第24讲正弦定理、余弦定理的应用（知识清单+6典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦正弦定理、余弦定理应用专题，涵盖边角互化、解的判断、面积计算及范围问题等高考核心考点。以知识清单梳理基础公式，典例精讲六大题型，方法技巧提炼解题大招，分层训练落实能力提升，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生系统构建解三角形知识体系，突破高考高频难点。 资料突出实战导向与思维培养，如解题大招中“余弦定理+基本不等式求最值”技巧，引导学生用数学思维分析边角关系，培养推理能力。分层训练设基础过关、拔高选练、错题复盘三级，配合真题变式演练，确保学生高效掌握解题套路，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第24讲正弦定理、余弦定理的应用 （知识清单+6典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 正余弦定理边角互化、三角形边长与面积计算 单选/解答题 5分/12分 余弦定理、面积公式综合应用、基础求值 解答题 12分 正余弦定理综合、周长与面积范围问题 解答题 12分 余弦定理构造、边长取值范围求解 单选/填空题 5分 正弦定理基础求值、解的个数判断 单选题 5分 正余弦定理联动、面积最值综合压轴 解答题 12分 【知识点01】正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝ sin B＝sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【例1】在 中，已知 ，，，求边长 。 【知识点02】三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 【例2】在 中，，判断三角形解的个数。 【知识点03】三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；  (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). 【例3】在 中，已知 ，求三角形面积。 【题型一】正弦定理解三角形 【例1】（2026·重庆江北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2025·江西萍乡·二模）在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）在中，，，，角C为钝角，则________． 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 【题型二】正弦定理求外接圆半径 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【变式1】（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，若，，则外接圆的面积为__________. 【题型三】正弦定理边角互化的应用 【例3】（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）内角的对边分别为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北衡水·模拟预测）在中，若，，则_________. 【变式3】（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【题型四】三角形面积公式及其应用 【例4】（2026·陕西咸阳·三模）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】（多选）（2026·陕西咸阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）记的内角的对边分别为．已知，，的平分线交于点D． (1)求b的值； (2)从下列条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长． 条件①：边上的高为；条件②：的面积为． 【题型五】余弦定理解三角形 【例5】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【变式3】（2026·安徽滁州·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求; (2)若是锐角三角形，，延长至点，使，求的取值范围． 【题型六】余弦定理边角互化的应用 【例6】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【变式1】（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【变式3】（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【解题大招01】正弦定理“边角互化”技巧 在三角形等式中，若式子为齐次式（边次数相同、角正弦次数相同），可利用正弦定理 实现边化角或角化边，消去外接圆半径 ，简化式子。 适用题型：判断三角形形状、化简边角等式、求角度。 【例1】在 中，满足 ，结合定理化简并分析边角关系。 【解题大招02】余弦定理“构造最值”技巧 已知三角形一边及对角，利用余弦定理结合基本不等式，可快速求解另外两边和、积、周长、面积的最值，是高考解三角形压轴必考套路。 核心逻辑：余弦定理列式 → 构造 → 求最值范围。 【例2】在 中，，，求 的最大值。 【解题大招03】两边一对角“解的个数快速判断”技巧 已知 （两边一对角），无需画图，直接通过边长与高的大小关系秒杀判断解的个数： （三角形最大高） 1. 锐角： 无解； 一解； 两解； 一解 2. 钝角/直角： 一解； 无解 【例3】在 中，，判断解的个数。 【解题大招04】面积公式联动正余弦定理综合技巧 解三角形解答题通用套路：正余弦定理解边长、角度 → 代入面积公式求面积 → 结合不等式求最值，三步秒杀综合大题。 核心组合公式： 【例4】在 中，，，求三角形面积最大值。 【解题大招05】三角形内角关系转化技巧 在 中，，利用内角和诱导公式化简三角式，是解三角形化简题的隐藏技巧： 【例5】在 中，化简 。 【解题大招06】外接圆半径速求技巧 已知任意一组边角，可通过正弦定理快速求三角形外接圆半径： 常结合面积拓展公式 综合考查。 【例6】在 中，，求外接圆半径 。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·宁夏·一模）在中，已知，则（    ）. A． B． C． D． 2．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 6．（2026·陕西西安·三模）在中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为___________，___________． 四、解答题 7．（2026·甘肃·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若边，求的面积S的最大值． 8.（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【拔高选练】（共6题） 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若，则的相反数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·三模）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 二、多选题 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 三、填空题 4．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为．其中，当__________．（填一个符合条件的答案即可）时，有唯一解． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则的周长为______． 四、解答题 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 3．（2026·河北邢台·三模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积， ， 则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·湖南长沙·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______. 四、解答题 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲正弦定理、余弦定理的应用 （知识清单+6典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 正余弦定理边角互化、三角形边长与面积计算 单选/解答题 5分/12分 余弦定理、面积公式综合应用、基础求值 解答题 12分 正余弦定理综合、周长与面积范围问题 解答题 12分 余弦定理构造、边长取值范围求解 单选/填空题 5分 正弦定理基础求值、解的个数判断 单选题 5分 正余弦定理联动、面积最值综合压轴 解答题 12分 【知识点01】正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝ sin B＝sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【例1】在 中，已知 ，，，求边长 。 解析：根据正弦定理： 代入已知条件 ： 解得： 答案： 【知识点02】三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 【例2】在 中，，判断三角形解的个数。 解析：已知 为锐角，先计算： 满足关系：，即 根据解的判定法则，此三角形有两解。 答案：两个解 【知识点03】三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；  (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). 【例3】在 中，已知 ，求三角形面积。 解析：直接代入三角形面积公式： 答案： 【题型一】正弦定理解三角形 【例1】（2026·重庆江北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理建立边角的等量关系，代入已知条件求解的值 【详解】在中，由正弦定理得，交叉变形可得，已知， 因此，结合题设，将上述值代入，可得： ，解得 【变式1】（2025·江西萍乡·二模）在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和定理求解即可. 【详解】因为，则为锐角，由正弦定理可得， 所以，故， 因此. 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）在中，，，，角C为钝角，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件求出角，再利用正弦定理及平方关系求解. 【详解】在中，由角C为钝角，得角是锐角，则， 由，得，，而，， 由正弦定理得，而角C为钝角， 所以. 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 【答案】 【分析】在△中利用正弦定理求解出，再在△中利用正弦定理求解出. 【详解】△中，由正弦定理得：， 因为为锐角，所以，从而，所以， 从而，△中，由正弦定理，所以. 【题型二】正弦定理求外接圆半径 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 【变式1】（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，若，，则外接圆的面积为__________. 【答案】 【分析】将给定等式消去角C，而求得A，再由正弦定理求出外接圆半径即可得解. 【详解】中，因，则， 化简得，而sinB>0，则tanA=1，， 外接圆半径为R，由正弦定理得，即R=1， 所以外接圆的面积为. 故答案为： 【题型三】正弦定理边角互化的应用 【例3】（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由正弦定理可知，即， 所以. 【变式1】（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）内角的对边分别为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 由正弦定理可得，又， 所以，，． 因为，所以，故， ， 所以． 【变式2】（2025·河北衡水·模拟预测）在中，若，，则_________. 【答案】/ 【分析】先由正弦定理得，再由同角的三角函数关系式得，再由大边对大角定理得为锐角，进而得到答案. 【详解】由正弦定理得，又，得①， 再由，得②， ①②代入，得，得， 所以，即或. 又因为，由大边对大角得，所以为锐角， 所以. 故答案为：. 【变式3】（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【详解】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 【题型四】三角形面积公式及其应用 【例4】（2026·陕西咸阳·三模）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 【变式1】（多选）（2026·陕西咸阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和求出角，通过角度恒等变换关联，结合和差角公式得到正切乘积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积. 【详解】由，，可得，即，故. 则，，所以， 因此. 又， 联立, 解得，， 则. 由，结合正弦定理与三角形面积公式， . 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）记的内角的对边分别为．已知，，的平分线交于点D． (1)求b的值； (2)从下列条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长． 条件①：边上的高为；条件②：的面积为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边角转化，即可求解； （2）选择条件①，不可以求出的长，选择条件②，利用面积公式即可求出边，然后利用等腰三角形性质求的长. 【详解】（1）因为，所以， 又，由正弦定理可得：， 所以． （2）    若选①：因为边上的高为，，， 根据正弦函数可知边上的高又等于， 所以这样的三角形不存在； 若选②：的面积，解得． 所以，所以为等腰三角形， 又为的平分线，所以，即． 【题型五】余弦定理解三角形 【例5】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】在中由余弦定理得： ，则或（舍）. 【变式1】（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】根据三角形面积公式 ，代入已知，； ，解得：， 根据余弦定理 ，代入， ​， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】或或 【详解】因为，，所以、均为方程的根， 对于方程，两根，，，， 所以当时，因为，所以为等边三角形， 则此时或， 当时，，，所以由余弦定理， 则，则此时. 【变式3】（2026·安徽滁州·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求; (2)若是锐角三角形，，延长至点，使，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知等式进行通分化简，再结合余弦定理即可求出角； （2）先利用几何法，通过作垂线确定锐角三角形中边的取值范围；再在中用正弦定理建立与的关系，结合的范围直接推导出的取值范围. 【详解】（1）由得， 整理得，所以，     因为，所以． （2）如图，分别作，垂足为Q，，垂足为B，与射线交于点P． 当点在线段上（不含，）时，满足是锐角三角形． 因为，，所以，， 故．             在中，因为， 所以， 由正弦定理得，，得 ，     故的取值范围是． 【题型六】余弦定理边角互化的应用 【例6】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当 时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 【变式1】（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【答案】1 【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c. 【详解】根据余弦定理得：， 即，整理得， 即，因为，所以. 【变式3】（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正余弦定理转化为边的关系求解即可； （2）根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理及正弦定理可得，， 即，所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 由知，，所以. 【解题大招01】正弦定理“边角互化”技巧 在三角形等式中，若式子为齐次式（边次数相同、角正弦次数相同），可利用正弦定理 实现边化角或角化边，消去外接圆半径 ，简化式子。 适用题型：判断三角形形状、化简边角等式、求角度。 【例1】在 中，满足 ，结合定理化简并分析边角关系。 解析：由正弦定理边角互化： 式子恒成立，拓展经典题型：若 边化角得： 由三角形内角范围 ，得 结论：三角形为等腰三角形 【解题大招02】余弦定理“构造最值”技巧 已知三角形一边及对角，利用余弦定理结合基本不等式，可快速求解另外两边和、积、周长、面积的最值，是高考解三角形压轴必考套路。 核心逻辑：余弦定理列式 → 构造 → 求最值范围。 【例2】在 中，，，求 的最大值。 解析：由余弦定理： 代入已知条件： 由基本不等式 ： 即 ，当且仅当 时取等号。 答案： 最大值为 【解题大招03】两边一对角“解的个数快速判断”技巧 已知 （两边一对角），无需画图，直接通过边长与高的大小关系秒杀判断解的个数： （三角形最大高） 1. 锐角： 无解； 一解； 两解； 一解 2. 钝角/直角： 一解； 无解 【例3】在 中，，判断解的个数。 解析：计算高： 因为 ，不满足三角形构成条件。 答案：无解 【解题大招04】面积公式联动正余弦定理综合技巧 解三角形解答题通用套路：正余弦定理解边长、角度 → 代入面积公式求面积 → 结合不等式求最值，三步秒杀综合大题。 核心组合公式： 【例4】在 中，，，求三角形面积最大值。 解析：由余弦定理： 面积公式： 答案：面积最大值为 【解题大招05】三角形内角关系转化技巧 在 中，，利用内角和诱导公式化简三角式，是解三角形化简题的隐藏技巧： 【例5】在 中，化简 。 解析：由三角形内角和： 原式化简结果： 【解题大招06】外接圆半径速求技巧 已知任意一组边角，可通过正弦定理快速求三角形外接圆半径： 常结合面积拓展公式 综合考查。 【例6】在 中，，求外接圆半径 。 解析： 答案： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·宁夏·一模）在中，已知，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：. 2．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可. 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 3．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 在中，由以及正弦定理得：，得． 二、多选题 4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 三、填空题 5．（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 6．（2026·陕西西安·三模）在中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为___________，___________． 【答案】 【分析】先由同角三角函数关系，求出的值，再代入三角形面积公式，求出三角形的面积；最后用余弦定理求出，进而求得. 【详解】因为，所以． 因为，，所以的面积为． 在中，由余弦定理得， 所以． 四、解答题 7．（2026·甘肃·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若边，求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，因此，即，又， 所以. （2）由（1）知，而，由余弦定理， 得，则，当且仅当时取等号， ， 所以的面积S的最大值为. 8.（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【详解】（1）在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． （2）因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 【拔高选练】（共6题） 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若，则的相反数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理进行边化角，利用两角和差的正弦公式结合正弦函数的图像得到的等量关系式，利用二倍角的余弦公式求出，从而得到所求. 【详解】因为， 所以， 即， 即，而为三角形内角， 则或(舍，因为与题设矛盾)， 解得，即，则的相反数为. 2．（2026·河南·三模）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理以及二倍角公式求解即可. 【详解】由得，所以， 又由余弦定理，得， 解得或，若，则，得， 又由且，得，与矛盾， 若，由余弦定理得， ，所以. 二、多选题 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A.由面积公式求解；B.由余弦定理求解；C.根据三角函数三者关系求解；D.根据中线公式求解. 【详解】由 为锐角，所以，A错误； 由，为锐角，得，由余弦定理得 ，则，B正确； 由题意，可得，则， ，所以C正确； 由，得，则，D正确． 三、填空题 4．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为．其中，当__________．（填一个符合条件的答案即可）时，有唯一解． 【答案】（答案不唯一）. 【分析】当或时，有唯一解，求解即可. 【详解】当或时，有唯一解． 则或， 故答案为：（答案不唯一）. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则的周长为______． 【答案】/ 【详解】由正弦定理得， 结合， 得，即， ，，， 由的面积为可知，，得， 由，知， ，， 的周长为． 四、解答题 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 2．（2026·江苏·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由已知结合余弦定理得到，设，求出的范围得到，求出，求出，令 ， 则 ，令 ，则 ，由的范围得的范围，则转化为函数，令，函数转化为， 利用二次函数的图像和性质得到，即的最大值， 从而得到的最大值. 【详解】因为， 所以， 解得：，即：， 又，则， 则， 设 （边长比值为正），则 ， 将其代入得： ，即， 又， 则，即， 即，即，即，故， 将 、代入表达式， 得到， ， ， 即， 由正切定义（，，比值符号为正）， 故：， 令 ， 因为，， ， 设， 令 ，则 ，由得， 则转化为函数， 拆分化简：， 令，由得， 函数转化为， 该二次函数开口向下，对称轴为，且 ， 在定义域内可取到最大值， 将代入得：， 即的最大值为，又因为三角形内角， ， 故的最大值为. 故选项B正确. 二、多选题 3．（2026·河北邢台·三模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积， ， 则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A，利用三角形面积公式代入第一个已知等式，结合正弦定理将角的正弦值转化为对应边；B，利用正、余弦定理和二倍角公式化简第二个已知等式，再结合前两步得到的边角关系，求解即可；C、D，分别设出a、b和c的比例关系，再根据余弦定理，换元计算即可. 【详解】A，由 ，得 ，即 ①， 则由正弦定理，得 ，故A错误； B，由 ， 得 ， 则由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得 ，得 ②， ①×②，得 ， 即 ， 则 ， 因为，所以 ，所以， 所以 ，所以 ， 则由正弦定理，得 ，故B正确； C，由A选项得 ，可设 ， ，则， 由 及余弦定理，得， 即， 所以 ， 所以 ， 所以，所以，故C正确； D，由C选项知， 所以， 所以，故D正确． 三、填空题 4．（2026·湖南长沙·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用三角恒等变换化简目标式，结合正弦定理、余弦定理，依据已知条件将式子统一为关于的函数，再借助二次函数性质求出最值，并验证取等条件. 【详解】在中，已知，. 因为，， 所以. 设外接圆半径为，由正弦定理可得，，， 所以，且， 所以. 由余弦定理，代入以及，化简得，即. 所以，于是. ，结合，可得. 联立化简. 将代入，，则， 原目标式化为. 令，由边长约束得. 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，取得最大值，此时取得最小值. 因此. 当即时，，，三边满足三角形三边关系，等号成立. 综上，原式的最小值为. 四、解答题 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理求出的余弦值，从而得到角的大小； (2) 利用正弦定理把边化为角求解. 【详解】（1）因为 ，即 ， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为， 由正弦定理 ，得， 即，所以 所以，又 ，得，所以，所以， 因为，所以，， 在 中，， 则 ， 在 中，， ，所以， 所以， 所以， 所以.    1 学科网（北京）股份有限公司 $