专题10 圆的有关概念 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题10 圆的有关概念 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.核心定义：圆的描述性定义、集合定义 2.基础要素：圆心、半径、圆的表示方法与基本特征 3.基础概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧 4.特殊概念：等圆、等弧的定义与判定 ✅本节是圆章节的入门基础，以圆的两大定义为核心，系统涵盖圆的基本要素、各类弦与弧、等圆与等弧等全部教材基础考点。重点区分易混淆几何概念，厘清图形从属关系，为后续圆的性质、计算与证明学习夯实基础。 ✺学习目标 1.理解并掌握圆的两种定义，认识圆心、半径的作用，掌握圆的规范表示方法。 2.熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的教材定义，准确区分各类概念的区别与从属关系。 3.掌握等圆、等弧的定义与判定条件，规避概念易错陷阱。 4.建立规范的圆几何认知，熟练完成基础概念辨析、识别类题型。 ✺题型归纳 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.判断点与圆的位置关系 题型6.利用点与圆的位置关系求半径 题型7.已知半径和圆上两点作圆 题型8.点与圆上一点的最值问题 题型9.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、圆的定义 1.描述性定义：如下图，在一个平面内，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.集合定义：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。 规范表示：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 注释：圆特指圆周曲线，不包含圆内部的平面区域（圆面）。古籍《墨经》记载“一中同长”，是对圆的精准概括，即圆周上所有点到圆心的距离都等于半径。 知识点二、圆的基本要素 1.圆心：圆心O确定圆的位置。 2.半径：半径OA确定圆的大小。 核心结论：圆心和半径共同确定一个唯一的圆。 知识点三、弦与直径 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.直径：经过圆心的弦叫做直径。（如AB） 概念关系：直径是特殊的弦，也是同一个圆中最长的弦；弦不一定是直径。 数量关系：同圆中，直径的长度等于2倍半径的长度。 知识点四、弧的相关概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 2.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 3.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个端点字母表示。(如 4.优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如。 核心辨析：半圆既不是优弧，也不是劣弧。 知识点五、等圆与等弧 1.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 性质：等圆的半径相等，仅位置不同，大小完全相同。反之，半径相等的两个圆是等圆。 2.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 核心考点：仅长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须同时满足“同圆或等圆中、能够完全重合”两个条件。 知识点六、易错点提醒 1.圆的几何定义特指圆周曲线，不包含圆面，二者概念不可混淆。 2.半径仅有一个端点在圆上，不满足弦的定义，因此半径不是弦。 3.仅有圆心或仅有半径，无法确定唯一的圆，二者缺一不可。 4.书写规范：优弧必须用三个字母标注，劣弧、半圆可用两个字母标注。 5.等弧判定易错：长度相等≠等弧，等弧一定长度相等且弯曲程度一致。 ✺题型精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 3．已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 题型4.圆的周长和面积问题 1．某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 2．已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 3．一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 题型5.判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 3．如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 题型6.利用点与圆的位置关系求半径 1．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 2．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 3．如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 题型7.已知半径和圆上两点作圆 1．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 3．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    题型8.点与圆上一点的最值问题 1．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 2．如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内半点”． (1)当的半径为时， ①在点，，中，是的“内半点”的是_______； ②已知一次函数，若一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内半点”，直接写出的取值范围． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 2．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 3．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在______（填“内、上或外”）． 6．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 __（结果保留． 7．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 三、解答题 8．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 9．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 10．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆的有关概念 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.核心定义：圆的描述性定义、集合定义 2.基础要素：圆心、半径、圆的表示方法与基本特征 3.基础概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧 4.特殊概念：等圆、等弧的定义与判定 ✅本节是圆章节的入门基础，以圆的两大定义为核心，系统涵盖圆的基本要素、各类弦与弧、等圆与等弧等全部教材基础考点。重点区分易混淆几何概念，厘清图形从属关系，为后续圆的性质、计算与证明学习夯实基础。 ✺学习目标 1.理解并掌握圆的两种定义，认识圆心、半径的作用，掌握圆的规范表示方法。 2.熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的教材定义，准确区分各类概念的区别与从属关系。 3.掌握等圆、等弧的定义与判定条件，规避概念易错陷阱。 4.建立规范的圆几何认知，熟练完成基础概念辨析、识别类题型。 ✺题型归纳 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.判断点与圆的位置关系 题型6.利用点与圆的位置关系求半径 题型7.已知半径和圆上两点作圆 题型8.点与圆上一点的最值问题 题型9.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、圆的定义 1.描述性定义：如下图，在一个平面内，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.集合定义：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。 规范表示：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 注释：圆特指圆周曲线，不包含圆内部的平面区域（圆面）。古籍《墨经》记载“一中同长”，是对圆的精准概括，即圆周上所有点到圆心的距离都等于半径。 知识点二、圆的基本要素 1.圆心：圆心O确定圆的位置。 2.半径：半径OA确定圆的大小。 核心结论：圆心和半径共同确定一个唯一的圆。 知识点三、弦与直径 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.直径：经过圆心的弦叫做直径。（如AB） 概念关系：直径是特殊的弦，也是同一个圆中最长的弦；弦不一定是直径。 数量关系：同圆中，直径的长度等于2倍半径的长度。 知识点四、弧的相关概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 2.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 3.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个端点字母表示。(如 4.优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如。 核心辨析：半圆既不是优弧，也不是劣弧。 知识点五、等圆与等弧 1.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 性质：等圆的半径相等，仅位置不同，大小完全相同。反之，半径相等的两个圆是等圆。 2.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 核心考点：仅长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须同时满足“同圆或等圆中、能够完全重合”两个条件。 知识点六、易错点提醒 1.圆的几何定义特指圆周曲线，不包含圆面，二者概念不可混淆。 2.半径仅有一个端点在圆上，不满足弦的定义，因此半径不是弦。 3.仅有圆心或仅有半径，无法确定唯一的圆，二者缺一不可。 4.书写规范：优弧必须用三个字母标注，劣弧、半圆可用两个字母标注。 5.等弧判定易错：长度相等≠等弧，等弧一定长度相等且弯曲程度一致。 ✺题型精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 3．已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当弦在靠近点C的一侧时；当弦在靠近点D的一侧时；连接、，由直径为10得出半径为5，根据线段比得出的长，由，由勾股定理得出长，再用勾股定理求长． 【详解】解：分以下两种情况： 当弦在靠近点C的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当弦在靠近点D的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，弦的长为或． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 2．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 2．如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理与圆的性质，解题核心是利用中位线定理将与建立数量关系，再结合“圆中最长的弦是直径”确定的最大值，从而求出的最大值． 根据三角形中位线定理可得，所以当最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ， 又是的弦， 的半径为， 直径为：， 因为圆中直径是最长的弦， 的最大值为， 当时， ， ， ， 即的最大值为． 故答案为： ． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1) 如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； (2) 如图所示，连接，线段即为所求； (3) 如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 题型4.圆的周长和面积问题 1．某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】先算出图①和图②中水池边沿的周长，再分析两者周长的关系． 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，解题关键是根据圆的周长公式，分别计算出图①和图②中水池边沿的周长，再进行比较． 2．已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 3．一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】这个运动场的周长是米，面积是平方米． 【分析】本题考查了长方形，圆的周长和面积，运动场的周长是中间长方形的两条长加上圆的周长，运动场的面积是中间长方形的面积加上圆的面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个运动场的周长是：（米）， 这个运动场的面积是：（平方米）， 答：这个运动场的周长是米，面积是平方米． 题型5.判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 2．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 3．如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 【答案】(1)点A在内； (2)点A在外； (3)点A在上． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； 【详解】（1）解：连接，如图： ∵在中，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在内； （2）解：∵在中，，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在外； （3）解：∵在中，，，点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴点在上． 题型6.利用点与圆的位置关系求半径 1．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 2．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 3．如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点在内，点在上，点在外 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径的取值范围是：． 题型7.已知半径和圆上两点作圆 1．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 题型8.点与圆上一点的最值问题 1．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 2．如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点，，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，作的中点，连接，连接， ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点，，三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 3．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内半点”． (1)当的半径为时， ①在点，，中，是的“内半点”的是_______； ②已知一次函数，若一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内半点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及新定义，一次函数等知识； （1）①根据勾股定理求得，，；根据新定义了即可求解； ②设直线交轴于，交轴于，过作直线于，根据勾股定理求得，根据一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内半点”，得出且，解不等式组，即可求解； （2）分别画出图形，求出当在左侧，时，；当在左侧，时，；可得<<；同法求出当在右侧，时，；当在右侧，时，；即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“内半点”定义可知，的“内半点”满足为的半径 ，，， ，，， 的半径为， 的内半点的是； 故答案为：，； ②设直线交轴于，交轴于，过作直线于，如图： 在中，令得，令得， ，， ， ， 一次函数在第一象限的图象上的所有点都是的“内半点”， 且， ∴， 解得：； （2）①当在左侧，时，如图： 此时， 解得正值已舍去 当在左侧，时，如图： 此时， 解得已舍去， ； ②当在右侧，时，如图： 此时， 解得舍去 当在右侧，时，如图： 此时， 解得已舍去 ； 综上所述，线段上存在的内半点，的取值范围是或． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 2．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 3．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 4．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据得到点P的轨迹，从而得到最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵交于点P，且，则点P的轨迹为以为直径的半圆上，连接，交于点，此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∴CP的最小值， 故选：B． 二、填空题 5．已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在______（填“内、上或外”）． 【答案】内 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系即可判断． 【详解】解：∵的半径为5， 又∵线段OP的长为， ∴点P在内． 故答案为：内 6．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 __（结果保留． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键． 根据剩余部分的面积为：，计算求解即可． 【详解】解：由题知，剩余部分的面积为：， 故答案为：． 7．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 三、解答题 8．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 【答案】点在内；点在上；点在外． 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有以下三种情况： 当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．据此即可求解． 【详解】解：∵，， 点在内； ∵，， 点在上； ∵，， 点在外． 9．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 10．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $