2.4应用一元二次方程第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心内容为行程（动点）问题及平均变化率问题。课堂导入通过复习梯子滑动问题衔接旧知，以问题链搭建学习支架，引导学生从实际情境中抽象等量关系。 其亮点在于以真实情境问题驱动，如梯子滑动、海军巡航等实例，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理意识、运算能力）。通过归纳小结提炼平均变化率公式，强化模型意识，助力学生掌握方程应用，提升教师教学效率。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第二章 一元二次方程 2.4应用一元二次方程 第1课时 行程(动点)问题及平均变化率问题 学习目标： 1.读懂动点行程、增长率问题，找出等量关系，会列一元二次方程。 2.正确解方程，检验解是否符合实际情境，舍去不合题意的根。 3.掌握平均变化率公式，能处理增长或降低两类实际问题，规范书写解题步骤。 2.4.1行程(动点)问题及平均变化率问题 复习导入课本p50 探究新知 利用一元二次方程解决行程（动点）问题 1 10 m 8 m x m x m (1)解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得 (8 - x)2 + (6 + x)2 = 102 解得 x1 = 0 ， x2 = 2. （舍） 答：梯子顶端下滑 2 m . x2 - 2x = 0 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (12 - x)2 + (5 + x)2 = 132， 解得 x1 = 0（舍），x2 = 7. 13 m 12 m x m x m x2 - 7x = 0 探究新知 利用一元二次方程解决行程（动点）问题 1 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛 F 位于 BC 的中点. 一艘军舰沿 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品 送达军舰.已知军舰的速度是补给船的 2 倍， 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处， 那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到 0.1 海里)？ 东 北 A B C D F E 典例精析 小岛 D 与小岛 F 相距多少海里？ 解：连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB， ∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile， DF = 100 n mile. 东 北 A B C D F E 典例精析 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile. 东 北 A B C D F E 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 解这个方程得 ， (不合题意，舍去). 整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0， 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 某工厂前年生产一件器械的成本为 3600 元，经过技术改良，设每年成本的下降率为x，则去年生产一件该器械的成本是________元，若继续保持这个下降率，那么今年生产一件该器械的成本是________元。 3600(1 - x) 3600(1 - x)2 平均变化率问题与一元二次方程 2 探究新知 下降率 x 第一次降低前的量 3600(1 - x) 3600 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 3600(1 - x)(1 - x) 3600(1 - x)2 平均变化率问题与一元二次方程 2 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 ×100％ 例2 某农机厂前年生产一台农具的成本是6000 元，经过两年工艺优化，现在生产一台该农具的成本下降到 4860 元，求这种农具成本的年平均下降率。 典例精析 解：设这种农具的成本平均下降率为 x. 根据题意， 列方程，得： 6000 (1 - x)2 = 4860， 解方程，得： x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 温馨提示：下降率不可为负，且不大于1. 典例精析 例3 某线下门店一月份的销售收入为 150 万元，一月、二月、三月的销售收入合计为 486 万元，若每月销售收入的平均增长率相同，求每月的平均增长率。 典例精析 解：设平均增长率为 x. 根据题意，得 答：平均增长率为 8％. 150 + 150(1 + x) + 150(1 + x)2 = 486， 整理方程，得 25x2 + 75x - 6 = 0. 解得 x1 = −3(舍去)，x2 = 0.08 = 8％. 典例精析 想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？ 若平均增长(或下降)百分率为 x，增长(或下降)前的是 a，增长(或下降)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n = b (其中增长取“+”，下降取“-”). 归纳小结 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 课堂小结 1. 某水果店 1 月份水果销量为 400 千克，3 月份销量达到 576 千克，设每月销量的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. 400(1 + 2x) = 576 B. 400(1 + x)2 = 576 C. 00(1 + x2) = 576 D. 576(1 + x)2 = 400 2. 某书店去年图书采购投入 3 万元，预计今年、明年两年采购投入的总额为 10 万元，设这两年采购投入的平均增长率为x，则可列方程：___________________. B 3(1 + x) + 3(1 + x)2 = 10 课堂练习 $