2.4 第1课时 一元二次方程的应用（一）-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖行程（动点）、变化率、面积等问题。通过“梯子滑动问题”回顾旧知，从“顶端下滑1米底端滑动距离”过渡到“下滑距离与底端滑动距离是否相等”，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以生活问题导入培养数学眼光，通过军舰补给相遇、药品成本下降率等例题及变式题分层设计发展数学思维，课堂小结梳理列方程步骤与应用类型强化模型意识。助力学生提升抽象能力和应用意识，为教师提供系统教学资源便于有效教学。

2.4 一元二次方程的应用 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程的应用（一） 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性。（重点难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题． 学习目标 还记得本章时的梯子滑动问题吗？ （1）在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 问题引入 导入新课 （2）如果梯子的长度是13米，梯子顶端到地面的垂直距离是12米，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 问题引入 导入新课 例1.如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile 处有一目标B,在B的正东方向200n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 东 北 A B C D F 讲授新课 一、运用一元二次方程解决行程（动点）问题 (1)小岛D与小岛F相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF= AB， ∵AB⊥BC, AB = BC =200n mile, ∴DF⊥BC, DF =100n mile. 东 北 A B C D F (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？ E 解: 设相遇是补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile, EF=AB +BF-(AB + BE) =(300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理得：3x2 - 1200x + 100000 = 0 , 解方程得 (舍去) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ A B C D Q P 解:设所需时间为 t s,根据题意,得 2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 . 答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2. (6 - t) 2t 练一练 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 填一填 二、运用一元二次方程解决变化率问题 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 下降率x 第一次降低前的量 5000(1-x) 第一次降低后的量 5000 下降率x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1-x)2 5000(1-x) 5000(1-x)2 例2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 【提醒】下降率不可为负，且不大于1. 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 练一练 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 议一议 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%） 解，设原价为a元，每次升价的百分率为x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 (不合题意，舍去) 答：每次升价的百分率为9.5%. 1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 . B 2（1+x)+2(1+x)2=8 当堂检测 3.某村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 系数化为1得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%. 7200（1+x)2=8712 （1+x)2=1.21 1+x=1.1, 1+x=-1.1 x1=0.1, x2=-1.1, 解: 设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm． 由题意有 t2＋(21－t)2＝152， 解得 t1＝9，t2＝12． 所以，运动 9 s 或12 s 时,P ,Q 两点相距 15 cm． 如图，在Rt△ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动. 如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？ 利用一元二次方程 解决问题 列方程步骤： 应用类型 行程问题 平均变化率 问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 $