三余弦定理与三正弦定理、最小角定理与最大角定理 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦立体几何核心考点，系统梳理三余弦定理、三正弦定理及最小角、最大角定理，通过“定理定义-统一模型证明-题型归类”逻辑架构，结合考点梳理、方法指导（如辅助记忆法）、真题训练（8道例题+9道练习题），帮助学生突破线线角、线面角、二面角计算难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于创新采用统一模型整合两大定理，通过动态问题（如例5点在线段运动求线线角最小值）培养学生数学眼光与空间观念，利用最小角、最大角定理优化解题思路，提升推理能力。设置选择、填空、解答分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

高中数学精选专题—立体几何 三余弦定理与三正弦定理、最小角定理与最大角定理 湖北天门 薛德斌 一、三余弦定理（又叫最小角定理） 三余弦定理:斜线与平面内一条直线夹角的余弦值＝斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值． 如图1所示，平面的斜线在平面上的射影为，平面，则 (其中，是锐角）． 图1 图2 证明：如图2，作于点，于点，则平面，，平面，， ∴，， ∴． 辅助记忆：1．这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积． 2．如图3，平面，，，，则有． 图3 由可得，，于是有： 最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角．） 如图4，直线是平面的斜线，直线与平面所成的角为，直线，则．当直线变动时，的最小值是． 图4 简记为：线1线2角线1面角，其中线2为变量，可用于求线线角的最小值． 推论：如图5，已知平面，，直线，，则． 图5 二、三正弦定理 三正弦定理：如图6，设二面角的度数为，在平面上有一条射线，它和棱所成角为，和平面所成的角为，则． 图6 图7 证明：如图7，作平面于点，于点，则，平面，，，，， ∴，， ∴． 由可得，，于是有： 最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角．（锐二面角是最大的线面角．） 如图8，锐二面角的大小为，直线，直线与平面所成的角为，则．当直线变动时，的最大值是． 图8 简记为：线面角二面角，其中线为变量，可用于求线面角的最大值． 三、统一模型的证明 如图9，已知三棱锥中，，平面， 则有，平面． 图9 1．三余弦定理的证明：是平面的斜线，是与平面所成的角， ∵，， ∴． 2．三正弦定理的证明：是二面角的平面角，是与平面所成的角， ∵，， ∴． 注：三余弦定理和三正弦定理中有2个相同的角：（线棱角）、（线面角）． 题型归类： 1．利用三余弦定理求线面角.（例1，例3，例4，例8） 2．利用三正弦定理求线面角或二面角.（例1，例2，例3，例4，例8） 3．利用最小角定理求线线角的最小值.（例5） 4．利用最大角定理求线面角的最大值.（例6，例7，例8，例9） 例1．正四面体中，直线与平面所成的角的正弦值是 ，二面角的正弦值是 . 【答案】， 解法一：几何法. 解法二：设直线与平面所成的角是，二面角的大小是， 由三余弦定理，得，∴，. 由三正弦定理，得，∴. 例2．如图，二面角的大小是60°，线段，，与所成的角为30°，则与平面所成的角的正弦值是 . 【答案】 解法一：由三正弦定理，得与平面所成的角的正弦值是． 解法二：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连结AD， 由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角的平面角，为60°， 又由已知，∠ABD＝30°， 连结CB，则∠ABC为与平面所成的角，w_w_w. 设AD＝2，则AC＝，CD＝1，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝. 例3．已知菱形的边长为1，，现沿对角线将此菱形折成直二面角 ． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）；（2）2． 解：（1）取的中点，则平面，，∴直线与所成的角为． （2）解法一：平面， 由三余弦定理，得， ∴， 设二面角的大小为， 由三正弦定理，得，∴，． 解法二：（三垂线法）． 例4．已知中，，，，上有一点，将沿折成一个直二面角，且，求二面角的正弦值． 【答案】 【要点】翻折＋设角求角＋二面角 解：中，，． 解法一：（设角＋解三角形＋距离法求二面角） 设，则．作于D，，． 中， ， ∵平面平面，，∴平面，∴， ∴， ∴，，． 点到的距离是， 设二面角的大小为， 则， ∴二面角的正弦值为． 解法二：（三余弦定理解角＋三正弦定理求二面解） 设，则． 由三余弦定理得，，∴，． 设二面角的大小为， 由三余弦定理得，，， ∴二面角的正弦值为． 例5．正方体中，点在线段上运动（包括端点），则直线与 所成角的最小值是______． 【答案】 解：由最小角定理，直线与 所成角的最小值是直线与平面所成的角，即，此时为． 6．（多项选择题）如图，正方体中，点在线段上运动，则（ ） A．平面 B．三棱锥 的体积为定值 C．直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值 【答案】ABD 解：C．直线与所成角的取值范围是； D．解法一：（最大角定理）直线与平面所成角的最大值为平面与平面所成的角，即平面与平面所成的角，正弦值为． 解法二：（最小角定理）∵平面，∴直线与平面所成角的正弦值等于直线与所成角的余弦值，由最小角定理可得，直线与所成角的最小值为直线与平面所成的角，即，∵，∴直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例7．（多项选择题）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，当平面平面时，点到平面的距离最大，此时三棱锥的体积最大，作，垂足为， ∵平面平面，平面，∴平面， ∵，∴， 又，∴， 即三棱锥的体积最大值为，A正确； 对于B，∵和均为以为斜边的直角三角形， ∴中点到四点的距离相等，即中点为三棱锥的外接球球心， ∴三棱锥的外接球体积为定值，B正确； 对于C，的轨迹为以为轴的圆锥面，， ∴异面直线与所成角的范围为，C错误； 对于D，设与平面所成角为，由最小角定理可知，， ∴当平面平面时，与平面所成角最大，，D正确． 故选ABD． 例8．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角) 【答案】 解法一：由勾股定理得BC＝20 m．如图，过P点作PD⊥BC于D，连接AD, 则由点A观察点P的仰角θ＝∠PAD，tan θ＝.，设PD＝x，则DC＝x，BD＝20－x， 在Rt△ABD中，AD＝＝， ∴tan θ＝＝＝≤， ∴的最大值是． 解法二：（最大角定理＋三余弦定理＋三正弦定理） 的最大值即二面角的大小，设为． 由三余弦定理，得． 由三正弦定理，得，，， ∴的最大值是． 解法三：（最大角定理＋几何法） 的最大值即二面角的大小，∴当时，最大． 作于点，二面角的平面角是． 中，，． ∴，，∴的最大值是． 例9．如图，已知正三棱柱， ，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解法一：（特例排除法）当，分别是，时，； 当，分别是，时，，，， （或由最大角定理可得，） ∴排除BCD，选A． 解法二：如图所示，过点作于，过作于，连接， 则，，， ，，， 所以，故选：A． 练习题 1．已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，与的夹角为，与的夹角为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 解：由最小角定理得，由最大角定理得． 2．已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为_____． 【答案】. 【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图表述题中条件成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理求值． 解法一：∵，，∴， ∴，∴， 解法二：作分别垂直于，平面，连接， 则，，∴平面， ∵平面，∴ ∵，，∴， ∵，∴，∴为平分线，∴ ∴，∴． 3．如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟． 【答案】18 解法一：由三正弦定理，得与平面所成的角的正弦值是． ∴，∴他到达山顶需要的时间是（分钟）． 解法二：过点作平面，垂足为，过点作直线，垂足为，连接，如图， . 因为平面，，所以， 又，面，所以面， 又面，所以直线， 由题意可知，， ∴在中，， 在，，∴， ∴他到达山顶需要的时间是（分钟）． 4．如图，正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用最大角定理将线面角的最大值转化为二面角，再作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出其余弦值，最后结合同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. 【详解】设二面角的平面角为， 由最大角定理知，当且仅当时取等号． 如图，取的中点O，连接， 在正四面体中，得到，由三线合一性质得， 同理可得，则是二面角的平面角． 设三棱锥的棱长为，则，由勾股定理得, 由余弦定理得， 故，即的最大值为． 5．（多项选择题）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线 翻折到（不在底面上），为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．平面 B．的长是定值 C．存在某个位置，使得平面 D．设直线与平面所成的角为，则的最大值是 【答案】ABD 【详解】 取的中点，连接，， 选项A：，平面，A选项正确； 选项B：，B选项正确； 选项C：平面，C选项不正确； 选项D：解法一：设，则，点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，当平面平面时，点到平面的距离最大为，此时最大为，∴D选项正确． 解法二：直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由最小角定理可知，，，， ∴当平面平面时，最大为，D选项正确． 故选ABD． 6．（多项选择题）如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ） A．无论点在线段上如何移动，都有 B．四面体的体积为24 C．直线与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的最大值的余弦值为 【答案】ABD 【详解】在正方体中，易证面，又平面，所以，则A正确； ，则B正确；在棱上取点使，连结如图则易知为直线与所成角或其补角，可得，则则直线与所成角的余弦值为，则C错误； 解法一：（几何法）由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以，当点移动到的中点时，最短，如图，此时最小，最大，此时，则D正确. 解法二：（最大角定理）直线与平面所成最大角为二面角． 解法三：（坐标法） 7．设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角P–AC–B的平面角为，则 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解法一：（特例排除法）设三棱锥V–ABC的底面边长与侧棱长相等， 二面角V–AC–B的平面角为，，， 当，，，，，，排除CD； 当，，，排除A，∴选B． 解法二：（最小角定理：斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．） ，，∵平面，∴由最小角定理可得； ，∴选B． 解法三：（几何法）如图，为中点，连接VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于E，连接PE，BD，易得，过作交于，连接BF，过作，交于，则，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得，即； 在Rt△PED中，，即，综上所述，答案为B. 8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则 A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 【答案】D 【解析】解法一：（几何法）设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，SE，SM，OM，OE，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB， 因此 从而 因为，所以即，故选D. 解法二：（最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角，线线角的最小值是线面角．）） （最大角定理：二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角．（锐二面角是最大的线面角，线面角的最大值是锐二面角．）） 设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点， ，，∵平面，∴由最小角定理可得； ，，∵平面，∴由最大角定理可得， ∴，选D． 9．如图，三棱台中，平面⊥平面，，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（2）． 【解法要点】（2）一、三余弦定理；二、平移转化＋鳖臑． 【分析】（1）作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得； （2）由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值． 解：（1） 作交于，连接． ∵平面平面，而平面平面，平面， ∴平面，而平面，即有． ∵， ∴． 在中，，即有，∴． 由棱台的定义可知，，所以，，而， ∴平面，而平面，∴． （2）解法一：（平移转化＋鳖臑） 因为，所以与平面所成角即为与与平面所成角． 作于，连接，由（1）可知，平面， 因为所以平面平面，而平面平面， 平面，∴平面． 即在平面内的射影为，即为所求角． 在中，设，则，， ∴． 故与平面所成角的正弦值为． 解法二：（三余弦定理），，，，其它同解法一． 解法三：（坐标法）由三棱台得，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为. 如图，以为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则. 因此. 设平面BCD的法向量. 由即，可取. 所以. 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题—立体几何 三余弦定理与三正弦定理、最小角定理与最大角定理 湖北天门 薛德斌 一、三余弦定理（又叫最小角定理） 三余弦定理:斜线与平面内一条直线夹角的余弦值＝斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值． 如图1所示，平面的斜线在平面上的射影为，平面，则 (其中，是锐角）． 图1 图2 证明：如图2，作于点，于点，则平面，，平面，， ∴，， ∴． 辅助记忆：1．这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积． 2．如图3，平面，，，，则有． 图3 由可得，，于是有： 最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角．） 如图4，直线是平面的斜线，直线与平面所成的角为，直线，则．当直线变动时，的最小值是． 图4 简记为：线1线2角线1面角，其中线2为变量，可用于求线线角的最小值． 推论：如图5，已知平面，，直线，，则． 图5 二、三正弦定理 三正弦定理：如图6，设二面角的度数为，在平面上有一条射线，它和棱所成角为，和平面所成的角为，则． 图6 图7 证明：如图7，作平面于点，于点，则，平面，，，，， ∴，， ∴． 由可得，，于是有： 最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角．（锐二面角是最大的线面角．） 如图8，锐二面角的大小为，直线，直线与平面所成的角为，则．当直线变动时，的最大值是． 图8 简记为：线面角二面角，其中线为变量，可用于求线面角的最大值． 三、统一模型的证明 如图9，已知三棱锥中，，平面， 则有，平面． 图9 1．三余弦定理的证明：是平面的斜线，是与平面所成的角， ∵，， ∴． 2．三正弦定理的证明：是二面角的平面角，是与平面所成的角， ∵，， ∴． 注：三余弦定理和三正弦定理中有2个相同的角：（线棱角）、（线面角）． 题型归类： 1．利用三余弦定理求线面角. 2．利用三正弦定理求线面角或二面角. 3．利用最小角定理求线线角的最小值. 4．利用最大角定理求线面角的最大值. 例1．正四面体中，直线与平面所成的角的正弦值是 ，二面角的正弦值是 . 例2．如图，二面角的大小是60°，线段，，与所成的角为30°，则与平面所成的角的正弦值是 . 例3．已知菱形的边长为1，，现沿对角线将此菱形折成直二面角 ． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求二面角的正切值． 例4．已知中，，，，上有一点，将沿折成一个直二面角，且，求二面角的正弦值． 例5．正方体中，点在线段上运动（包括端点），则直线与 所成角的最小值是______． 例6．（多项选择题）如图，正方体中，点在线段上运动，则（ ） A．平面 B．三棱锥 的体积为定值 C．直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值 例7．（多项选择题）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 例8．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角) 例9．如图，已知正三棱柱， ，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A． B． C． D． 练习题 1．已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，与的夹角为，与的夹角为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为_____． 3．如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟． 4．如图，正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为______． 5．（多项选择题）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线 翻折到（不在底面上），为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．平面 B．的长是定值 C．存在某个位置，使得平面 D．设直线与平面所成的角为，则的最大值是 6．（多项选择题）如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ） A．无论点在线段上如何移动，都有 B．四面体的体积为24 C．直线与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的最大值的余弦值为 7．设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角P–AC–B的平面角为，则 A．， B．， C．， D．， 8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则 A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 9．如图，三棱台中，平面⊥平面，，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $