成了本讲的学习，为加油💪的你，奖励一下自己吧！ 学科网（北京）股份有限公司 $